第01章集合與函數(shù)

第01講集合思想的綜合應用

一、知識概要

1.反面求解一一補集思想的應用

補集思想即對原命題的否定.

利用補集思想(直接求解困難或情形較多，而求它們補集較簡單或補集的情形較少，則先求其補集，再求解)，求

有關(guān)參數(shù)的值或取值范圍.

對于一些比較復雜、比較抽象、條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，難以從正面人手的數(shù)學問題，在解題時，則需調(diào)整

思路，從問題的反面人手探求已知和末知的關(guān)系,使之化難為易、化隱為顯，將問題解決，這就是"順繁則逆”“正

難則反”的解題策略.這就是將研究對象的全體視為全集,求出使問題反面成立的集合4/的補集即為所求,

這也是處理問題的間接化原理的體現(xiàn).

2.集合的綜合問題

(1)集合與函數(shù)、方程、不等式的綜合問題；

(2)集合的開放問題與實際應用問題；

(3)集合的新定義問題或創(chuàng)新問題；

(4)有集合背景的推理問題.

二、題型精析

例1(1)已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0,xeR},8={x|x<0,xeR}.若H0，求實數(shù)〃？的

取值范圍.

A

’x2一+4=n0

⑵已知3個方程<X2-(W-1)X+16=0，中至少有一個方程有實根，求實數(shù)〃？的取值范圍.

x2+2mx+3加+10=0

策略點擊本例兩個小題如果直接求解，情況較多，十分麻煩,第⑴問，由于ZcB*0.則A中方程必有實根，若

為兩個等根，則此根應為負根；若為兩個不等實根,則又有兩種情況:⑴兩根均為負根，⑵一根為負，另一根非負；

第(2)問，從正面理解“至少”可分3類：(1)只有一個方程有實根，有3種情況；⑵只有兩個方程有實根，有3種

情況；(3)3個方程都有實根,有一種情況,一一求解顯得非常繁雜，總之這兩小題從正面解完全可以解出來.但由

于情況眾多,正面解很費時而且容易出錯，面對這種情況我們可以從問題的反面來思考，對于第⑴問，上述分析

中3種情況的反面是方程——4機x+2/w+6=0的兩根均為非負，求此情況下〃？的取值范圍.相對于全

集(方程有實根)的補集，這就是利用補集思想解題的方法.對于第⑵問，從反面理解,3個方程都沒有實根，只有

一種情況.而它的反面就是至少有一個方程有實根的種種情況，這就提醒我們可以運用補集的思想方法，補集

思想即對原命題的否定,即求出3個方程都沒有實根時機的取值范圍，再求它相對于全集R的補集.

從中可以看出正與逆必是事物矛盾的雙方，反映在數(shù)學解題中主要體現(xiàn)于解題的思維進程上,如通常把綜合

法的解題方法稱為“正”，而把分析法、反證法的解題方法稱為“逆”.同樣一般問題的解決過程，總是先考慮

從正面入手，進行思考，實施解答，這是解題的一種基本思想方法,但有時會遇到從正面入手不易解決，比如對于

一些比較復雜、比較抽象、條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，在解題時,則需調(diào)整思路，從問題的反面去思考,也就是

“正難則反”，而補集法正是“正難則反”的體現(xiàn)，用這種方法可以收到意料不到的功效，因為這種“逆”恰好

彌補了“正”的不足.也是處理問題的間接化原理的體現(xiàn).

解:⑴設全集。={加△=(一癡)2-4(2m+6)…0}={詞m,-1或…卦.方程-—4，〃x+2m+6=0的

兩根X，%均為非負,

meU

3

則《%/=4m...0，解得.

=2m+6..,0

?.I加…關(guān)于。的補集為{血機、T},，實數(shù)機的取值范圍為{血丸-1}.

(2)從反面看著3個方程都沒有實根，則

A,=/M2-16<0,[-4<m<4

2

<A2=(m-1)-64=(w-9)(/M+7)<0,=><-7<w<9,=>-2<w<4

A3=4〃/-4(3加+10)=4(7M-5)(w+2)<0-2<m<5

即加e(-2,4)時3個方程都沒有實根.

再求補集得3個方程至少有一個方程有實根時，加e(-8,-2]口[4,+8).

例2.(1)集合〃={xlx2-((7+l)2x+2a3+2a..0},8={x|x2-3(a+l)x+6a+2,,0}.

求使/口6成立的實數(shù)a的取值范圍；

(2)已知/={x|X2-X-2>0],B=[X\f+4x+p<0}.問是否存在peR,使得Zu8=4?若存在，求

出P的取值范圍；若不存在,請說明理由.

策略點擊第⑴問，兩個不等式解集之間的關(guān)系,8中不等式x2-3(a+l)x+6。+2,0,左端因式分解后

得(x-2)[x-(3a+l)],0,則必須對3a+l與2的大小關(guān)系進行分類討論,再結(jié)合〃qB這一關(guān)系求出實數(shù)

。的取值范圍.當然本小題還可以運用函數(shù)思想求解,屬于妙思巧解，供賞析.第⑵問,48是兩個不等式的解

集=三4原問題轉(zhuǎn)化為兩解集之間關(guān)系的討論，可從不等式解的角度討論B=0或B#0

的情況,若設/(x)=V+4x+p，顯然二次函數(shù)的對稱軸為x=-2，這是一個重要的細節(jié)，數(shù)形結(jié)合可簡化解

題過程.

解⑴解法-4=卜|24%,/+]}(當且僅當。=1時/={2})

X2-3(?+1)X+6O+2?00(x-2)[x—(3a+l)],,0(必須分類討論2與3a+1的大小關(guān)系).

①當3a+1>2,即a>；時,8={xl2*X,3a+1}.

,/AcB,:.2a..2且/+L,3a+l,:.a.1且Q,a.3.ae[l,3];

②當3a+l=2,即a時,工=1%),,,x,^1,5={2},

.?./工3不可能成立;

③當3a+1<2,即a<；時,8={x|3a+1x,2}.

,/AqB,:.3a+L*2a且/+1,2,:.a”-1且-L,a.1.a=-1.

綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是{"La,3或a=7}.

解法二由解法一得N={x|24&/+i}且/=8

令/(x)=x2-3(a+l)x+2(3a+l)，則/(x)=0的一個根位于區(qū)間(一處20中，另一個根位于區(qū)間

[a2+l,+oo)中，

f./(2a)?0,

2八解得La,3或a=-L

[/(或+1)”0

a的取值范圍是{地，/3或“=一1}.

(2)解法-:A=|x|x2-x-2>o|o{x|x<-1或x>2},又/6qN.

(1)當8=0時,3=4此時八=16-40,，002..4；

(2)當8H0時,A=16-42>0=>p<4.此時由/+4x+p<0解得_2_24—?<x<-2+,4-2,

當6屋Z時，則一2+產(chǎn)9，一1或一2一產(chǎn)7.2，解得3”p<4

綜上可得pe[3,+8).

圖1-1

解法二設/(x)=x2+4x+p=(x+2)2+-4,如圖1-1所示，其對稱軸為x=-2.

1.當8=0時,8=4,此時A=16—4pO=p4$；

2.當BH0時,A=16-4p>0=p<4.

此時當8qN\時,只需滿足條件即可.

"(-1)=(-l)2+4(-l)+p=p-3..O

3,,p<4

綜上可得/￡3+8).

例3⑴設平面點集4=?))1(丁—》)。—￡|.-°}，8={(蒼歷1(%—1)2+3—1)2,，1，{則4門8所表示的

平面圖形的面積為()

3萬347t

A.—B.-71C.—71D.—

4572

(2)已知Q={(x,y)lx+y?6,乂..0,乂.0},/={(x,y)|%4,乂.0/一2乂..0},若向區(qū)域。上隨機投一點

P,則點尸落入?yún)^(qū)域力的概率為().

y-x..O,夕一*,0

解：⑴不等式(丁一對￡一」］..0可化為1八或1八集合8表示圓(x—1)2+3—1)2=1上以

y—..0y—，.0

及圓內(nèi)部分的點所構(gòu)成的集合，4cB所表示的平面區(qū)域如圖1-2所示.曲線y=L，圓

(x-l)2+(y-l)2=l均關(guān)于直線歹=x對稱.所以陰影部分占圓面積的一半，故選D.

圖1-2

(2)作出兩集合表示的平面區(qū)域如圖1-3所示，容易得出C所表示的平面區(qū)域為&EOF及其邊界,A表示

的區(qū)域為AOC。及其邊界，容易求得0(4,2)恰為直線

8=4,》一2歹=0,》+歹=6三線的交點.則可得5480「=；x6x6=18,

142

5.。8=5'4、2=4,.,.點7)落在區(qū)域2的概率為標=3，故選口,

三、易錯警示

2x-1<3%+5

例已知N=〈x||x-l|...a},3=〈x|,"且4c8=0,求a的取值范圍.

5x-2<3x+6

錯解:由已知得4={x|x..a+l或x*-a+l},3={x|-6cx<4},

1+a...4a.3r

?：AoB=0,根據(jù)區(qū)間的覆蓋得?，=>a...7

]-4-6=<a..J

則a的取值范圍為{ala.J}.

，評析及止解最后結(jié)果為{a|a../)是沒有錯，但解題過程中犯了策略性錯誤.上述錯解之處是解絕對值不等、

式|x-11…。時必須滿足a〉0才同上解，而已知條件沒有a>Q的條件,當a,0時，有/=R,/c8*0.故

必須先對a進行分類討論.

正確的解法如下：

①當a,0時,xeR,.1/=R.

,2x—1<3x+5,

而8>=>B={x|—6<x<4},

5x-2<3x4-6

此時,4C8H0,與已知Nc8=0矛盾；

?1+a..4,

②當a>0時,4={xlx.a+1或x,-a+1},若4c5=0,則，

1-a,-6

a..3,

=><_=>a..7為所求.

a.J

故。的取值范圍是{"a.J}.

方法提煉

1.解集合綜合題應注意的幾個問題

(1)準確把握概念，注意集合元素的三特性.

(2)分清兩種關(guān)系:⑴元素與集合之間的關(guān)系；⑵集合之間的關(guān)系；注意集合表示的等價性.

(3)進行集合運算，注意集合語言轉(zhuǎn)譯的準確性.

(4)重視集合的圖形表示及應用，運用數(shù)形結(jié)合思想獲得便捷、簡明的解題途徑.

(5)重視空集的特殊性和重要作用一一分為二思想的應用.

(6)反面求解一補集思想的運用.

2.“新定義”問題

集合中的“新定義”問題，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運算法則和運算律的基礎(chǔ)上定義一種新的運算，并運用它解決

相關(guān)的一些問題,理解新的定義，它仍然遵循集合中元素的特性，即元素與集合間的關(guān)系,集合與集合之間的關(guān)

系、集合的運算及其性質(zhì)等.

3.破解“新定義”問題的方法技巧

(1)緊扣新定義.分析新定義的特點肥新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠運用到具體的解題過程之

中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在.

(2)用好集合的性質(zhì).集合的概念、性質(zhì)(元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ),也是突

破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).

4.解決“新定義”問題的注意點

(1)遇到新定義,應耐心讀題.

(2)按新定義的要求“照章辦事”，逐步分析，驗證，運算，使問題得以解決.

(3)對于選擇題，可以結(jié)合選項通過驗證，采用排除、對比、取特值等方法來解決.

5.解集合的創(chuàng)新問題的步驟

第一步:信息提取，確定化歸的方向.

第二步:對所取的信息進行加工,探求解方法.

第三步:將涉及的知識進行轉(zhuǎn)換，有效地輸出，其中信息的提取和轉(zhuǎn)化與化歸是解題的關(guān)鍵，也是赧題的難點.

四、難題攻略

例⑴若集合V=?(x,y)|<x>,集合N={(x,y)|歹=x+b},且,則6的

y=3sin”

取值范圍為;

(2)設集合j(%,^)1-2)2+y2?加eR={(3)|2機，x+y?2m+l,x,yeR}，若

則實數(shù)〃，的取值范圍是一

(3)在平面直角坐標系中，集合/=x2+/?l},B={(x,y)|%,4,y...0,3x—4y..0},則點集

。=卜元N)|x=x+x2,y=yt+%,(X|,y)e4,(X2，%)e6}所表示的區(qū)域的面積是一；

(4)已知〃=卜》,歷|乂.￡},N={(x,y)|x2+(y-aR,1}.求McN=N成立時a需滿足的充要條件

涔難析疑本例四個小題是兩個點集之間關(guān)系的研究，解題的關(guān)鍵是將代數(shù)形'式的解析賈不等文賦予幾何意、

義，利用幾何知識來解決代數(shù)問題，這是數(shù)形結(jié)合的一個主要方面，即“代數(shù)運算難入手，圖形來幫忙”，這是將

問題進行有效轉(zhuǎn)化且解決問題的“亮點”.

fx=3cos0

解：(1)若(x,N)滿足集合.八'(0＜。＜萬)，將該式賦予幾何意義,可知點(X/)在半圓

[y=3sinJ

x2+y2=9(0＜y?3)上移動.問題即轉(zhuǎn)化為:直線y=x+b與半圓f+V=9(。＜乂，3)之間公共點的問題.

以3為半徑的圓在x軸上方的部分如圖1-4所示而集合N則表示一條動直線,其斜率k=1,縱截距為b.

由圖形可知，欲使McN。。,即直線y=x+b與半圓》2+/=9（0〈小3）有公共點，可得一3<&,372,

（2）當九0時，集合4是以（2,0）為圓心，以|〃?|為半徑的圓面（包括邊界），集合8是在兩條平行線之間的帶

狀區(qū)域（如圖1-5所示）…

d2

-2---2/《7?一]+m-(l-y/2)m+——>0,■/Ar>B^0,此時無解.

v22

、士|2—2血—1|\2-2m\

必有'----7=------,,m或---7=—m,

V2

昔''八夜+Z

fn216△

一八m一,.汝.V2+2.

22

（3）由題意可得，點。（xj）滿足｛N：_；:工；+夕；”1,即（％-彳|）2+（〉一弘）2,,1,表示以點（%1，乂）為

圓心,1為半徑的圓內(nèi)部（含圓）,由集合8可知，點（%,外）所在區(qū)域為△CM8（含邊界）廁點（X/）表示的圓形如

圖1-7所示,面積為18+%.

(4)McN=N。NqM，由％?+(y-q)2“i得》2“

y-y2+(2a-l)y+(1-a?)于是，若-y?+(2a-l)y+(1-0,

必有乂.即N屋Af.

-4(l-/)_(2a-l)2

而(1)成立的條件是乂皿=」——--------，，0，

一4

4(1-嗎+(2"1)2,0,BP4-4a2+4a2-4a+L,0,

五、舉一反三

1.對任意兩個非零的平面向量法和反定義a0p=R，若平面向量％B滿足|御…|B|>o,G與B的夾角

B-B

0,?,且酒B和廬)都在集合仁|〃eZ中廁。嗜=()

2.設={(x,y)|y2-x-l=01,5=|(x,y)|4x2+2x—2y+5=0},C={(x/)|y=丘+b},問是否存在

k,beN,使得(/u8)cC=0?若存在，求出％,b的值;若不存在，請說明理由.

3.設集合M={xl/(x)=x},N={xl/(/(x))=x}.

(1)求證:MqN；

(2)若/(x)是一個在R上單調(diào)遞增的函數(shù)，是否有"=N?若是，請證明.

第02講充分條件、必要條件與充要條件

一、知識概要

1.充分條件

若條件A可以使事件B成立，則稱條件A為事件B成立的充分條件，簡稱A為B的充分條件.

充分為足夠的意思，保證能由A推證得到8,即4n3.

2.必要條件

若沒有條件4則事件8不能成立廁稱條件4為事件8成立的必要條件,簡稱為8的必要條件.

必要為不可缺少的意思,缺少了4則B不成立.

由于逆否命題與原命題等價，故若由B能推證得到A(BnN),即/是8的必要條件.

3.充要條件

對于事件/與8,若2=8,且即4=8，則稱A是B的充分且必要條件，簡稱充要條件.

充要條件的證明:欲證/是8的充要條件，需要兩個方面：

(1)4nB(充分性),(2)8=/(必要性).

一個用充要條件敘述的命題，實際上包含了兩個互逆的命題，這類命題還常常用“當且僅當”等語句來表述.

二、題型精講

例1(1)已知=Wx2+ax+l,0};q:8=HF—3X+2.0卜若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)a

的取值范圍.

(2)設p:實數(shù)x滿足F—4ax+3a2<0,其中。<0M：實數(shù)x滿足￥一》一&0或-+2x—8>0,且非

P是非4的必要不充分條件，求a的取值范圍.

(3)已知p:-2<<0,0<〃<1;q:關(guān)于x的方程x2+mx+n=Q有兩個小于1的正根.試分析p是4的

什么條件.

策略點擊充分條件、必要條件、充要條件的常用判定方法是集合法，轉(zhuǎn)化為兩集合間的包含關(guān)系求解.具

體見下表：

記法4={x|p(x)},B={x|g(x)}

關(guān)系A(chǔ)=B

B50AJO3且SUA

結(jié)論P是q的充分p是q的必要P是q的充要p是q的既不充分也不必

不必要條件不充分條件要條件

第(1)問,在確定8后，對集合/的情況分類討論(即4=0或/H0).體現(xiàn)分類討論的思想；第(3)

問，可先從結(jié)論出發(fā),求出使結(jié)論成立的必要條件，然后再驗證得到的必要條件是否滿足充分性.

解:⑴由爐一3尤+2,0,解得L,%,2,即8={俎,%,2}.

,:P是q的充分不必要條件,??.4qB.

⑴若4=0,則有4。6,此時應有A=/-4<0,即—2<。<2;

(2)若4W0,設X],工2是方程X?+ax+1=0的兩根，

則有L,%24,x%、2，又x,x2=1,.\X,=x2=1.

*e-ci——(X|+々)=—2.綜上所述,—2,。<2.

(2)p:(x-3〃)(x—a)<0,又QV0,.二3Q<xvQ.

q:x~—x—6..0或+2.x—8〉0,即(x—3)(x+2),0或(x+4)(x*—2)>0.

「?—2.X,3或％>2或<—4，即％...—2或x<—4.

?「非P是非q的必要不充分條件,?.q是P的必要不充分條件.

(3(7,ci)0(―8,—4)u[—2,+oo)…a”—4或3a..-2,

2

得出。的取值范圍是a,-4或一一?a<0.

3

⑶設再,馬是方程—+加工+〃=。的兩個小于1的正根，

則0<演<1,0<吃<L/.0<x(+x2<2,0<%jX2<1.

7.0<-m<2,0<〃<1,即一2<用<0,0<〃<1,即q=p,

11

但取加=—1,〃=5時，方程9_X+萬=0無實根，即pnq.綜上知,p是q的必要不充分條件.

/1Y(1\x+1

例2(1)已知集合4=,yly=--3x-+1,X￡(—1,2)>命題p:xe4命題q:X￡5,并且命題p是

WJ

命題4的充分條件，求實數(shù)機的取值范圍.

(2)已知函數(shù)/'(%)=4sin2[—+x]-2jJcos2x-l,且給定命題p:x<1或X〉—,xeR，若命題

U)42

q:—2</(x)—加<2,且力是q的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.

(3)已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則"(x)為［0,1］上的增函數(shù)是“/。)為［3,4］上

的減函數(shù)”的()

A.既不充分也不必要條件B.充分而不必要的條件

C.必要而不充分的條件D.充要條件

令出，2),則

解：(1)先化簡集合A:由y=

14；

7

有少=+——,te2

16?1

7A7

/.y￡—,2I,.，.4={x|—x<2}

16J16

再來化簡集合B由卜一加21a..;，解得七一;或工…〃/+—

11444

B—{x\x,—z或x..川~+—}.

[17

\,命題p是命題q的充分條件,8,?\2,—二或〃丁十:”—.

4416

解得實數(shù)機的取值范圍是j-00,—]D

I2J44i2J

w>/(%)-2

(2)由q可得<

m</(<)+2

—'P是q的充分條件,

,717im>/Yx)-2,

在-MX.3的條件下與<小)+2.恒成立.

4

由已知得J(x)=21-cos~+2,xj-2y/3cos2x-1

=2sin2x-2>/3cos2x+1=4sinf2x--+1.

I3)

,7171—71、%2%f…(八乃71

由7”x，5'知至”2x——?,/.3?4sinI2x——l+L,5.

3

37r7t

故當X=F時,/(X)M=5,當X=w時,/(X)mun=3.

.'.tn的取值范圍是3<m<5.

⑶若xe[0,1]時J(x)是增函數(shù)，又???y=/(x)是偶函數(shù)，則xe[-l,0]時,/(x)是減函數(shù).

當xe[3,4]時,x-4G[-1,0].???7=2,:.f(x)=f(x-4).

故xe[3,4]時,/(x)是減函數(shù)充分性成立.

反之，若xe[3,4]時J(x)是減函數(shù)，此時x-4e[-l,0].

T=2,:./(x)=f(x-4)，則xe[-l,0]時,/(x)是減函數(shù)，

vy=/(x)是偶函數(shù),時J(x)是增函數(shù),必要性也成立，故選D.

方法提煉一

充分條件、必要條件常用判斷方法

1命題判斷法

設“若，則，"為原命題，則:

(1)若原命題為真，逆命題為假時/是4的充分不必要條件；

(2)原命題為假，逆命題為真時,p是q的必要不充分條件；

(3)原命題與逆命題都為真時,p是4的充要條件；

(4)原命題與逆命題都為假時,p是4的既不充分也不必要條件.

2用命題的等價性判斷

判斷P是4的什么條件,其實質(zhì)是判斷“若P則q及其逆命題“若q則P”是真是假，原命題為真而逆命題為

假,P是4的充分不必要條件；原命題為假而逆命題為真，則P是9的必要不充分條件；原命題為真,逆命題

為真，則P是q的充要條件；原命題為假，逆命題為假，則。是4的既不充分也不必要條件，同時要注意反例法

的運用確定條件為不充分或不必要的條件時，常用構(gòu)造反例的方法來說明.

當給出的命題的充分條件、必要條件不易判斷時，可對命題進行等價轉(zhuǎn)換，如改用其逆否命題進行判斷.

3集合判析法

在命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系判斷有困難時，可從集合的角度考慮,記條件p、結(jié)論4對應的集合分別為

46,則：

若/=則p是q的充分條件；

若/U8,則P是4的充分非必要條件；

若/38,則P是q的必要條件；

若4。8,則p是的必要非充分條件；

若力=3,則p是q的充要條件；

若/U6,且8。4則夕是q的既不充分也不必要條件.

例3(1)求關(guān)于x的方程產(chǎn)+(2斤-l)x+/=O的兩個實根均大于1的充要條件；

(2)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“=p"+q(p/0,pH1)，求數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列的充要條件；

(3)求直線/:ax—y+6=0經(jīng)過兩直線4：x+y—5=O和，2：3x—5夕+1=0交點的充要條件；

(4)設仇c是△月8C的三邊長，求證:方程/+2辦+/=0與/+25-從=0有公共根的充要條件是

ZJ=90°;

(5)已知abwO,求證:a+b=l的充要條件是=。

(策略點擊)這是一組充要條件的探求與證明的題型，在充要條件的求解中,由于考慮不周，通常易犯的錯誤

是用“必要條件”(或“充分條件”)去替代“充要條件”.所以須準確把握充要條件的探求與證明.應從兩個

方面“操作”，既證充分性，又證必要性.第（工）問，解題的關(guān)鍵可以從方程角度入手，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)，通過

圖像特征尋求充要條件.第（2）問,解題的關(guān)鍵是抓住數(shù)列前〃項和與通項之間的內(nèi)在聯(lián)系，嚴格運用定義判

定，即既要由%=:。/、、的關(guān)系尋找%+1與%的比值，同時又要注意充分性的證明,充要條件的探

求中，有時運用是一種簡潔明了的“方式”.第（3）問，可先證必要性,再證充分性;第（4）、（5）問可采

用同第（3）問一樣的證法，即先由“結(jié)論”n“條件”后由“條件”n“結(jié)論

解：（1）解法一設方程的兩根為x,,x2，則

A...0,A...0A...0A>0

X1_1>0u><(玉—+—1)>0,<X]+/〉2'

x1>1o<

w>1x2—1>0(x,-l)(x2-l)>0(七一1)(“2—1)>0

A>0A...0

5

<x,+x2>2o人+1>2,解得％<-2..

2

x｛x2-(x,+x2)+1>0k+2k>0,

解法二，設/(8)=/+(2左-l)x+k2所求充要條件為

A...0,[(21)2一4尸..0,

2k-1,,1

-------〉1,〈人〈——，

22

/(I)>0,卜+2人-1+%2>0.

解得k<-2，所求的充要條件是k<-2.

n1

(2):q=B=p+g,當〃…2時,a“=Sn-Sn_｝=p-p^=*(p-1).

而p#0且pk1.，”…2時,~—=p.

%P(P-D

若｛a,,｝為等比數(shù)列，則”=巴旦=p.—=p.

%a“P+q

p^Q,：.p-\=p+q,：.q=-\，這是｛a“｝為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明g=-1是｛%｝為等比數(shù)列的充要條件.

當q=_]時,=p"_l(p=0,p#l),q=5=p-l.

n

當..2時,an=S“一S,i=p-pJ=p"-'(p—1).當〃=]時,q=p—1,

—““"味=壯j

q=-1時數(shù)列｛凡｝為等比數(shù)列,即數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列的充要條件為q=-L

x+y-5=0,

(3)必要性:由＜

3x-5y+1=0

，/1過點P,:.3a-2+b=0,即3a+6=2.

充分性:設滿足3n+6=2，則b=2-3a，代人I方程得ax—y+2—3。=0.整理得(歹—2)—a(x-3)=0.

此等式表明，直線/過點尸(3,2)，而尸恰為4與。的交點.

綜上所述，直線/過直線/,和/2的交點P的充要條件是3a+b=2.

a2+2aa+h2-0①

(4)證明:必要性:設a是方程的公共根，則12,：，?

a2+2ca-b2=0?

由①+②得a=—(a+c)，將其代人1并整理得/=〃+c2,.-.ZA=90\

充分性：?.?//=90°,.?.。2=/+。2，于是方程x2+2ax+b2=0可化為

x2+2ax+a2-c~=0,(x+a)2-c~=0,[x+(a+c)][x+(o-c)]=0，該方程有兩個根

玉=一(。+。),々=-(a-c),同理另一方程f+2cx-b2=0,也可化為[x+(c+a)][x+(c-a)]=0該方程

也有兩個根:七=-(。+。)，彳4=-(c-。)，可以發(fā)現(xiàn)須=/.

這兩個方程有公共根.

(5)證明：必要性

:a+b=I,a+b-1=0.ci+h+uh-a~-b2—(a+b)(a2-ab+

〃-ab+〃)=(a+b-DR?-H+")=0.

充分性:v/+/>3+_/=0,即(q+b_])(q2—qb+b?)=0,

又awO且"0,r./-ab+/?2+；/>(),

二a+b-1=0,即a+6=1.

綜上可知，當abw0時,a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

方法提煉二

1充要條件的證明

(1)一般地，條件已知證明結(jié)論成立的是充分性，結(jié)論已知推出條件成立的是必要性.

(2)有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件"n"結(jié)論"是證明命題的充分性,

由“結(jié)論”n“條件”是證明命題的必要性.證明分為兩個環(huán)節(jié):一是充分性；二是必要性,證明時，不要認為

它的推理過程的“雙向書寫”一定靠得住，而應該施行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明.

(3)一般地，若證充分性，將條件作為己知，若證必要性，將結(jié)論作為已知,所以在證明充要條件時,要防止張冠李

戴，不要把充分性與必要性搞反了.

2充要條件的探求

(1)探求某結(jié)論的充要條件的關(guān)鍵是利用充要條件進行等價轉(zhuǎn)化.常用的解題途徑是利用結(jié)論的必要性尋求

解決問題的切人點.

(2)將問題不斷地進行等價轉(zhuǎn)化是探求充要條件的一個有效途徑，它可以將不熟悉的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化,

將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，從而有利于問題的解決.反過來,對于有些問題的解央，通過探求問題的充要條

件(即進行等價轉(zhuǎn)化)，互而使問題得到解決.

3解決含參問題的思路與常用策略

(1)對于條件或結(jié)論中含有參數(shù)的命題，可先將其轉(zhuǎn)化為最簡形式，利用充分條件，必要條件或充要條件的定

義揭示命題和結(jié)論的關(guān)系，利用等價轉(zhuǎn)化的方法將原命題的條件轉(zhuǎn)化為等價命題，借助數(shù)軸、圖像等的直觀性

列出方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍.

(2)解決含參問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)

系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解.

三、易錯警示

例已知h>0，設命題甲:兩個實數(shù)a1滿足|a-b|<24；命題乙:兩個實數(shù)a,b滿足|a-11<0,且|b-11<兒

那么().

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

錯解：|a-6|<2/?。|伍一1)一([6—1)|<26=人+〃o|a-11<九|b-11〈”故選C.

/評析及正解上述解法中，沒有注意到不等式的加法性質(zhì)這樣一個細節(jié)，即當加>〃且p>q時，有、

p+m>q+n但反過來不成立,即不等式的可加性是單向而不是雙向的.

、正確的解法如下：,

\a-\\<h,{-h<a-\<h-h<a-\<h,

\b-\\<h,\-h<b-\<h-h<\-b<h,

兩式相力口得-2h<a-b<2h^\a-b\<2h.

即由命題乙成立推出命題甲成立甲是乙的必要條件，

\a-2\<h

但是由<也可得至ij|a-b|<2/z.

\b-2\<h'

因此，命題甲成立不能確定命題乙一定成立.

...甲不是乙的充分條件，故選B.

四、難題攻略

例設命題p：xt,x2是方程/-2=0的兩個實根，不等式帆2_5加-3|…歸-X2I對任意實數(shù)

ae[-1,1]恒成立；命題q:不等式|x-2m|-|x|>l(m>0)有解，若p且q為真，試求m的取值范圍.

破難析疑例將命題、函數(shù)、不等式等知識有機融合在一起,可以訓練學生運用韋達定理，最值定理及轉(zhuǎn)化

思想的能力.解答的難點在于如何處理命題q：不等式-|》|>1(〃?>0)有解問題,可以有多種方法,

如：1轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)最值的討論；2利用絕對值不等式的性；利用數(shù)軸上點的兒何意義.這里真命題的探究

雖與條件的判斷不是一回事，但其中推理論證的程是相通的，一道好題是滲透著其豐富的數(shù)學思想與解題技

能.

解?.?西,馬是方程/-如-2=0的兩個實數(shù)根.

A=6!"+8...0

2

{玉+/=a,：.|x,-x2|=Va+8,va1,1],；.|玉-x2|mix=3.

XjX2=-2

2

命題p為真，即不等式\m-5m-3\...\Xi-x2\對任意實數(shù)ae[-l,l]恒成立，等價于

\m2-5m-3|...|%1-々舄=3，解得肛，T或加…6或0,,m，5,令/(x)-

解:西,》2是方程一一ax—2=0的兩個實數(shù)根.

，卜20

=

二.<\x]~+8,*.*aG[—1,1],.,.|x|—xA=3命題p為真，即不等式

x}+x2=a,

\m2-5加-3|…％-Xzl對任意實數(shù)ae[T,l]恒成立，等價于帆2-5機-3]...w-々舄=3,解得以.-1或

2m,(x<0)

或Q,九5，令f(x)=\x-2m\-\x\=\lm-2x,(0Mx<2加),原不等式有解問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)/(x)

的最大值問題.顯然[/(X)]max=2加(加>0).

命題q：不等式|》-2加|-|x|>l(m>0)有解,等價于2m>1,即加〉gp且q為真等價于p為真且q為

真,加的取值范圍是:<加，5或加…6.

2

本題中關(guān)于"也可按以下方法求得，介紹如下；

方法-設/(x)=\x-2m\-\x\，由絕對值不等式的性質(zhì)得

f(x)^x-2m\-\x\?|(x-2m)-x|=2m.：.[f(x)]max-2m(m>0).

方法三/(x)=|x-2加|-|x|可視為數(shù)軸上的點尸到實數(shù)2相對應的點和原點距離之差，由其幾何意義可知

"(X)]max=2m(m>0).

五、舉一反三

1.已知函數(shù)/(x)=,-2x—3|,則關(guān)于x的方程用/'2(x)+2W(x)+m-25=0有四個不同實數(shù)解的充要

條件是().

A.1<加<258”...25或砥，1C.L,nt.25D,0?nt.4

2.若關(guān)于x的方程V一(2。-l)x+/_2=0至少有一個非負實數(shù)根.

(1)求其充要條件；

(2)求其充分非必要條件；

(3)求其必要非充分條件；

(4)求其既非充分也非必要條件.

3.設aeR,^f(x)=ax2-2x-2a，若f(x)>0的解集為={x|l<x<3},，求實數(shù)a的

取值范圍.

第03講求函數(shù)定義域的一般方法

一、知識概要

1函數(shù)的定義域

在函數(shù)y=/(X)中,xe。后變量X的取值范圍D叫作函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域分自然定義域和實際定

義域兩種，如果給定函數(shù)的解析式(末注明定義域)，其定義域應指的是使該解析式有意義的自變量的取值范圍

（稱為自然定義域），如果函數(shù)是由實際問題確定的，這時應根據(jù)自變量的實際意義來確定.

2定義域優(yōu)先原則

在研究函數(shù)的圖像及其性質(zhì)時,需貫徹定義域優(yōu)先這一原則，即必須首先確定函數(shù)的定義域，在定義域范圍內(nèi)

作出函數(shù)圖像，研究函數(shù)的各種性質(zhì).

二、題型精析

例1求下列函數(shù)的定義或:

⑴N=---+Vx2-1；

2-\x\

(2)y-Vx2+x+1

H—;--------------

x2-2x+\

y6-X-X~

⑶二

log21X+l|-1

(4)y-\25-x2+Igcosx;

(5)y=log=2+tanx.

策略點擊求函數(shù)的定義域，要點是使解析式有意義,關(guān)鍵是觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想基本初等函數(shù)的定義

域，聯(lián)立不等式組求交集.

2-1x0,xw±2,

解：（1）由＜

x2-l...OX,一1救.』

故所求定義域為(-00,-2)u(-2,-l]u[l,2)52,+8).

21|+1＞（）,.〔犬+x+l＞0對一切xeR恒成立.

(2)x+x+l=XH----

2

函數(shù)的定義域由一一2刀+1彳0確定,由一一2》+1彳0,得。一1）2工0..「片1,故所求函數(shù)定義域為

(-8,1)51,+8).

6—x—x2...0-3”匕2

(3)<|x+l|wOnxw-l

x工1且xw—3

log21x+l|-10

函數(shù)的定義域為(-3,-1)u(-l,l)u(l,2].

257..0,=「“小J，

jcosx>0-y<x<2k/i+y（A：eZ）.

4-x2>0,—2<x<2,

⑸.4-x21,Xw±出.

71冗

XW左不+5（左￡Z）x豐k兀+—（k€Z）.

函數(shù)的定義域為(-2,-6)

方法提煉一

1求函數(shù)定義域的主要依據(jù)

(1)分式的分母不為零.

(2)偶次方根的被開方數(shù)非負.

(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1.

(4)塞指數(shù)為零時，底數(shù)不為零.

(5)若涉及三角函數(shù)tanx,secx，則xW左萬+,(左eZ)；若涉及三角函數(shù)cotx,cscx廁xWATZ?(左eZ).

2注意點

若函數(shù)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算而得到的,則其定義域是多個基本初等函數(shù)定義域的交集,

可借助于數(shù)軸求交集，并注意端點值或邊界值的取舍.

函數(shù)定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式.

例2(1)已知函數(shù)/(x)的定義域為(0,1),求/［?)的定義域；

(2)已知函數(shù)/(2x+1)的定義域為(0,1)，求/(X)的定義域；

(3)已知函數(shù)/(x+1)的定義域為［2,3］,求/(2/一2)的定義域；

(4)已知函數(shù)/(%)的定義域為［。,久,且“+6>0,求/(Y)的定義域；

(5)已知函數(shù)/(2、)的定義域是［1,2］,求/(log2X)的定義域；

(6)已知函數(shù)/(x)的定義域是［0』］,求函數(shù)E(x)=/(x+a)+/(2x+a)(0<a<l)的定義域.

解(1)???/(x)的定義域為(0,1).

???要使/02)有意義，需使即_l<x<0或0<x<l.

..?函數(shù)/(F)的定義域為{x|—l<X<0或O<X<1}.

(2)???f(2x+1)的定義域為(0,1),即其中的自變量X的取值范圍是0<X<1,

令/=2x+1,：.1<f<3,.-./(Z)的定義域為。11<f<3}.

函數(shù)/(X)的定義域為汕<X<3}.

⑶???/(x+1)的定義域為[—2,3],.—2,瑞3.

令f=x+l,...—L,t?4..?./(/)的定義域為川—L",,4}.

即/(X)的定義域為為l-L,X,4｝

要使/(2必-2)有意義，需使—L2密—2,4.:.-6”X,-工-或-幣.

函數(shù)/(2》2-2)的定義域為｛乂一班,％-等或當"X,百｝.

(4)據(jù)題意6>a且6>一凡，b|…0,由a,x：,b,得當a,0時，xe［—JK,JK］；當a>0

時,|x|,,振，即的定義域是xe［_揚

(5)由L,X,2n2,2*,,4.因而/(%)的定義域為[2,4].

再由Z,log2%,4n4,%,16.

.?J(log2X)的定義域是xw[4,16].

(,_&X,1_Q

0A,,x+a,,1a1-a

(6)解不等式組，，得〈a1-a.X-a,<1—a.

0?2x+a,1——?x,------2F

iI22

a\-a

，即F(x)的定義域是xe——

2~T

方法提煉二

求復合函數(shù)丁=/［g(x)］的定義域要把握以下3種類型.

(1)已知/(x)的定義域為求/［g(x)］的定義域，此時，定義域可通過解&g(x)?b得到.

(2)已知/［g(x)］的定義域為［a,幻，求/(對的定義域,此時,g(x)在切上的取值范圍，即為/(x)的定義

域.

(3)已知/［g(x)］的定義域為口,可,求/①")］的定義域，此時，先由類型2求出/(X)的定義域［c,即，再由

Qh(x\d解得/U(x)］的定義域.

側(cè)3(1)已知函數(shù)/。)=疝二，的定義域為［3,+8),求實數(shù)a的取值范圍.

(2)已知函數(shù)/(》)=疝=5