第三章轉子動平衡低速動平衡（剛性轉子動平衡）工藝平衡裝配平衡一步平衡多步平衡本機平衡整機（臺架）平衡國際標準—ISO1940高速動平衡（柔性轉子動平衡）模態平衡法影響系數法混合法參考標準：DIS5406《柔性轉子動平衡》標準草案

DIS5343《評價柔性轉子平衡的準則》

（參考）2023/6/21轉子動平衡教程第一節概述

一、剛性轉子動平衡1、靜平衡目標：平衡靜力方法：隨遇平衡法2、動平衡目標：平衡力與力矩方法：動平衡機、低速平衡工藝平衡裝配平衡一步平衡多步平衡本機平衡整機平衡國際標準—ISO19403、動平衡基本要求1）至少兩個平衡面，平衡面距離要遠，并盡能靠近支點；平衡配重半徑位置要盡可能大，以便達到最大效果。2023/6/22轉子動平衡教程2）一步平衡，多為短壽命軍用發動機采用3）多步平衡，多為長壽命民用發動機采用4）平衡方法：尋找重點尋找輕點（頻閃法）影響系數法極坐標矢量圖法三元平衡法5）原理：不平衡力Pj產生支反力FP1與FP2

不平衡力矩RL產生支反力FR1與FR2則在支點有合力動平衡：動平衡精度1）me≤G0(g.cm)工程實際應用2）eω≤G0(mm/s)國際標準—ISO1940將平衡品質分為11個等級，按比值為2.5的等比級數遞增排列。

2023/6/23轉子動平衡教程第二節柔性轉子動平衡一、柔性轉子平衡特點1.柔性轉子：n>ncr1，轉軸產生彎曲變形2.高速動平衡：多平面、多轉速平衡過程目的：1）將不平衡力與不平衡力偶降到許可范圍

2）將n階固有振型不平衡量降到許可范圍3.標準：1）國際標準草案DIS5406—《柔性轉子動平衡》2）參考標準5343《柔性轉子動平衡》4.方法：1）振型(模態)平衡法

2）影響系數法

3）混合法等2023/6/24轉子動平衡教程5.平衡特點1)剛性轉子，低速平衡后，在工作轉速以下運行平穩；2)柔性轉子，低速平衡后，僅平衡了低速下支承動反力，高速下軸產生彎曲變形，彎矩將隨轉速發生變化，支承動反力也將發生變化；3)柔性轉子動平衡目的：在工作轉速下，盡可能消除支承動反力，并使轉子沿軸長的彎矩最小如圖3-1所示，剛性轉子有對柔性轉子有2023/6/25轉子動平衡教程F為轉子變形產生的離心力。4）影響因素多：a)不同轉速下撓度影響

b)各階振型對平衡的影響5）實際發動機只有少數幾個平面可用于平衡；只能在有限個轉速上得到平衡。6）問題：如何利用少數幾個平面來獲得一定轉速范圍內轉子的良好平衡。7）假設條件：a)在一定平衡條件下，軸承振幅與轉子不平衡量成正比。b)軸承振幅與不平衡力之間的相位不變。c)轉子中非線性因素(如油膜)等影響，不影響上述假設條件2023/6/26轉子動平衡教程二、轉子在不平衡力作用下的運動方程設一轉子為等截面軸，簡支在各向同性的支承上軸的面積為A，單位長度質量為ρA，截面質心為G(z)，截面偏心距為ε(z)，質心連線為一空間曲線。如圖所示。根據牛頓運動定律，得到yoz平面內的運動方程：其中則有由材料力學可知代入運動方程得到2023/6/27轉子動平衡教程同理可得到xoz平面內的運動方程為引入復數表達式，令則有式中：為質心空間曲線1.設ε(z)=0,即無質量偏心的情況，運動方程為設解為代入運動方程中2023/6/28轉子動平衡教程并令得到特征方程為

則所以代入邊界條件：z=0，s(0)=0，

z=l，s(l)=0，解得：c2=c3=c4=0，c1sin(kl)=0要求非零解，則c1≠0，所以sin(kl)=0因此有：kl=nπ得到固有頻率為

2023/6/29轉子動平衡教程各階主振型為：前三階振型為2.設ε(z)≠0,即有質量偏心的情況，且質心按第n階主振型函數(平面)分布，運動方程為設解為代入運動方程得根據假設，α(z)=常數，則有2023/6/210轉子動平衡教程式中：An為系數，sn(z)為第n階主振型由運動微分方程，得到設特解為Dn為待定系數代入運動方程得方程的齊次通解為sn(z)，且有故有特解方程為得到系數故轉軸的振型為由此得到如下結論：2023/6/211轉子動平衡教程1)若質心按第n階振型分布，只激起第n階主振動2)轉軸振型為一平面曲線，振幅為倍3)當ω→ωn時，振幅→∞，產生第n階主振型共振3.ε(z)≠0,且質心為任意空間分布曲線，設為按主振型分解得即有質心分布示意圖見圖3-4所示2023/6/212轉子動平衡教程式中代入運動方程有設轉軸振型為代入運動方程得式中Sn(z)為第n階振型函數，也是對應齊次方程解所以有特解為2023/6/213轉子動平衡教程利用固有振型的正交性，得解得系數轉子振動為或2023/6/214轉子動平衡教程三、柔性轉子運動特點1.柔度曲線s(z)隨轉速ω而變變化1)ω<<ωc1時，很小，可視為剛性轉子；2)ω>0.6ωc1，系數將增大，轉子振型s(z)是各階主振型合成的空間曲線；3)ω→ωcn時，第n階主振型幅值系數明顯增大，其它各階則小很多；若ω→ωc1，此時振型近似有4)隨著轉速增加，各階主振型依次突現出來，一般轉子，主要是前三階主振型的影響。比較撓度曲線與不平衡量的關系，它們展開項相同，幅值相差一個倍率，考慮阻尼有2023/6/215轉子動平衡教程式中ωcr——為無阻尼時系統的固有頻率。αr為撓度曲線各階分量與該階不平衡分量的相位差。由于阻尼影響，即使在臨界轉速下，轉子振型也不是一根平面曲線，但實際進行動平衡時，仍以無阻尼的主振型平面加以考慮。3.轉子主振型的正交性不平衡分布力在x、y方向的分量為2023/6/216轉子動平衡教程轉子撓曲線在x、y軸上的投影為各階不平衡力在yoz平面和xoz平面上對k階振型做功之和為由主振型正交性2023/6/217轉子動平衡教程可知：1）各階主振動之間不發生能量傳遞；2）n階不平衡分量只能激起n階主振型，不會激起其它各階振型；3）利用主振型的正交性，可對轉子進行逐階平衡，完成柔性轉子動平衡。2023/6/218轉子動平衡教程第三節模態平衡法（振型平衡法）一、模態平衡法及平衡條件根據主振型的正交性，可采用逐階平衡的辦法進行柔性轉子動平衡。對于一般轉子，主要是前三階振型。以等截面軸為例進行分析，見圖3-5設距起始端z1處有一集中重量w1位于半徑R1上，集中重量均勻分布在2b的范圍內，以U(z)表示其分布。則式中：2023/6/219轉子動平衡教程取單位長度質量為m(=ρA)，則有上式代表集中重量矩折合成單位長軸段質心偏移，按各階主振型展開成式中：Cn1——n階主振型系數，第二個下標表示所加平衡重量編號；

sn(z)——各階主振型函數，假設為已知。利用正交性，對折合軸段質心偏移展開式兩邊乘以sn(z)，并沿軸長積分，等式左邊為：等式左邊為：由此可得：2023/6/220轉子動平衡教程若在不同位置z1、z2、…、zk截面上，分別在半徑R1、R2、…、Rk處加平衡配重W1、W2、…、Wk，k個平衡重量引起轉子質心的偏移為式中：為了平衡轉子第n階主振型分量，要求平衡重量形成的第n階振型質心偏移和轉子自身第n階主振型質心偏移在同一平面上，大小相等，方向相反，即滿足即若有一組k個最小的不平衡重量Uj，與n階不平衡量相當,即2023/6/221轉子動平衡教程式中：U(z)——轉子不平衡量分布函數。其中：值應為最小。稱這組量Uj(j=1~k)為第n階振型不平衡當量Une，即柔性轉子的平衡不考慮阻尼情況下應滿足下列三個力學平衡方程：2023/6/222轉子動平衡教程方程組中，第一、第二兩式為剛性平衡條件；第三式為柔性平衡條件。二、配重面的選擇及矢量平衡原理1）柔性轉子平衡為多平面多轉速平衡；2）平衡面選取：有N平面及N+2平面法兩種；

N平面法：平衡N階振型，選用N個平衡面；

N+2平面法：平衡N階振型，選用N+2個平衡面。一般N平面法不能完全平衡支承動反力。但兩種方法都有使用。平衡面選擇很重要，選擇不當將使平衡配重增大。原因：平衡面選擇主要依據轉子振型，實際發動機平衡面選擇受到限制。圖3-6為N+2平面法的平衡面選取。I、II平衡面消除III、IV、V平衡面對低速動平衡的影響。2023/6/223轉子動平衡教程通常選擇在緊靠支承的位置，以免影響高速時III、IV、V三個平面對振型不平衡量的校正。但由于在臨界轉速時，支承位移較大，I、II平面的校正量對III、IV、V平面仍有一定干擾。圖3-6(a)為平衡一階振型時的三個平面的校正量，平面III的校正量對二階振型不起作用。圖3-6(b)、(c)為平衡二階及三階振型的校正量組。測量柔性轉子振型比較困難，可以軸承處的振動代替測量轉子撓度。即矢量平衡法。圖3-7為矢量平衡三角形：矢量為轉子測點相對某一角向參考坐標測得的振動，矢量為轉子上某點加試配重后同轉速下測點與參考坐標下測得的振動，則矢量=—為試重P的響應。為消除原始振動，加試配重平面上所需校正量為：2023/6/224轉子動平衡教程式中：稱為影響系數矢量(用于影響系數法)

稱為反應系數矢量(用于模態平衡法)試重在原方位反時針旋轉θ角，其重量按OM對MN之比放大，即為校正量。平衡步驟：1)在第一階臨界轉速附近測得兩軸承處振動矢量、，分解為對稱矢量，該分量由一階振型分量引起。2）加試配重后，在同一轉速下測得振動、，則矢量為試重引起的對稱振動矢量。2023/6/225轉子動平衡教程3）平衡一階振型分量的校正重量為：4）平衡二階振型分量時，在二階臨界轉速nc2附近測得兩軸承振動及，其反對稱分量為，它由二階不平衡量引起，加反對稱試重后，測得兩軸承處的振動矢量為及，則矢量即為引起的反對稱振動分量，故應加校正量為：2023/6/226轉子動平衡教程三、柔性轉子平衡時的支承動反力柔性轉子動平衡目的：1）消除支承動反力；2）消除轉子撓度與彎矩。難于同時滿足，則以最少的配重使轉子在軸向、水平及垂直三方向振動在整個轉速范圍內最小。柔性轉子撓曲振型為：設各階振型函數為（簡支梁情況）：則轉子振型為轉子原始不平衡n階分量可寫成，則轉子變形為2023/6/227轉子動平衡教程支承動反力剛性部分由力矩平衡關系得設m(z)=m(常數——等截面軸)，上式積分整理得柔性部分支承動反力為積分整理得因此，一個軸承上所受到的總動反力為2023/6/228轉子動平衡教程將代入得或由材料力學，通過振型函數求導得1.平衡一階振型分量后的支承動反力設（簡支梁）一階振型分量為C1sin(nπ/l)，其中則一階撓曲振型為2023/6/229轉子動平衡教程設采用位于中部的一個集中質量校正，即z1=l/2，校正量為W1R1，由（3-31）式得由于n=1，z=l/2，故有若所選校正量滿足C1=C11，即或此時，轉子中部的一個校正量W1R1可以使一階不平衡分量獲得平衡，消除了柔性部分的動反力。轉子一階振型不平衡分量引起剛性部分的動反力為校正量W1R1加在中部后，一個支承上的動反力為2023/6/230轉子動平衡教程比較(3-47)和(3-48)，得可見：1）轉子中部的一個集中平衡配重可使轉子撓曲得以平衡，但不能全部消除轉子的動力。2）支承處剛性部分動反力只能平衡掉78.5%。3）為消除支承處一階振型全部動反力，應在支承處同側平面上加平衡配重W2及W3，若加重半徑相同，則配重之比為：此時配重可消除轉子一階不平衡分量引起的轉子撓曲、彎矩及支承動反力，但不能消除高階振型分量影響。若工作轉速遠離高階工作轉速，則影響不大。若在轉子兩側加校正量W1R1=W2R2，見圖3-9，則有2023/6/231轉子動平衡教程式中：φ(z)=1，當z1-b≤z≤z1+b及l-z1-b≤z≤l-z1+b

φ(z)=1，z在其余各處。由(3-30)得由(3-31)得即設z1=l/4，取n=1得：為使兩校正量能平衡一階振型不平衡分量，應使C11=C1，即2023/6/232轉子動平衡教程或兩個校正量引起的支承處動反力為：由(3-47)可得同樣為完全平衡剛性部分動反力，應在支承處兩平面上相反方向再加兩個校正重量W3及W4，若加重半徑相同，則比值為：可見：平衡一階振型不平衡量，轉子中部加配重所需重量最少；平衡面越靠近兩支承，需加配重越大。2.平衡二階振型時的支承動反力設二階不平衡分量為C2sin(2πz/l)，其中，由此引起轉子二階撓曲振型為：2023/6/233轉子動平衡教程引起兩支承處的動反力大小相等、方向相反。為平衡二階不平衡量應在兩側加反對稱校正量W1R1=-W2R2，如圖3-10所示，則有式中：同理：利用正交性可得即2023/6/234轉子動平衡教程取z1=l/4，n=2，則為平衡二階振型，應使C22=C2，此時有校正量W2R2引起的剛性部分動反力為：由(3-42)得兩者之比為：表明：加反對稱校正量只能平衡支承動反力的78.5%。為平衡全部剛性部分動反力，有力矩平衡方程得為平衡二階振型分量，應使2023/6/235轉子動平衡教程有以上兩式解得：四、模態平衡的N平面法與N+2平面法1）轉子偏心沿軸向及周向分布是隨機的；2）1957年克勞爾.菲特恩(KlausFedern德)提出N+2平面法

W.凱琳貝爾格(Kellenberge瑞士)加以充實。3）1959年R.E.D皮肖帕(Bishop)提出N平面法4）1970年皮肖帕和凱琳貝爾格對N平面法和N+2平面法進行了評論，基本獲得共識。1.基本原理等截面運動方程為式中：運動方程也可用矢量形式表示為2023/6/236轉子動平衡教程式中：m(z)——單位軸段長質量；

——作用在轉子上不平衡力及校正力之和。設：=0，可得齊次微分方程的通解，即特征值與特征向量，由主振型正交條件得將按sn(z)展開后求運動微分方程的特解。由兩部分組成：一是分布的不平衡力，另一部分是集中作用的不平衡力及校正力，其中為集中不平衡量及校正量（如圖3-11）。將按主振型展開2023/6/237轉子動平衡教程且利用正交特性，可求得運動方程特解為式中第一項為式(3-22)，第二項為集中不平衡量Uk引起。由此可知：當ω接近某ωcn時，轉子的變形將是該階主振型，其它各階可不考慮。分析支承處動反力：由力矩平衡可得2023/6/238轉子動平衡教程將特解代入得當ω<ωc1，或→0，上式與剛性轉子相應式子完全相同。表明柔性轉子在低速時，其特性與一般剛性轉子相同。根據動平衡要求，應使支承動反力為零。2023/6/239轉子動平衡教程即由(3-62)得將上式矢量在y-z及y-x平面分解，僅討論其中一個分量。2023/6/240轉子動平衡教程此時，矢量便成為標量。若保留高階影響，僅消除前N階振型，則有：可以得到滿足上述條件的N個有限方程：2023/6/241轉子動平衡教程式中的集中質量分為兩部分：M個原始存在的不平衡量，K個待確定的校正量。等式右邊第一項是集中的不平衡量，第二項是轉子連續分布的相應階不平衡量。由于平衡面是有限的N個，滿足式(3-66)，式(3-64)就不能得到滿足，即支承動反力不為零。因此，N平面法能減少轉子變形，但不能平衡支承的動反力，影響了轉子剛性平衡。因此，應補充式(3-64)，可寫為：因此，為了將式(3-66)與(3-67)一起求解，必需要有N+2個方程，即N+2平面法。2023/6/242轉子動平衡教程因此，N+2平面法由更高平衡精度。一般認為：N≥3時，可采用N平面法；N<3時，宜采用N+2平面法。2.應用舉例模型見圖3-12首先在低于第一階臨界轉速nc130%范圍內進行剛性轉子平衡。然后升速進行柔性轉子平衡，取N=3。(1)N平面法平衡面：I、III、V式(3-66)右端以φ1、φ2、φ3表示，為未知數。由計算或測量得前三階主振型2023/6/243轉子動平衡教程s1(zk)、s2(zk)、s3(zk)，zk為三個加重面軸向位置(k=1、2、3)設振型已規格化，式(3-66)可寫成將轉速升到nc1附近，近似由φ2=φ3=0,可得一階振型平衡量組式中：A1、A2、A3——求解上述方程組的具體數值。相對值為平衡重量大小可用前述試加重量法求得。重量組配置見圖3-13(a)平衡一階振型后，然后升速至nc2附近，此時，同樣近似有φ1=φ3=0,同樣可得第二組平衡量組2023/6/244轉子動平衡教程二階振型平衡量組相對值為若|U23|>|U21|，則取|U23|為分母，平衡重量配置見圖3-13(b)同理，升速至第三階臨界轉速nc3附近，有φ1=φ2=0,可得三階振型平衡量組由此，可求得平衡量組相對值以上各平衡量組位于不同軸向平面上，須按矢量運算進行疊加。顯然，所加的一組不平衡量并不滿足：因此，N平面法部分地破壞了剛性轉子平衡。（2）N+2平面法2023/6/245轉子動平衡教程平衡面數為N+2=5個，即圖3-13中的I、II、III、IV、V共五個平面，其余步驟類似N平面法。聯合式(3-66)及(3-67)得求解上述方程組可得U1、U2、U3、U4、U5?？煞謩e令：φ2=φ3=0,φ1=φ3=0,φ1=φ2=0解上述方程組得三組U1、U2、U3、U4、U5。平衡量組配置見圖3-13。顯然，這是滿足：因此，不破壞原先完成的“剛性轉子”平衡。注意點：2023/6/246轉子動平衡教程1）加重面數不少于要平衡的主振型階數；2）加重數值分配比例應滿足正交條件，不產生附加的不平衡分量，即要求計算或測量得到準確的振型曲線，否則就不滿足正交條件。2023/6/247轉子動平衡教程第四節影響系數法對于線性系統，在一定轉速下，不平衡與響應存在關系：式中：——i處響應

——j處不平衡量

——影響系數，j點處不平衡量與i點處振動響應關系，為一矢量，且影響系數是轉速的函數，與轉速有關。測取影響函數，應使轉速穩定。影響系數確定：首先在一定轉速下，測取i點原始不平衡處響應(振幅及相位)，然后，在j平面上加一已知不平衡量，再測取i點處的振動，由引起的振動為，即2023/6/248轉子動平衡教程故影響系數為：上式按復數運算。設轉子有M個平衡面，共有N個測點，則有式中：為轉子原有的相當于再平衡面1,2,…,M上的不平衡量，測試轉速為ω1。再平面1上加不平衡量后，將轉子啟動，仍在ω1下測取各點響應，記為2023/6/249轉子動平衡教程兩式相減得由此可得同理，在2平面上加試重可以求得，加M次試重，可求得所有M×N個(幅值與相位)影響系數。改變轉速為ω2，重新測試，可得M×N個影響系數。2023/6/250轉子動平衡教程二、動平衡方程組——矢量聯立方程組1.剛性轉子支承在兩支點的剛性轉子，只需兩個平衡面，分別在其上加試重可得到兩支承(平衡面)處的影響系數若在一、二兩個平衡面上應加校正量為，使得兩支承處的振動為零，即滿足方程式中：——為第一、第二測點的原始振動值。由克萊姆法則，可得2023/6/251轉子動平衡教程2.柔性轉子設加重面為j=1,2,3,…M，選定測點(包含所有轉速下的測點)為i=1,2,3,…N，通過加試重可得個測點影響系數。設各測點原始振動為(i=1,2,…N)，則應在平衡面加校正量后，各測點振動為零。由此得矢量聯立方程組：用矩陣形式表示為：簡寫為2023/6/252轉子動平衡教程柔性平衡轉速通常不止一個，為使方程有精確解，必需使M=N，而N=H.n，其中n為一個轉速下的測點數，H為平衡轉速數。通常平衡轉速應包含臨近臨界轉速及工作轉速。由于加重面數M受到限制，一般N>M，即方程數多于未知數，稱為矛盾方程組，故不存在精確解，只能得到近似解。若N<M，則為不定方程，無唯一解。平衡面選擇：1）影響系數大，靈敏度高；

2）測試精度高，重復性好；

3）排除相關平衡面；

4）關鍵——測量的影響系數必需準確。三、解復數矛盾方程組的最小二乘法1）在N個測量方程中，減去N-M個方程，使得方程組成為正規方程組求解。缺點：難于滿足大量舍去其它測點結果要求，甚至導致平衡狀態惡化。2023/6/253轉子動平衡教程2）六十年代，P.T.Goodman提出“計算平衡校正量的最小二乘法”。設想是將個測點剩余(殘余)振動普遍下降，即加上一組平衡配重后，各測點振動平方和最小。特點：測點數不受限制，滿足了柔性轉子多平衡面多轉速下進行平衡的要求。設原始振動為：，各平衡轉速下的影響系數為(j=1,2,…M，為平衡面編號；i=1,2,…N，為測點編號),待求校正量為，令(i=1,2,…N)為各測點剩余振動，在線性條件下，滿足方程組：2023/6/254轉子動平衡教程簡寫為：令s為剩余振動的平方和，則式中：為的共軛復數。若一組校正量滿足上式，則為最有近似解。由上式可知，s是自變量(j=1,2,…M)的二次函數，因此，上式為求解二次函數s的極值問題。由于s是的連續函數，且故必存在一組，或使得s值為最小。即滿足2023/6/255轉子動平衡教程由于：則有將實部與虛部展開得代入極值條件中可得2023/6/256轉子動平衡教程由上兩式得將式(3-82)代入，并整理得此即為由最小二乘法導出的對應于矢量矛盾方程組的復數正規方程組，寫成矩陣形式為：由此可知：將復數矩陣的共軛轉置矩陣左乘原矛盾方程組，可直接求得對應復數正規方程組，即2023/6/257轉子動平衡教程設為矛盾方程組近似最優解，可用矩陣表示為：最后，用所求結果代入(3-78)式，校驗剩余振動值是否在允許范圍內。四、加權迭代在選定配重方案下總的剩余振動為若存在剩余振動偏大，即|δ|max>>R，可進行加權迭代，使得最大剩余振動下降，但其它測點剩余振動有可能增加。但剩余振動平方和以不加權迭代的數值最小。設N個測振點的加權因子為λi，分別乘以(3-79)兩邊得2023/6/258轉子動平衡教程由最小二乘法得其中加權因子根據經驗得出，一般推薦，如果剩余振動過大，可進行第二次迭代，一般迭代1~2次即可。因此，影響系數法平衡柔性轉子的步驟為：1）確定平衡面數；2）給定轉速下，測得N個測點的原始不平衡振動值；3）依次在M個平衡面上加已知試重，在同樣給定轉速下測出N個測點的振動值；4）根據測量結果(編程)計算影響系數;5）利用最小二乘法或加權最小二乘法求解矛盾方程組，得到校正量；6）校核剩余振動：滿足即結束；若不滿足，進入第5)步驟。2023/6/259轉子動平衡教程模態平衡法與影響系數法的比較：如果平衡轉速選擇在N個臨界轉速附近，并選M=N個校正面，一個測振點。校正平面zj試重qj引起的振動為當平衡轉速ω接近臨界轉速ωck時，上式中以k階響應項為主，其它項可忽略，此時影響系數為：此時影響系數矩陣的每一行與sk(z1),sk(z2),…sk(zM)成比例。此時，兩種方法等效；若平衡轉速不選在臨界轉速附近，則結論不成立。2023/6/260轉子動平衡教程第五節柔性轉子其它平衡方法一、混合平衡法（振型影響系數法）1.影響系數法優點：可同時平衡幾階振型，平衡方便，可利用計算機輔助平衡，便于實現數據處理自動化；缺點：高速下平衡啟動次數多，高階振型敏感性降低，可能存在相關平面，得到不正確的校正量。2.模態平衡法優點：高速平衡啟動次數少，敏感性高，低階振型不受影響；缺點：振型不易側準，系統阻尼大時不夠有效，對于軸系平衡時，在臨界轉速附近不易獲得單一振型。3.混合平衡法結合兩者優點，在影響系數法基礎上，充分利用模態平衡2023/6/261轉子動平衡教程法中的振型分離特點選擇各項系數，效果較好。以圖3-14所示轉子為例設在轉速范圍內出現兩階臨界轉速，按模態平衡法中N+2平面法，選取四個校正面，即N=4，校正面按模態平衡法選取。如圖中1,2,3,4四個平面。由振型平衡方程可得2023/6/262轉子動平衡教程式中：簡寫為上式校正量有唯一解，但是隨機分布的，無法直接求解出校正量，利用影響系數，可列出四個線性方程若選取合適，上述方程組有唯一解，且滿足式(3-91)。由式(3-92)得式中2023/6/263轉子動平衡教程若值滿足式(3-95)，則式(3-93)的解必滿足式(3-91)。取兩支點為測點，按振型分離步驟升速，先進行低速動平衡，轉速為ω0，由式(3-95)得式中上角標(0)表示原始狀態。低速平衡，振型不平衡分量作用很小，上式可簡化為：可求得兩支承振動校正量為2023/6/264轉子動平衡教程由此得到校正量，然后升速至ω1，進行一次高速動平衡，測得兩支承振動為：式中：2023/6/265轉子動平衡教程因ω1接近一階臨界轉速，主要為一階振型不平衡分量的作用，上式可近似簡化為方程組線性相關，故只能取一個振動值，若，一般取較大的值。按N+2平面法，校正重由下式獲得式中：為相應于加一次配重后在轉速ω0時二支承的振動。該方程相容，滿足平衡方程式(3-91)中前三個方程。即轉子可以平穩地通過一階臨界轉速，又不破壞剛性轉子平衡。同理，將轉速升到二階臨界轉速附近，進行高速動平衡，平衡轉速為ω2，二支點振動可近似簡化為：2023/6/266轉子動平衡教程同樣，方程組線性相關，只能取振動較大值，此時校正量為四個，可由下式求得式中：相應為轉子加上二次配重后二支承振動，該方程滿足平衡方程式(3-91)中的四個方程。最后得到總校正量為該校正量可使轉子在全速范圍內達到平衡2023/6/267轉子動平衡教程二、振型圓平衡法（模態響應圓平衡法）模態平衡法要求在各階臨界轉速下進行平衡，但會引起過大振動，且不穩定。振型圓平衡法：利用模態分析技術，通過振型圓，在臨界轉速時分離出該階模態，尤其適用于多跨軸系。1.基本原理振型圓——模態圓。已知Jeffcott轉子運動方程為：式中：z=x+iy，令n=c/(2m)，，其穩態解為2023/6/268轉子動平衡教程由式(3-100)有由此得故有上式為復平面上的振型圓方程。圓心在虛軸一側并與實軸相切，見圖3-15(a)。經過圓心和臨界轉速點的直徑OA稱為共振直徑。實際振型圓不封閉，見圖3-15(b)。特點：2023/6/269轉子動平衡教程1）具有一般模態圓特征；2）在臨界轉速附近，相位變化劇烈，當ω=ωc時：

ds/dω=03）ω=ωc時，φ=π/2，表明不平衡激振力垂直共振直徑，并超前，因而確定了不平衡激振力方向；4）單自由度系統，矢端圓近似為一個圓，多自由度系統，圖形比較復雜，但在各階臨界轉速附近，矢端圖仍接近一個圓。圖3-16為一雙支點對稱轉子軸承測得的振型圓圖，不平衡位于平面1(軸承A)一側，靠近不平衡量一側的兩階臨界轉速時的振型圓是同相的；另一側兩個振型圓則是反相的。2.平衡方法影響因素：其它振型、初始彎曲、熱變形等。1）（A法）根據預先計算結果，在臨界轉速附近測得轉子或軸承的振幅、相位，繪制振型圖(見圖3-17)。2023/6/270轉子動平衡教程2）（B法）借試重求出影響矢量。特點：1）測量精度高，數據可靠；2）測量速度快，不需穩速測量；3）平衡精度高，可有效分離振型；4）需具備多點連續自動檢測和分析裝置。三、限制最大平衡配重法高速微型發動機轉子，由于結構限制，平衡配重受到一定限制，由此，對轉子配重的最大值做出限制，以便在規定平衡配重的條件下達到平衡精度要求的目的。1）首先，選擇可用于平衡的面，進行轉子動力學分析，剔除相關平面，確定平衡面數N；2）對最小二乘法進行改進，限定最大配重量，通過優化配置（如遺傳算法等）獲得在限定最大配重條件下的最優2023/6/271轉子動平衡教程平衡配重組合；3）校核平衡結果。四、諧波小波在柔性轉子平衡中的應用1.動平衡信號的特點不平衡引起的振動信號主要是與轉速同頻率的正弦波，是振動信號的主要成分，實際測量信號中可能還有2,3,4等倍頻，l/2的亞倍頻，隨機振動等成分，因此實際信號可以用下面的模型來表示：

(3-4-1)

式中e(t)是測量實際信號，E0是測量儀輸出的直流信號，是不平衡量引起的基頻信號，是各諧波分量。2.諧波小波濾波原理諧波小波為復小波，在頻域緊支，有明確的函數表達式：2023/6/272轉子動平衡教程(3-4-2)圖3.4.1諧波小波時域圖圖3.4.2諧波小波頻域圖根據小波理論對諧波小波進行伸縮、平移就生成諧波小波函數族及其伸縮平移函數族構成信號的正交基。因而，將諧波小波作為基函數系可以將信號既不重疊、又無遺漏地分解到相互獨立的頻域空間，重構轉速頻段的信號即實現了濾波功能。圖3.4.3二進諧波小波對頻域空間的劃分2023/6/273轉子動平衡教程二進諧波小波在高頻段存在頻段帶寬太大的缺點，需要對其進行改進，寫為更一般的形式：

(3-4-3)其中m，n可以不是整數。取一定步長k/(n-m)上式變為：

(3-4-4)定義一對復小波系數

(3-4-5)

則離散信號f(r)在頻段2mπ~2nπ的重構為

(3-4-6)2023/6/274轉子動平衡教程不平衡量信號是與轉速同頻的，因此可以根據轉速信息來調整m和n的值，從而達到控制通帶的帶寬和頻率中心的目的，完全符合自適應濾波的要求。m和n的值由下式確定：

(3-4-7)其中N為采樣點數，fs為采樣頻率，fmin和fmax分別為帶通濾波器下截止頻率和帶通濾波器上截止頻率。3.仿真試驗為了驗證上述方法的有效性，根據式(3-4-1)建立含噪不平衡量信號的模型：

(3-4-8)不平衡量信號頻率f1=480Hz，倍頻f2=960Hz，噪聲n(x)，是均值為0，方差為1的高斯白噪聲信號，采樣頻率12.2kHz，采樣長度1024，濾波帶寬32Hz，下截止頻率464Hz，上截止頻率496Hz。濾波試驗結果見圖3.4.42023/6/275轉子動平衡教程圖3.4.4濾波試驗結果圖2023/6/276轉子動平衡教程由圖3.4.4(a)可見不平衡量信號完全淹沒在噪聲信號中，無法獲得信號幅值和相位信息；圖3.4.4(b)和圖3.4.4(c)分別為無噪聲干擾的不平衡量信號和諧波小波濾波后的信號，兩圖比較可以看出，推廣的諧波小波濾波能夠有效地消除噪聲干擾，較好地還原出了不平衡量信號，幅值存在微小誤差，相位無滯后。2023/6/277轉子動平衡教程第六節柔性轉子平衡精度1.剛性轉子：國際標準ISO-1940，采用偏心速度評定。偏心速度Ve可表示為：Ve=eω/1000(毫米/秒)式中：e——不平衡偏心(微米)，其值為其中：URA——轉子允許剩余不平衡量(克.毫米)；

M——轉子質量(公斤)。乘積eω代表了轉子轉速為ω時的質心速度，國際標準中按不同的eω值將平衡精度分為11個等級，各等級之間公比為2.5.對于燃氣輪機轉子，標準規定平衡精度應達到G2.5級，即偏心速度Ve=1～2.5毫米/秒，轉速較高的轉子，Ve相應取較小值。確定偏心速