高三開學收心考試模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高中數(shù)學全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．集合，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且當，當，當，所以，故．故選：B2．已知i為虛數(shù)單位，若是實數(shù)，則（）A．2B．-2C．D．【答案】C【解析】．因為是實數(shù)，所以，解得，所以．故選：C3．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，解得．故選：B4．已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，邊化角得，又，所以，展開得，所以，因為，所以．故選：B．5．已知，且，則向量夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)向量的夾角為，因為，所以．故選：B．6．漸進式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長退休年齡，該方案將從正式實施開始每年延長幾個月的退休時間，直到達到法定退休年齡．男性延遲退休的的年齡情況如表所示：出生年份退休年齡出生年份退休年齡出生年份退休年齡196160．00196861．75197563．50196260．25196962．00197663．75196360．50197062．25197764．00196460．75197162．50197864．25196561．00197262．75197964．50196661．25197363．00198064．75196761．50197463．25198165．00若出生年代為，且，相應(yīng)的退休年齡為，且，則與的關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，故，是以為首項，公差為的等差數(shù)列，故，故故選：C7．已知點F是雙曲線的右焦點，點P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，且PF與x軸垂直，點Q是雙曲線漸近線上的動點，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由雙曲線方程可得，點F坐標為，將代入雙曲線方程，得，由于點P在第一象限，所以點P坐標為，雙曲線的漸近線方程為，點P到雙曲線的漸近線的距離為．Q是雙曲線漸近線上的動點，所以的最小值為．故選：B．8．如圖，△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD=3，E為線段BD中點，將△ABC沿AD折成大小為的二面角，連接BC，形成四面體，若P是該四面體表面或內(nèi)部一點，則下列說法錯誤的是（）A．點P落在三棱錐內(nèi)部的概率為B．若直線PE與平面ABC沒有交點，則點P的軌跡與平面ADC的交線長度為C．若點P在平面ACD上，且滿足，則點P的軌跡長度為D．若點P在平面ACD上，且滿足，則線段PB長度為定值【答案】D【解析】如圖示，由題意可知底面BCD，由于E為線段BD中點，故，故P落在三棱錐內(nèi)部的概率為，故A正確；若直線PE與平面ABC沒有交點，則P點在過點E和平面ABC平行的平面上，如圖示，設(shè)CD的中點為F，AD的中點為G，連接EF，F(xiàn)G，EG，則平面EFG平面ABC，則點P的軌跡與平面ADC的交線即為GF，由于△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD=3，故，則，故B正確；若點P在平面ACD上，且滿足，以D為原點，DC，DA為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，則，設(shè)，則，即，故P點在平面ADC上的軌跡即為該圓被平面ADC截得的圓弧（如圖示），由可得，則，則點P的軌跡長度為，故C正確；由題意可知，故平面ADC，故，由于P在圓弧上，圓心為M，故PD的長不是定值，如上圖，當位于N點時，，當位于T點時，，故線段PB長度不是定值，D錯誤，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．設(shè)正實數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（）A．的最小值為3B．的最大值為1C．的最小值為2D．的最小值為2【答案】ABD【解析】因為正實數(shù)m、n，所以，當且僅當且m+n=2，即m=n=1時取等號，此時取得最小值3，A正確；由，當且僅當m=n=1時，mn取得最大值1，B正確；因為，當且僅當m=n=1時取等號，故≤2即最大值為2，C錯誤；，當且僅當時取等號，此處取得最小值2，故D正確．故選：ABD10．如圖，若為正六棱臺，，，則下列說法正確的是（）A．B．平面C．平面D．側(cè)棱與底面所成的角為【答案】BCD【解析】對于A選項，因為與平行，與異面，故A錯誤；對于B選項，連接，，因為六棱臺是正六棱臺，所以平面，平面，故，又因為底面是正六邊形，所以，平面，平面，所以平面，即平面，故B正確；對于C選項，設(shè)與交于點，因為，，所以，，又，所以，即，又，所以是平行四邊形，，平面，平面，所以平面，故C正確；對于D選項，平面，平面為側(cè)棱與底面所成的角，在中，，所以，故D正確．故選：BCD11．已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗可得，隨機變量X的分布列為X0a2Pb其中結(jié)論正確的是（）A．B．若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為C．D．當最小時，【答案】ABC【解析】由題意，，，故選項A正確；該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為，故選項B正確；隨機變量X的期望值，可知方差，當時，，故選項C正確；當時，，故選項D錯誤．故選：ABC．12．當時，不等式成立．若，則（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】當時，不等式，令，則在上單調(diào)遞增，因，則，A正確；因，則，B不正確；由知，，有，則，由選項A知，，即，C不正確；由得，，則，D正確．故選：AD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線與曲線相切，則___________．【答案】【解析】解：由，所以設(shè)切點為，則，，消去得，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，此時．故答案為：14．隨著北京冬奧會的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內(nèi)外，現(xiàn)有2個完全相同的“冰墩墩”與甲、乙兩位運動員隨機站成一排拍照留念，則2個“冰墩墩”連在一起的概率為______；【答案】【解析】乙兩位運動員與2個“冰墩墩”排成一排的所有排法有種，其中2個“冰墩墩”連在一起的排法有種，由古典概型的概率公式可得事件2個“冰墩墩”連在一起的概率，故答案為：．15．設(shè)拋物線的焦點為F，準線l與x軸交點為K，點A在C上，點A的橫坐標為2，，以F為圓心且與直線相切的圓的方程為_________．【答案】【解析】根據(jù)拋物線定義，，得，拋物線方程為，，，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，則，直線的方程為，即，點到直線的距離，所求圓方程為．故答案為：．16．已知函數(shù)，其中，，恒成立，且在區(qū)間上恰有個零點，則的取值范圍是______________．【答案】【解析】由已知得：恒成立，則，，由得，由于在區(qū)間上恰有3個零點，故，則，，則，只有當時，不等式組有解，此時，故，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸．17．（10分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A；（2）若，求的面積．【解析】（1）由正弦定理得，因為，所以，所以，化簡得，所以，因為，所以．（2）因為，由余弦定理得，又，所以，即，解得，則的面積．18．（12分）已知正項數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和為，求證：．【解析】（1）數(shù)列中，，由，可得，又，則數(shù)列是首項為1公差為2的等差數(shù)列，所以，則數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，則，則數(shù)列的前n項和，∵，∴，∴，∴，∴，∴．19．（12分）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點，點P在直線A1B1上．（1）證明：PN⊥AM；（2）當平面PMN與平面ABC所成的銳二面角為45°時，求平面PMN與側(cè)面A1ACC1的交線長．【解析】（1）由題意兩兩垂直．所以以分別作為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，則．∵M是的中點，N是的中點，∴，設(shè)，∴，則，則，所以．（2）設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即令，則，又平面的一個法向量為，平面與平面所成的銳二面角為時，∴，即，解得，此時，如圖位置，設(shè)為的中點，連接，交于點，由且所以與全等，則為中點．連接由分別為中點，則又分別為中點，則，所以所以點共面，又所以共面，即面與面重合．所以平面與側(cè)面的交線為，所以交線長度為20．（12分）某學校組織“紀念共青團成立100周年”知識競賽，有A，B，C三類問題，每位參加比賽的同學需要先選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，只有答對當前的問題才有資格從下一類問題中再隨機抽取一個問題回答．A類問題中的每個問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分，C類問題中的每個問題回答正確得30分，否則得0分．已知小康同學能正確回答A類問題的概率為0．8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0．6，能正確回答C類問題的概率為0．4，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小康按照的順序答題，記X為小康的累計得分，求X的分布列；（2）相比較小康自選的的答題順序，小康的朋友小樂認為按照的順序答題累計得分期望更大，小樂的判斷正確嗎？并說明理由．【解析】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，30，50，60所以X的分布列為X0305060P0．60．160．0480．192（2）由（1）知，．若小康按照順序答題，記Y為小康答題的累計得分，則Y的所有可能取值為0，10，30，60，所以故小樂的判斷正確．21．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，且經(jīng)過點（1，）．（1）求橢圓C的方程；（2）動直線l：y=x+m與橢圓C相切，點M，N是直線l上的兩點，且F1M⊥l，F(xiàn)2N⊥l，求四邊形F1MNF2的面積；（3）過橢圓C內(nèi)一點T（t，0）作兩條直線分別交橢圓C于點A，C，和B，D，設(shè)直線AC與BD的斜率分別是k1，k2，若|AT|·|TC|=|BT|·|TD|，試問k1+k2是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由．【解析】（1）由題意可得，將點代入橢圓方程得，解得，即有橢圓方程為；（2）將直線代入橢圓方程可得，，由直線和橢圓相切的條件可得，解得，焦點，由對稱性可取直線，則，，即有四邊形的面積為；（3）可得直線的方程為，聯(lián)立方程，得．設(shè)，則．∵．同理，直線的方程為，則．∵，∴．又T為橢圓內(nèi)任意一點，∴，即，所以，∴．又直線與不重合，∴為定值．22．（12分）已知函數(shù)，其中，且．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若只有一個零點，求的取值范圍．【解析】（1）當時，，，易知在上單調(diào)遞