北京市中考真題匯編四邊形

多邊形、平行四邊形

(2009)4.若一個正多邊形的一個外角是40°,則這個正多邊形的邊數是。

A.10B.9C.8D.6

(2008)5.若一個多邊形的內角和等于720°,則這個多邊形的邊數是()

A.5B.6C.7D.8

(2005)15.如果正多邊形的一個外角為72。，那么它的邊數是.

易錯：多邊形內角和、外角和公式

避免錯誤的方法：熟記公式

(2007)12.下圖是對稱中心為點0的正六邊形。如果用一個含30°角的直角三角板的角，

借助點0(使角的頂點落在點0處)，把這個正六邊形的面積n等分，那么n的所有可能的

值是_________。\——，

(2005)9.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，連結CE并延長交BA的延長線

于點F,則下列結論中錯誤的是()

A.ZAEF=ZDECB.FA:CD=AE:BCC.FA:AB=FE:ECD.AB=DC

易錯：平行線分三角形兩邊成比例性質

避免錯誤的方法：熟記性質及其應用

22.閱讀下列材料：

(2009)小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方

形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接

成一個新的正方形.他的做法是：按圖2所示的方

法分割后，將三角形紙片①繞AB的中點0旋轉至

三角形紙片②處，依此方法繼續操作，即可拼接

成一個新的正方形DEFG.

請你參考小明的做法解決下列問題：

(1)現有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列

形式如圖3所示.請將其分割后拼接成一個平行四

邊形.要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形(畫出一個符合條件的平行四邊形即

可；

(2)如圖4,在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA

的中點，分別連結AF、BG、CILDE得到一個新的平行四邊形MNPQ請在圖4中探究平行四邊

形MNPQ面積的大小(畫圖并直接寫出結果).

IH-1

(2011)24.在平行四邊形ABC。中，NBA。的平分線交直線BC于點E,交直線0c于點

F.

(1)在圖1中證明CE=CF；

⑵若NA8C=90。，G是EF的中點(如圖2),直接寫出NBOG的度數；

⑶若NABC=120。，FG//CE,FG=CE,分別連結、DG(如圖3),求NBDG的度

數.

特殊四邊形

矩形

(2010)22、閱讀下列材料:

小貝遇到一個有趣的問題：在矩形4比7?中，4/8cm,%=6cm.現有一動點?按下列方式在矩

形內運動：它從1點出發，沿著與邊夾角為45°的方向作直線運動，每次碰到矩形的一

邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為45°的方向作直線運動，

并且它一直按照這種方式不停地運動，即當尸點碰到8。邊，沿著與BC邊彳p-s~2---1

夾角為45。的方向作直線運動，當尸點碰到切邊，再沿著與以邊夾角'、、'''、

為45。的方向作直線運動，…，如圖1所示，問尸點第一次與〃點事合''、、、、、

的與邊相碰幾次，P點第?次與〃點事合時所經過的路徑總長是多少.'、、/卜

示貝的思考是這樣開始的：如圖2,將矩形ABCD沿直----------」

線切折疊，得到矩形ARC。.由軸對稱的知識，發2p百

現后舄=gE,RA=PR\/、'、、/'、?

請你參考小貝的思路解決下列問題：''、、、、、，/

⑴夕點第一次與〃點事令的與邊相碰_______次；P、、①

點從A點出發到第一次&D點事合時所經過的路徑的__________\/|_________________I

總長是cm；BP'C&

(2)進一步探究：改變矩形四(力中皿、群的長，且滿足相＞四，動點戶從/點出發，按

照閱讀材料中動點的運動方式，并滿足前后連續兩次與邊相碰的位置在矩形4比7?相鄰的兩

邊上，若尸點第一次與5點重合前與邊相碰7次，貝IJ/8：的值為.

菱形

(2010)4、若菱形兩條對角線長分別為6和8,則這個菱形的周長為()

A.20B.16C.12D.10

(2008)25.請閱讀下列材料:

問題：如圖1,在菱形A6CO和菱形BEFG中，點A,BE在同一條直線上，P是線段。戶的中

PC

點，連結PG,PC.若NA5C==60°,探究PG與PC的位置關系及一的值.

PC

小聰同學的思路是：延長GP交。。于點“，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決.

PC

（2）將圖1中的菱形6EFG繞點8順時針旋轉，使菱形6EEG的對角線8R恰好與菱形A6CO的

邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）.你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？

寫出你的猜想并加以證明.

⑶若圖1中AABC=NBEF=2a（0°<a<90°）,將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角度,

PG

原問題中的其他條件不變，請你直接寫出——的值（用含a的式子表示）.

PC

PG

解（1）線段PG與PC的位黃關系是.

~PC

（2）

正方形

（2009）12.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1,M、N分別是AD、BC邊上的點，將紙片的

一角沿過點B的直線折疊，使A落在MN上，落點記為A',折痕交AD于點E,若M、N分別

是AD、BC邊的中點，貝IJA'N=;若M、N分別是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點

（“22,且n為整數），貝IJA'N=（用含有n的式子表示）

（2006）22.（本小題滿分4分）

請閱讀下列材料：

問題：現有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖1,請把它們分割后拼接成一個新的

正方形.要求：畫出分割線并在正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線

畫出拼接成的新正方形.

小東同學的做法是：設新正方形的邊長為x（x〉0）.依題意，割補前后圖形的面積相等,

有f=5,解得x=由此可知新正方形的邊長等于兩個正方形組

成的矩形對角線的長.于是，畫出如圖2所示的分割線，拼出如圖3所示的新正方形.

圖1圖2n

圖3

請你參考小東同學的做法，解決如下問題：

現有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖4,請把它們分割后拼接成一個新的正方

形.要求：在圖4中畫出分割線，并在圖5的正方形網格圖(圖中每個小正方形的邊長均為

1)中用實線畫出拼接成的新正方形.

說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程.r--,一一_-一一

解：：：：：：!

圖5

(2006)25.我們給出如卜定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對

角線四邊形.請解答下列問題：

(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；

(2)探究：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60°時，這對60°角所對的兩邊之

和與其中一條對角線的大小關系，并證明你的結論.

解：(1)

(2)

梯形

(2011)4.如圖，在梯形A8C。中，AD//BC,對角線AC、8。相交于點0,若

AD=\,BC=3,

(2010)19、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,

AB=DC=AD=2,aM.求N8的度數及ZC的長.

(2009)19.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,Z

B=90\ZC=45\

AD=1,BC=4,E為AB中點，EF〃DC交BC于點F,求EF

的長.

A

(2008)18.(本小題滿分5分)

如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,AB1AC,ZB=45°,

AD=6,BC=4立,求0c的長.

解：

(2007)18.(本小題滿分5分)

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=AD,ZC=60°,AE_LBD于點E,AE=1,

求梯形ABCD的高。

(2006)18.(本小題滿分5分)

已知：如圖，在梯形A8CO中，AD//BC,N45C=90',

NC=45°,8￡_1_。。于點￡,AD=1,CO=2后.

求：BE的長.

解：

(2005)20.已知:

AB、DC上，且BE=2EA,CF=2FD。求證：ZBEC=ZCFB

證明:

易錯：如何添加適當的輔助線解決相應的問題

避免錯誤的方法：嘗試添加不同的輔助線解決相應的問題

(2011)22.閱讀下面材料:

小偉遇到這樣--個問題：如圖1,在梯形ABCD中，AC〃BC,對角線AC、

8。相交于點0.若梯形A8CO的面積為1,試求以4C、BD、AO+8C的長

度為三邊長的三角形的面積.

小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的

線段，構造一個三角形，再計算其面積即可，他先后嘗試了翻折、旋轉、平

移的方法，發現通過平移可以解決這個問題.他的方

法是過點。作AC的平行線交8c的延長線于點E,得

到的即是以4C、B。、4C+8C的長度為三邊長

的三角形（如圖2）.

請你回答：圖2中ABOE的面積等于________./

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：/

如圖3,△4BC的三條中線分別為AO、BECF.B--------p--------

⑴在圖3中利用圖形變換畫出并指明以A。、BE、CF

的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；

⑵若△4BC的面積為1,則以A。、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面

積等于.

2011全國中考真題解析考點匯編☆四邊形綜合題

-?、選擇題

1.（2011重慶江津區，10,4分）如圖，四邊形48CD中，AC=a,BD=b,且AC1_

BD,順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A&G。，再順次連接四邊形48GR

各邊中點，得到四邊形“民。2。2…，如此進行下去，得到四邊形下列結論正確

的有（）

①四邊形是矩形；

②四邊形4B4c404是菱形；

③四邊形A5B5C5D5的周長是空2

④四邊形4&G4的面積是尹.

A、①②B、②③C、②③④D、①②③④

考點：三角形中位線定理；菱形的判定與性質；矩形的判定與性質。

專題：規律型。

分析：首先根據題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABC。中各邊長的長度關

系規律，然后對以下選項作出分析與判斷：

①根據矩形的判定與性質作出判斷；

②根據菱形的判定與性質作出判斷：

③由四邊形的周長公式：周長=邊長之和，來計算四邊形A585c5。5的周長；

④根據四邊形的面積與四邊形ABCD的面積間的數量關系來求其面積.

解答:解:①連接AG，BR.

?.?在四邊形ABC。中，順次連接四邊形4BC。各邊中點，得到四邊形4&GA,

二。。，

41〃8B￡i〃BD,C^Dy//AC,4Bi〃AC；

At。1//B\Ci,AiBt//CiDi,

???四邊形ABCD是平行四邊形：

.?.&a=AG（平行四邊形的兩條對角線相等）；

（中位線定理），

AA2D2=C2D2=C2B2^B2A2

...四邊形A2&C2D2是菱形；

故本選項錯誤；

②由①知，四邊形4&Q02是菱形；

根據中位線定理知，四邊形4B4c4。4是菱形：故本選項正確；

③根據中位線的性質易知，—八3&=-X-AfB-\——X—X—AB,85c5=

222222

-83c3=-X—Big=—X-X—BC,

222222

???四邊形A5B5c5D5的周長是2x』（a+b）="2：故本選項正確；

84

④一四邊形中,且一。,

48CDAC=af80=b,CJLB

**?S四邊收48co=ab；

由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半,

四邊形ABCD的面積是—；

nnnn2"

故本選項錯誤；

綜上所述，②③④正確；

故選c.

點評：本題主要考查了菱形的判定與性質、矩形的判定與性質及三角形的中位線定理（三角

形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）.解答此題時.，需理清菱形、矩形與平行四

邊形的關系.

2.（2011重慶市，9,4分）如圖，在平行四邊形ABCD中（AB#BC）,直線EF

經過其對角線的交點。，且分別交AD、BC于點M、

N,交BA、DC的延長線于點E、F,下列結論：

①A0=B0；②OE=OF；③△EAMs/XEBN；

④△EA0四△CNO,其中正確的是B卜

A.①②B.②③C.②④D.③④

考點：相似三角形的判定與性質:全等三角形的判定與性質;平?行四邊形的性質.9題圖

分析：①根據平行四邊形的對邊相等的性質即可求得AOWBO,即可求得①錯誤；

②易證△AOE04COF,即可求得E0=F0；

③根據相似三角形的判定即可求得△EAMs^EBN；

④易證△EAOgZXFCO,而AFCO和aCNO不全等，根據全等三角形的傳遞性即可判定該選項

錯誤.

答案：解：①平行四邊形中鄰邊垂直則該平行四邊形為矩形，故本題中ACWBD,即案WB0,

故①錯誤；

②；AB〃CD,

ZE=ZF,

又A=NFOC,AO=CO

.?.△AOE絲△COF,

/.OE=OF,故②正確;

③：AD〃BC,

.,.△EAM^AEBN,故③正確；

?,.,△AOE^ACOF,且△FCO和△CNO,

故4EA。和△CNO不相似，故④錯誤,

即②③正確.

故選B.

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了平行四

邊形對邊平行的性質，本題中求證AAOE咨aCOF是解題的關鍵.

3.（2010重慶，10,4分）如圖，正方形ABCO中，AB=6,點E在邊C。上，且。。=

3DE.將△ADE沿AE對折至△4rE,延長E尸交邊8c于點G,連結4G、C尸.下列結論:

①②8G=GC；③AG〃CF；④SAFGC=3.其中正確結論的個數是（）

10題圖

A.1B.2C.3D.4

考點：翻折變換(折疊問題)；全等三角形的判定與性質；勾股定理

分析：根據翻折變換的性質和正方形的性質可證△A8G名尸G；在直角AECG中，根據

勾股定理可證BG=GC-,通過證明NAGB=NAGF=NGFC=NGCF,由平行線的判定可得

AG//CFi由于SAFGC=SAGCE-S^FEC，求得面積比較即可.

解答：解：①正確.AB=AD=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90°,：.^ABG^/XAFG,

②正確.因為：EF=DE=LcD=2,設BG=FG=x,則CG=6-x.在直角^ECG中，根據勾

3

股定理，得(6-x)^+4^=(x+2)J解得x=3.所以BG=3=6-3=GC；

③正確.因為CG=BG=GF,感aFGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.又/AGB=/AGF,

ZAGB+ZAGF=^8Q0-ZFGC=ZGFC+ZGCF,

AZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCFf：.AG//CF；

④錯誤.過下作"LOG

,/BCkDH,

：.FH//GC,

???△EFHSAEGC,

.FH_EF

??—,

GCEG

EF=DE=2,GF=3f

EG=5,

?FHEF2

，，~GC=~EG=~5,

?]218

：?S&FGC=SAGCE-SAFEC=-x3x4—x4x(-x3)=—H3.

2255

故選C.

BGC

點評：本題綜合性較強，考查了翻折變換的性質和正方形的性質，全等三角形的判定與性質,

勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度.

4.（2011山東省濰坊，11,3分）己知直角梯形ABCD中，AD〃BC.ZBCD=90°,

BC=CD=2AD,E、F分別是BC、CD邊的中點.連接BF、DF交于點P.連接CP并延長

交AB于點Q,連揍AF,則下列結論不正頓的是（）.

A.CP平分NBCD

B.四邊形ABED為平行四邊形

C,CQ將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分

D.Z\ABF為等腰三角形

【考點】直角梯形；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質.

【專題】證明題；幾何綜合題.

【分析】本題可用排除法證明，即證明A、B、D正確，C不正確：易證△BCF^^DCE（SAS）,

WZFBC=ZEDC,.-.ABPE^AOPF,：.BP=DP：.*.ABPC^ADPC,AZBCP=ZDCP,

；.A正確；：AD=BE且AB〃BE,所以，四邊形ABED為平行四邊形，B正確；：BF=ED,

【解答】證明：易證4BCF名ADCE(SAS),

.,?ZFBC=ZEDC,BF=ED；

.,.△BPE^ADPF(AAS),

，BP=DP,

.,.△BPC^ADPC(SSS),

；.NBCP=/DCP,即A正確；

又：AD=BE且AB〃BE,

四邊形ABED為平行四邊形，B正確；

VBF=ED,AB=ED,

.-.AB=BF,即D正確；

綜上，選項A、B、D正確：

故選C.

【點評】本題考查了等腰三角形、平行四邊形和全等三角形的判定，熟記以上圖形的性質，

并能靈活運用其性質，是解答本題的關犍，本題綜合性較好.

5.（2011?河池）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，F為AD上一點，EF

交AC于G,AF=2cm,DF=4cm,AG=3cm,則AC的長為（）

A、9cmB、14cm

C>15cmD、18cm

考點：平行線分線段成比例；平行四邊形的性質。

分析:延長FG交CB的延長線于點H.根據平行四邊形的性質,得BC=AD=6cm,BC〃AD.根

AGAF

據AAS可以證明4AFE絲△BHE,貝ijBH=AF=2cm,再根據BC〃AD,得缶=而，求得

CG的長，從而求得AC的長.

解答：

解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

；.BC=AD=6cm,BC〃AD.

，/EAF=NEBH,ZAFE=ZBHE,

又AE=BE,

.?.△AFEgABHE,

.?.BH=AF=2cm.

VBC〃AD,

.AG=AF_

?'CG~CH'

即系=

則CG=12,

則AC=AG+CG=15（cm）.

點評：此題綜合考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定及性質、平行線分線段成比例

定理.此題中要能夠巧妙構造輔助線

6.（2011年湖南省湘潭市，5,3分）下列四邊形中，對角線相等且互相垂直平分的是（）

A、平行四邊形B、正方形C、等腰梯形D、矩形

考點：等腰梯形的性質；平行四邊形的性質；矩形的性質；正方形的性質.

有逐：常規題型.

分析:利用時角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形作出判斷即可.

解答:解：對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，

故選B.

點評：本題考查了等腰梯形、平行四邊形、正方形及矩形的對角線的性質，牢記特殊的四邊

形的判定定理是解決此類問題的關鍵.

7.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=ZADC=90Q,AB=AD=2發，CD=血，點P在四邊形ABCD

3

上，若P到BD的距離為二，則點P的個數為（）

2

A、1B、2C、3D、4p

【答案】B

【考點】解直角三角形；點到直線的距離.

【專題】幾何綜合題.

【分析】首先作出AB、AD邊上的點P（點A）到BD的垂線段AE,即點P到BD的最長距離,

作出BC、CD的點P（點C）到BD的垂線段CF,即點P到BD的最長距離，由已知計算出AE、

3

CF的長與二比較得出答案.

2

【解答】解：過點A作AEJ_BD于E,過點C作CFJ_BD于F,

VZBAD=ZADC=90°,AB=AD=2后，CD=AZABD=ZADB=45°,

.?.NCDF=90°-ZADB=45°,AE=AB?tanNABD=272?tan45°=26.顯=2>-,

22

-3

所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為-的點2個，

2

.,.CF=CD?tanZCDF=V2?—=1,所以在邊BC和CD上沒有到BD的距離為』的點，

22

3

所以P到BD的距離為一的點有2個，故選：B.

2

【點評】此題考查的知識點是解直角三角形和點到直線的距離，解題的關鍵是先求出各邊上

點到BD的最大距離比較得出答案.

8.（2011黑龍江牡丹江，20,3分）如圖，在正方形A8C。中，點。為對角線AC的中

點，過點。作射線O/W、ON分別交48、BC于點E、F,且NEOf=90。，BO.EF交

于點R則下列結論中：

（1）圖形中全等的三角形只有兩對；

（2）正方形ABCD的面積等于四邊形。EBF面積的4倍；

（3）BE+BF=\[2OA；

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質。

分析：本題考查正方形的性質，四邊相等，四個角都是直角，對角線相等，垂直且互相

平分，且平分每一組對角.

解答：解（1）從圖中可看出全等的三角形至少有四對.故（1）錯誤.

（2）△OBE的面積和△。尸C的面積相等，故正方形A8CD的面積等于四邊形0E8F面積

的4倍，故（2）正確.

（3）BE+BF是邊長,故是正確的.

（4）因為AE=BF,CF=BE,故/=20尸是正確的.

故選C.

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，以及勾股定理和相似三角

形的判定和性質等.

9.（2011廣東肇慶，9,3分）已知正六邊形的邊心距為G，則它的周長是（）

A、6B、12C、66D、1273

考點：正多邊形和圓。

專題：計算題。

分析：設正六邊形的中心是O,一邊是AB,過。作。GLAB與G,在直角^OAG中,

根據三角函數即可求得邊長AB,從而求出周長.

解答：解：如圖，在RQA0G中，OG=G，NAOG=30°,

/-0A=0G-ieos30°=G+2.

這個正六邊形的周長=12.

故選B.

AGB

點評：此題主要考查正多邊形的計算問題，屬于常規題.解題的關鍵是正確的構造直角

三角形.

二、填空題

1.（2011?賀州）把一張矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和頂點D重合，折痕

為EF.若BF=4,FC=2,則/DEF的度數是60。.

D(B)

“FC

考點：翻折變換（折疊問題）。

專題：計算題。

分析：根據折疊的性質得到DF=BF=4,ZBFE-ZDFE,在RSDFC中，根據含30。的直

角三角形三邊的關系得至U/FDC=30°,貝lJ/DFC=60°,所以有NBFE=NDFE=（180°-60°）

+2,然后利用兩直線平行內錯角相等得到/DEF的度數.

解答：解：；矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使頂點B和頂點D重合，折痕為EF,

.?.DF=BF=4,NBFE=/DFE,

在RtZ\DFC中，FC=2,DF=4,

.?.NFDC=30°,

Z.ZDFC=60°,

，NBFE=/DFE=（180°-60°）+2=60。，

.\ZDEF=ZBFE=60o.

故答案為60.

點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后的兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等.也

考查了矩形的性質和含30。的直角三角形三邊的關系.

2.1.（2011湖北孝感，16,3分）已知正方形ABCD,以CD為邊作等邊△CDE,^ZAED

的度數是________

考點：正方形的性質；三角形內角和定理；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質。

專題：計算題。

分析：當E在正方形ABC。內時，根據正方形ABC。，得到AO=CD,ZADC=90°,根據

等邊△CDE,得到CD=DE,ZCDE=60°,推出AD=DE,得出NOAE=/AE。，根據三角

形的內角和定理求出即可；

當E在正方形A8CD外時，根據等邊三角形CDE,推出/ADE=150。，求出即可.

解答：解:有兩種情況:

當E在正方形ABC。內時，

???正方形4BCD，

：.AD=CD,ZADC=90°,

?:等邊叢CDE,

：.CD=DE,ZCDE=60°,

/.Z^De=90o-60°=30°,

AD=DE,

1

：.ZDAE=ZAED=~(180°-ZADE)=75°；

2

當E在正方形ABCD外時，

?.?等邊三角形CDE,

：.ZEDC=60°,

.?./ADE=90°+60°=150°,

1

：.ZAED=ZDAE=~(180°-ZADE')=15°.

2

故答案為：15。或75。.

點評：本題主要考查對正方形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的內

角和定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.

3.（2010河南，13,3分）如圖，在四邊形A8CD中，NA=90。，封。=4,連妾BD,BD±CD,

ZADB=ZC.若P是8c邊上一動點，則DP長的最小值為4.

考點：角平分線的性質；垂線段最短

分析：根據垂線段最短，當。尸垂直于BC的時候，DP的長度最小，則結合已知條件推出

NC=/ADC,推出△A8C絲△PBD,即可/4D=DR

解答：解：根據垂線段最短，當OP,8c的時候，OP的長度最小，ZADB=ZC,

/A=90。，：.ZC=ZADC,：./\ABC^/\PBD,'：AD=4,：.DP=4.故答案為：4.

點評：本題主要考查了直線外一點到直線的距離垂線段最短、全等三角形的判定和性質、角

平分的性質，解題的關鍵在于確定好。戶處置于8C.

三、解答題

1.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,過點D作DEJ_BC,垂足為E,并延長

DE至F,使EF=DE.連接BF、CD、AC.

(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形；

(2)如果DE2=BE-CE,求證四邊形ABFC是矩形.

考點I等腰梯形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；矩形的性質;

相似三角形的判定與性質.

專題：證明題.

分析:(1)連接BD,利用等腰梯形的性質得到AC=BD,再根據垂直平分線的性質得到

DB=FB,從而得至UAC=BF,然后證得AC〃BF,利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形;

(2)利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應角相等，

從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

解答：證明：(1)連接BD,

?梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,

AC=BD?NACB=NDBC

VDE1BC,EF=DE,

BD=BF>NDBC=NFBC,

???AC=BF,ZACB=ZCBF

???AC〃BF,

???四邊形ABFC是平行四邊形;

DB_CB

：.筋一段,

VZDEB=ZDEC=90°,

AABDE^ADEC

.\ZBDC=ZBFC=90°,

???四邊形ABFC是矩形.

點嚴：本題考查了等腰梯形的性質、全等及相似三角形的判定及性質等，是一道集合了好幾

個知識點的綜合題，但題目的難度不算大.

2.(2011四川廣安，23,8分)如圖5所示，在菱形A8C。中，ZABC=60°,DE//AC

交8c的延長線于點￡求證：DE=工BE.

2

AD

E

圖5

考點：菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，線段的倍分

關系

專題：四邊形

分析：思路一：易知四邊形ACED是平行四邊形，則從而可知8C=

-BE,要說明只需說明。E=8C即可.

22

思路二：連接8。，先證/8。￡=90。，再證/。8￡=30。，根據30。的角所對的直角邊

等于斜邊的一半可直接獲得結論（自己完成證明過程）.

解答：?.SBC。是菱形，

：.AD//BC,AB=BC=CD=DA.

又?../人8。=60°,

BC=AC=AD.

?：DE//AC

...ACE。為平行四邊形.

:.CE=AD=BC,DE=AC.

：.DE=CE=BC,

：.DE=-BE.

2

點評：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，而平行四邊形的對邊相等，由此可以得出

相等的線段，可實現線段的等量代換（轉移），這就為證明線段相等或倍、分關系創造了條

件.

3.（2010重慶,24,10分）如圖，梯形ABC。中，AO〃BC,ZDCB=45°,CD=2,BD±CD.ji

點C作于E,交對角線BDFF,點G為BC中點，連接EG、AF.

（1）求EG的長；

（2）求證：CF=AB+AF.

C

24題圖

考點：梯形；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理

分析：（1）根據BOLC。，Z008=45°,得至求出BD=CD=2,根據勾股

定理求出BC=2J5,根據CELBE,點G為BC的中點即可求出EG；

（2）在線段CF上截取CH=BA,也DH,OBD1.CD,BE1.CD,蒯ZEBF=ZDCF,

證出△48。絲△HC。，得到AD=BD,NADB=/HDC,根據AD//BC,得到

ZADB=ZDBC=45°,推出證出尸，即可得到答案.

解答：（1）解：VBD±CD,ZDCB=45°,

：.ZDBC=45°=ZDCB,：.BD=CD=2,在RtABDC中BC=[BD?+CD。=2近,

?.?CE_L8E,點G為8c的中點，：.EG=-BC=42.

2

答：EG的長是行.

（2）證明：在線段CF上截取CH=BA,連接0H,

24題答圖

BDLCD,BE_LCE,

：.ZEBF+ZEFB=90°,ZDFC+ZDCF=90°,

,:NEFB=NDFC,

ZEBF=ZDCF,

?:DB=CD,BA=CH,

??.△ABgAHCD,

:.AD=DH,/ADB=/HDC,

,:AD〃BC,

：.ZADB=ZDBC=45°,

.??ZHDC=45°,I.ZHDB=ZBDC-ZHDC=45°,

:./ADB=/HDB,

?：AD=HD,DF=DF,

:?4ADF冬AHDF,

：.AF=HF,

：.CF=CH+HF=AB^AF,

：.CF=AB^AF.

點評：本題主要考查對梯形，全等三角形的性質和判定，平行線的性質，直角三角形斜邊上

的中線，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵.

4.（2011?泰州，24,10分）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線I垂直平分線段AC,垂足

為O,直線I分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F.

（1）AABC與aFOA相似嗎？為什么？

考點：相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質；菱形的判定；矩形的性質。

專題：證明題；綜合題。

分析：（1）根據角平分線的定義，同角的余角相等可知NAF0=NCAB,根據垂直的定義,

矩形的性質可知/ABC=NFOA,由相似三角形的判定可證4ABC與aFOA相

似；

(2)先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形

作出判斷.

解答：解(1)直線I垂直平分線段AC,

AZAFO=ZCFO,

：ZCFO+ZFCO=ZCAB+ZFCO=90°,

ZAFO=ZCAB,

VZA0F=ZCBA=90°,

.,.△ABC^AFOA.

(2)?.?直線I垂直平分線段AC,

；.AF=CF,

nTiiEAAOF^ZXAOE,

.\AE=CF,FO=EO.

Y四邊形ABCD是矩形，

???四邊形AFCE是平行四邊形，

二四邊形AFCE是菱形.

點評：考查了線段垂直平分線的性質，相似三角形的判定，矩形的性質，菱形的判定，綜合

性較強，有一定的難度.

5.(2010重慶，26,12分)如圖，矩形ABC。中，AB=6,8c=2G,點。是AB的中

點，點?在A8的延長線上，且8尸=3.一動點E從。點出發，以每秒1個單位長度的速

度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿八O返回；另一動點尸從P點發發，以

每秒1個單位長度的速度沿射線以勻速運動，點E、戶同時出發，當兩點相遇時停止運動，

在點E、尸的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG,使△￡尸G和矩形ABC。在射線期的

同側.設運動的時間為t秒(之0).

(1)當等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時，求運動時間t的值；

(2)在整個運動過程中，設等邊4EPG和矩形A8CD重疊部分的面積為S,請直接寫出S

與t之間的函數關系式和相應的自變量f的取值范圍；

(3)設EG與矩形ABC。的對角線AC的交點為H,是否存在這樣的f,使△AOH是等腰

三角形？若存大，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由.

26題圖

考點：相似三角形的判定與性質；根據實際問題列二次函數關系式；等腰三角形的性質；等

邊三角形的性質；矩形的性質；解直角三角形

分析：(1)當邊尸G恰好經過點C時，NC尸8=60。，BF=3-t,在成aCB尸中，解直角三

角形可求t的值；

(2)按照等邊△EFG和矩形ABC。重疊部分的圖形特點，分為0》V1,19<3,3勺<4,

43<6四種情況，分別寫出函數關系式；

(3)存在.當△1OH是等腰三角形時，分為AH=AO=3,HA=HO,OH=OA三種情況，分

別畫出圖形，根據特殊三角形的性質，列方程求t的值.

解答：解（1）當力FG恰好經過點C時，/CFB=60°,BF=3-t,在Rt/\CBF中，BC=26,

BC即fan60=逮，解得BF=2,即3-t=2,t=1，二當邊FG恰好經過點C

tanZCFB=-----

BFBF

時，5

26題答圖①

（2）當0金<1時，S=2V3MV3；

當1sf<3時，S=-——F+3yfitd—;

22

當34f<4時，S=-4也t+20也;

當44t<6時，S=JJ『-12百人36百；

（3）存在.

理由如下：在&△ABC中，tanZCAB=——=—,

AB3

：.ZCAB=30°,又,:ZHEO=60°,：.NHAE=NAHE=30°,

：.AE=HE=3-t^,t-3,

13

1）當AH=A0=3時，（如圖②），過點E作于則41色—47=—，

22

3

AMo

在成△4/WE中，cosAMAE==——，即cos30°=上，

AEAE

AE=V3,即3-￡=>/3或￡-3=V3,

26題答圖②

2）當HA=HO時,（如圖③）則NHO4=NH4O=30。,

XVZHEO=60°,???NEHO=90。,EO=2HE=2AE,

又???4E+EO=3,AAE+2AE=3,AE=1,

即3?t=1或-3=1,?1=2或1或

AEo

26題答圖③

3）當。H=O4時，（如圖④），則ZOHA=ZOAH=30°,

：.ZHOB=60。=ZHEB,：.點E和點。重合，

/.AE=3>即3-f=3或t-3=3,t=6（舍去）或f=0；

人0（E）BP

26題答圖④

綜上所述，存在5個這樣的t值，使△八。H是等腰三角形，即t=3-G或t=3+6或f=2

或t=2或t=0.

點評：本題考查了特殊三角形、矩形的性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形的有

關知識.關鍵是根據特殊三角形的性質，分類討論.

6.（2011湖北咸寧，22,10分）（1）如圖①，在正方形A8CD中，△AEF的頂點E,F

分別在BC,CD邊上,高A3與正方形的邊長相等，求/日尸的度數.

（2）如圖②，在國中，ZBAD=90°,AB=AD,點、M,N是8。邊上的任意兩點，

且//VW/V=45。，將△ABM繞點人逆時針旋轉90。至△ADH位置，連接NH,試判斷MN,

ND,DH之間的數量關系，并說明理由.

（3）在圖①中，連接8。分別交AE,AF于點M,N,若EG=4,GF=6,BM=3極,求

AG,MN的長.

CBMKD

（圖①）（圖②）

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理。

分析：（1）根據高AG與正方形的邊長相等，證明三角形相等，進而證明角相等，從而

求出解.

（2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結論.

（3）設出線段的長，結合方程思想，用數形結合得到結果.

解答：（1）在RtZ\A8E和RtZ\AGE中，AB=AG,AE=AE,

：./\ABE絲/XAGE..I/BAE=NGAE.

同理，ZGAF=ZDAF.

ZEAF=-ZBAD=45°.

2

(2)MN2=ND2+DH2.

:NBAM=ZDAH,ZBAM+4DAN=45°,

AHAN=ADAH+ADAN=45°.ZHAN=/MAN.

XVAM=AH,AN=AN,

AAMN烏/XAHN.：.MN=HN.