文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題27.38相似三角形幾何模型-雙垂線等角（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，將矩形ABCD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得矩形AEFG，連接BE，當(dāng)EF剛好經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，線段BE的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．2．如圖，在等腰直角△ABC中，，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，且，DE交OC于點(diǎn)P．給出下列結(jié)論：（1）AD=CE；（2）；（3）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；（4）．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．13．如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AD＝6，DB＝2，則CD的長(zhǎng)為（）A．3 B． C． D．44．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且BD＝2CD，連接AD，將△ABD沿AD翻折，得到△ADE，DE與AC交于點(diǎn)F．若△DCF，△AEF的面積分別為1和16，則＝（）A． B．3 C． D．5．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)O是對(duì)角線、的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線、分別交邊、于點(diǎn)E、F，且，、交于點(diǎn)G，中點(diǎn)為H．給出下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積為正方形面積的；④；⑤H點(diǎn)經(jīng)過的路程為其中正確的是（

）A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①④⑤6．在中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，以為一邊構(gòu)造，，，下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①圖中和相等的角有2個(gè)（不含）；②若不添加線段，圖中共有5對(duì)相似三角形；③；④．A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，把紙片沿EF折疊，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G，則的值為（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③9．如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，連接AE，下列相似三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立的有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)10．如圖，等邊三角形△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O是△ABC的重心，∠FOG＝120°，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)∠FOG分別交線段AB，BC于D，E兩點(diǎn)，連接DE，給出下列四個(gè)結(jié)論：①OD＝OE；②BD＋BE＝2；③四邊形ODBE的面積始終等于；④△BDE周長(zhǎng)的最小值為3，上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，DE與AC相交于點(diǎn)F，連接AE．若AB=3，AD=2BD，則AF=_____．12．如圖，中，CD⊥AB，垂足為D．下列條件中，①∠A+∠B=90°；②AB2=AC2+BC2；③；④CD2=AD?BD．能證明是直角三角形的有_____（多選、錯(cuò)選不得分）．13．圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接OF，則______．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，如果＝，AD=8，那么CD的長(zhǎng)是_____．15．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得，且點(diǎn)D恰好落在邊上，與交于點(diǎn)F．（1）求________；（2）當(dāng)時(shí)，________．16．如圖，已知∠1=∠2，若再增加一個(gè)條件就能使△ABC∽△ADE，則這個(gè)條件可以是________（填一個(gè)即可）．17．如圖，在△ABC與△AED中，,添加一個(gè)條件，使△ABC與△AED相似，這個(gè)條件可以是________．18．已知：如圖，在中，，，垂足是，，BD=1．則______．19．如如圖，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，AC與BD相交于O，E為DC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OF⊥OE交BC于F，記d=，則d的最小值為_____．20．如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，點(diǎn)D在BC邊上，DE與AC相交于點(diǎn)F，，垂足是G，交BC于點(diǎn)H．下列結(jié)論中：①；②；③若，，則；④，正確的是______．三、解答題21．如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)F．點(diǎn)E在BD上，且，．(1)求證：．(2)若，求∠CBD的度數(shù)．22．在△ABC和△ADE中，點(diǎn)E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．(1)求證：△ABC∽△ADE；(2)若AC∥DE，∠AEC＝45°，求∠C的度數(shù)．23．如圖，在△ABC和△BED中，．(1)若△ABC與△BED的周長(zhǎng)差為10cm，求△ABC的周長(zhǎng)；(2)若△ABC與△BED的面積之和為170，求△BED的面積．24．將一副三角尺如圖1放置，其中AD為Rt△ABC中BC邊上的高，DE，DF分別交AB，AC于點(diǎn)M和N．(1)求證：△AMD∽△CND；(2)如圖2，將Rt△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，此時(shí)EF∥BC，且E，A，F(xiàn)共線，判斷是否成立，并給出證明．如圖1，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，直線BD和直線CE交于點(diǎn)F．(1)線段BD與CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出證明過程；(2)若AC=BC=3，AE＝DE=，將△ADE繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，在圖2中補(bǔ)全圖形，并求CF的長(zhǎng)度．26．如圖1，E為正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=AF．(1)求證：DE⊥DF；(2)如圖2，若點(diǎn)G為邊AB上一點(diǎn)，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周長(zhǎng)為8，求四邊形DEBF的面積；(3)如圖3，在（2）的條件下，DG與EF交于點(diǎn)H，連接CH且CH＝3，直接寫出AG的長(zhǎng)．參考答案1．B【分析】連接DG．由矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)可得出，，，．利用勾股定理可求出，從而可求出，進(jìn)而再次利用勾股定理可求出．由，即易證，得出，即可求出BE的長(zhǎng)．解：如圖，連接DG．由旋轉(zhuǎn)和矩形性質(zhì)可知，∴在中，，∴，∴在中，．∵，∴．又∵，∴，∴，即，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．2．A【分析】由等腰直角三角形和同角的余角相等，易證，再由勾股定理即可判斷（1）（2）正確，再用面積割補(bǔ)法即可整除（3）正確，再證得，即可判斷（4）正確．解：，，O是斜邊AB的中點(diǎn)，，，，，，，，在和中，，，AD=CE，故（1）正確；，，，，故（2）正確；，S四邊形CDOE=，∴△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍，故（3）正確．，，，，，，故（4）正確；四個(gè)答案都正確，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握各項(xiàng)性質(zhì)和判定以及面積的割補(bǔ)法是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】證明△ACD∽△CBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，從而求出CD的長(zhǎng)度．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴，∴，∵，∴△ACD∽△CBD，∴，∴，∴；故選：B【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確判定△ACD∽△CBD，得到，從而進(jìn)行解題．4．C【分析】根據(jù)已知易證△AFE∽△DFC，從而求出對(duì)應(yīng)邊的比，然后設(shè)CD＝a，DF＝x，表示出EF與CF的長(zhǎng)，再根據(jù)EF＝4CF，求出x＝a，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，由折疊得：∠B＝∠E，AB＝AE，BD＝DE，∴∠C＝∠E，∵∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∵△DCF，△AEF的面積分別為1和16，∴，∵BD＝2CD，∴設(shè)CD＝a，BD＝2a，∴AE＝4CD＝4a，DE＝BD＝2a，∴AB＝AC＝4a，設(shè)DF＝x，則AF＝4DF＝4x，∴CF＝AC﹣AF＝4a﹣4x，EF＝DE﹣DF＝2a﹣x，∵EF＝4CF，∴2a﹣x＝4（4a﹣4x），∴x＝a，∴AF＝4x＝a，EF＝2a﹣x＝a，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，翻折變換，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．5．C【分析】①由正方形證明OC=OD，∠ODF=∠OCE=45°，∠COM=∠DOF，可得結(jié)論；②由全等三角形得OE=OF，得∠OEG=∠FCG=45°，再利用對(duì)頂角相等，證得△OGE∽△FGC；③先證明S△COE=S△DOF，可得S四邊形CEOF=S△OCD=S正方形ABCD；④證明△OEG∽△OCE，得OG?OC=OE2，再證明BE2+DF2=EF2，由EF＞OE，可得結(jié)論；⑤由CH=OH，則點(diǎn)H在OC的垂直平分線上，可得點(diǎn)H的軌跡是PQ，通過證明△CPQ∽△CDB，可求PQ=2，即可得結(jié)論．解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°，∵∠MON=90°，∴∠COM=∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正確；②∵△COE≌△DOF，∴OE=OF，∵∠MON=90°，∴∠OEG=45°=∠FCG，∵∠OGE=∠FGC，∴△OGE∽△FGC，故②正確；③∵△COE≌△DOF，∴S△COE=S△DOF，∴S四邊形CEOF=S△OCD=S正方形ABCD，故③正確；④∵△COE≌△DOF，∴OE=OF，又∵∠EOF=90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°=∠OCE，∵∠EOG=∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC=OG：OE，∴OG?OC=OE2，∵CE=DF，BC=CD，∴BE=CF，又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，∴BE2+DF2=EF2，∵EF2＞OE2，∴BE2+DF2＞OG?OC，故④錯(cuò)誤；⑤如圖，連接OH，CH，作OC的垂直平分線交BC于Q，交CD于點(diǎn)P，∵△EOF是等腰直角三角形，點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)，∴OH=EF，∵∠BCD=90°，點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)，∴CH=EF，∴CH=OH，∴點(diǎn)H在OC的垂直平分線上，∴點(diǎn)H的軌跡是PQ，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴BD=4，∵PQ⊥AC，BD⊥AC，∴PQ∥BD，∴△CPQ∽△CDB，∴，∴PQ=BD=2，∴H點(diǎn)經(jīng)過的路程為2，故⑤錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用．靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行證明即可得出答案．解：在中，，，在，，，，，，即，，在和中，，，，故圖中和相等的角有2個(gè)（不含），①正確；，，，，故若不添加線段，圖中共有5對(duì)相似三角形，②正確；，即，故③正確；連接CD，，，，，，，，故④正確；綜上，說法正確的由①②③④；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，設(shè)AG與EF交于點(diǎn)O，利用兩角對(duì)應(yīng)相等求證△ADG∽△FHE，即可求出的值．解：過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，設(shè)AG與EF交于點(diǎn)O，如圖所示：由折疊A與A'對(duì)應(yīng)易知：∠AOE=90°，∵∠EAO+∠AEO=90°，∠EAO+∠AGD=90°，∴∠AEO=∠AGD，即∠FEH=∠AGD，又∵∠ADG=∠FHE=90°，∴△ADG∽△FHE，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換，矩形性質(zhì)以及相似三角形判定與性質(zhì)，本題通過翻折變換推出∠AOE=90°進(jìn)而利用角進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出△ADG∽△FHE是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．解：∵將以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，故①正確；，，，，，平分，故②正確；，，，，，，故③正確故選D【點(diǎn)撥】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行推理即可．解：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴∠C=∠ABC=∠CAB=60°，∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°，∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，∴∠CBD=∠ABE，∴△BCD∽△BEO，故①正確；∵∠AOD=∠BOE，∠DAB=∠DEB=60°，∴△AOD∽△EOB，故②正確；∵△AOD∽△EOB，∴，∵∠AOE=∠DOB，∴△AOE∽△DOB，故③正確；∵∠DBA=∠DBO，∠DAB=∠ODB=60°，∴△BOD∽△BDA，故④正確，所以，相似三角形成立的有4對(duì)．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂心的意義，垂線段最短計(jì)算判斷即可．解：連接OB、OC，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵點(diǎn)O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°∴∠BOC＝120°，即∠BOE＋∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE＋∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，且BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正確；∴BD＋BE＝CE＋BE＝BC＝2，所以②正確；∴S△BOD＝S△COE，∴四邊形ODBE的面積＝＝，所以③正確；作OH⊥DE于H，如圖，則DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∵BD＝CE，∴△BDE的周長(zhǎng)＝BD＋BE＋DE＝CE＋BE＋DE＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋OE，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)OE＝，∴△BDE周長(zhǎng)的最小值＝2＋1＝3，∴④正確．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂心的意義，垂線段最短，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短是解題的關(guān)鍵．11．【分析】先計(jì)算出BD，AD＝2，BC＝3，∠B＝∠BAC＝45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE＝90°，CD＝CE，則可判斷△CDE為等腰直角三角形，所以∠EDC＝45°，然后證明△ADF∽△BCD，則利用相似比可計(jì)算出AF．解：∵AB＝3，AD＝2BD，∴BD，AD＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴BCAB＝3，∠B＝∠BAC＝45°，∵CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，∴∠DCE＝90°，CD＝CE，∴△CDE為等腰直角三角形，∠EDC＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BCD，即∠ADF+∠EDC＝∠B+∠BCD，∴∠ADF＝∠BCD，而∠DAF＝∠B，∴△ADF∽△BCD，∴，即，∴AF．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．12．①②④【分析】利用直角三角形的判定直接進(jìn)行判斷即可．解：①∵三角形內(nèi)角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形．故選項(xiàng)①正確．②AB，AC，BC分別為△ABC三個(gè)邊，由勾股定理的逆定理可知，②正確．③題目所給的比例線段不是△ACB和△CDB的對(duì)應(yīng)邊，且夾角不相等，無法證明△ACB與△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③錯(cuò)誤；④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，∴，又∵CD2=AD?BD，（即），∴△ACD∽△CBD，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°，△ABC是直角三角形，∴故選項(xiàng)④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了兩銳角互余的三角形是直角三角形、勾股定理逆定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，難度不大．13．##【分析】在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在Rt△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長(zhǎng)，即可求得OF的長(zhǎng)．解：：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，∵Rt△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC=∠ECF，∵∠OBC=∠OCD=45°，∴∠OBG=∠OCF，在△OBG與△OCF中∴△OBG≌△OCF（SAS）∴OG=OF，∠BOG=∠COF，∴OG⊥OF，在Rt△BCE中，BC=DC=2，DE=2EC，∴EC=，∴，∵∠BFC=∠BCE，∠FBC=∠CBE，∴△BFC∽△BCE，∴∴BC2=BF?BE，則，解得：BF=，∴EF=BE-BF=，∵∠BFC=∠EFC，∠FBC=∠FCE，∴△BFC∽△CFE，∴∴CF2=BF?EF=，∴CF=，∴GF=BF-BG=BF-CF=，在等腰直角△OGF中OF=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及相似三角形的性質(zhì)及判定、勾股定理的應(yīng)用．14．【分析】證明△ADC∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD、BD，根據(jù)勾股定理求出BC．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，，∴，即，解得，CD＝，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15．

【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，設(shè)，則，，，由，可得，可求結(jié)論；（2）過A點(diǎn)作交于點(diǎn)M，由可解．解：（1）如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G．設(shè)，則．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∴．在中，．∵，∠B=∠B∴．∴，即，得．∵，∴．∴，故答案為：（2）如圖，過A點(diǎn)作交于點(diǎn)M．由（1）知．∴．∵，∴，∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴，即，解得，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．16．∠B=∠D或∠C=∠AED或=（答其中一個(gè)即可）【分析】要使△ABC∽△ADE，在這兩三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，還需的條件可以是∠B=∠D或∠C=∠AED或=解：這個(gè)條件為：∠B=∠D∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE（或∠C=∠AED或=也可）【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．17．∠B=∠E（答案不唯一）．【分析】根據(jù)兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得添加條件：∠B=∠E．解：添加條件：∠B=∠E；∵，∠B=∠E，∴△ABC∽△AED，故答案為：∠B=∠E（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．18．【分析】根據(jù)勾股定理可求出CD的長(zhǎng)，由∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°可證明∠A=∠BCD，即可證明△BCD∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AD即可.解：∵，．∴CD==，∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠BDC=∠CDA=90°，∴△BCD∽△ACD，∴AD：CD=CD：BD，∴AD==5.故答案為5.【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；兩三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.19．10【分析】延長(zhǎng)EO交AB于G，根據(jù)ASA可證△DOE≌△BOG，可得BG=DE，則d=，即為FG的長(zhǎng)；過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OIF，設(shè)BG=x，用x表示出BF，再根據(jù)函數(shù)的最值即可求解．解：延長(zhǎng)EO交AB于G，連接GF，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，AB∥CD，∴∠OBG=∠ODE，在△DOE與△BOG中，，∴△DOE≌△BOG（ASA），∴BG=DE，∴d==FG，過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，∴四邊形HBIO是矩形，∴∠OHG=∠OIB=∠HOI=90°，∴∠OIF=90°=∠OHG，∵∠EOF=90°，∴∠GOF=180°-90°=90°，∴∠HOG=∠IOF，∴△OHG∽△OIF，∴，∵O為AC的中點(diǎn)，HO∥BC，∴HO=BC，同理IO=AB，∵AB=12，BC=16，∴，設(shè)BG=x，則HG=6-x，IF=，BF=，d=，∵0≤x≤6，∴當(dāng)x=6時(shí)，d最小為10，故答案為：10．【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是設(shè)BG=x，用x表示出BF．20．②③##③②【分析】先證明再證明若可得平分與題干信息不符，可判斷①不符合題意；再證明可得而可判斷②符合題意；如圖，連接EH，求解設(shè)再建立方程組可判斷③符合題意；證明可得若，則與題干信息不符，可判斷④不符合題意；從而可得答案．解：∵，∴∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∴∴∵∴若∴∴平分與題干信息不符，故①不符合題意；∵∴∴∴而∴，故②符合題意；如圖，連接EH，由∴∵∴設(shè)解得：即BD=3，故③符合題意；∵若，則與題干信息不符，故④不符合題意；故答案為：②③【點(diǎn)撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩個(gè)三角形相似，即可證明．（2）根據(jù)（1）中，得出，再根據(jù)對(duì)頂角相等，，證得，得出，即可求解．解：（1）∵∴，∴，，∵在和中，，∴．（2）∵，∴，又∵，對(duì)頂角相等，∴，∴，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．(1)見詳解(2)67.5°【分析】（1）根據(jù)∠DAB＝∠EAC，得∠DAE＝∠BAC，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AED＝∠EAC，利用△ABC∽△ADE，得∠AED＝∠C，從而有∠EAC＝∠C，再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．(1)證明：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE；(2)解：∵AC∥DE，∴∠AED＝∠EAC，∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠C，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEC＝45°，∴∠C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴∠C的度數(shù)為67.5°．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證明∠EAC＝∠C是解題的關(guān)鍵．23．(1)25cm(2)【分析】（1）先證，利用相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比得，設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為5kcm，△BED的周長(zhǎng)為3kcm．再根據(jù)兩三我周長(zhǎng)差為10cm，列方程求解得出k值，即可求解；（2）根據(jù)，得，設(shè)，，再根據(jù)兩三角形面積之和為170，列方程求解得出p值，即可求解；(1)解：∵，∴，∴．設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為5kcm，△BED的周長(zhǎng)為3kcm．∴，解得，∴△ABC的周長(zhǎng)為．(2)解：由（1）知：，∴，設(shè)，，∴，解得，∴．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比、面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．24．(1)見解析(2)成立，證明見解析【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)證出∠CDN=∠ADM，∠MAD=∠ACD，由相似三角形的判定可得出結(jié)論；（2）證明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．(1)證明：∵AD為Rt△ABC中BC邊上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ADN+∠CDN=90°，∵∠ADN+∠ADM=90°，∴∠CDN=∠ADM，又∵∠BAC=90°，∴∠MAD+∠DAC=90°，∵∠DAC+∠ACD=90°，∴∠MAD=∠ACD，∴△AMD∽△CND；(2)解：成立．證明：∵EF∥BC，∴∠EAD=∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠EAM=∠DAN，∵△EDF為等腰直角三角形，∴∠E=45°，∴∠ADE=∠ADF=45°，∴△AEM∽△ADN，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證明△AEM∽△ADN是解題的關(guān)鍵．25．(1)BD=CE，證明見解析(2)圖見解析，【分析】（1）由∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，得到∠BAC=∠DAE=45°，，進(jìn)一步證得△ABD∽△ACE，得到，得到答案；（2）當(dāng)點(diǎn)D落在線段AC上時(shí)，如圖3，先求得AD=AE=2，得到CD＝1，BD＝，再證明△BAD∽△C