2021年普通高等學校招生全國統一考試模擬測試卷文科數學本試卷分第工卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第1卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁。共150分。考試用時120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共50分)注意事項：l.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡的指定位置。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答在試題卷上無效。3．考試結束，監考人員將本試題卷和答題卡一并收回。一、選擇題：本大題共10小題。每小題5分。共50分。在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的．1．若命題p的逆命題是q，而命題q是命題r的否命題，則p是r的A．逆命題 B．逆否命題C．否命題 D．命題的否定2．已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，c=(3，4)，且c=λ1a+λ2b，則λ1、λ2的值分別為A．-2，1 B．1，-2 C.2,-1 D.-1，23．設函數y=f(x)的導函數為y=f′(x)，若y=f′(x)的圖象如圖1所示，則y=f(x)的圖象可能為4．某班新年聯歡會原定的6個節目已排成節目單，開演前又增加了3個新節目，如果將這3個節目加入原節目單中，那么不同的加人方法的種數為A．504 B．210 C．336 D．1205．等差數列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，則數列{an}的前9項之和S9等于A．66 B．99 C．144 D．2976．在()5的展開式中的系數等于A．10 B．-10 C．20 D．-207．實數x，y滿足不等式組則u=的取值范圍是A．[一1，0] B．(一∞，0] C．[一1，+∞) D．[一1，1)8．已知直線l與拋物線y2=8x交于B(x1，y1)、C(x2，y2)兩點，且y1y2=16，則直線l必過拋物線對稱軸上的一定點A，A的坐標為A．(一2，0) B．(-4，0) C．(-8，0) D．(-16，0)9．如圖，在正三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB、BC的中點，EF⊥DE，且BC=1，則正三棱錐A-BCD的體積是A. B.C. D.10．已知偶函數f(x)滿足f(x+4)=f(-x)，且方程f(x)=0在區間[0，2]上有且只有l這一個實數根，則f(x)=O在區間[-2，18]上所有實數根的總和為A．40 B．41 C．80 D．81第Ⅱ卷(非選擇題共l00分)注意事項：第Ⅱ卷用O．5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。二、填空題：本大題共5小題．每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應位置上．11．已知關于x的不等式的解集是(1，a]U(2，+∞)，則a的取值范圍是_____________.12．函數y=asinx+bcosx(x∈R)的最大值為，則a+b的最小值是________．13．已知“△OAB中，若OA⊥OB，頂點O在斜邊AB上的射影為H，則OA2=AB·AH”，那么，類比可得“三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩互相垂直，頂點O在面ABC上的射影為H，記△OAB、△ABC、△ABH的面積分別為S△OAB、S△ABC、S△ABH，則________”．14．如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡亮的概率為__________．15．已知對于任意實數x、y，定義運算：x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常數，等式右邊的運算是通常的加法與乘法運算．現已知1*2=3，2*3=4，且有一個非零實數m，使得對于任意實數x都有x*m=x，則實數m的值為_________________三、解答題：本大題共6小題．共75分。解答應寫出文宇說明，證明過程或演算步驟．16．(本小題滿分12分)已知a=(cosa，0)，b=(cosβ，0)，c=(sin)，a與b不垂直，|c|=，求tanα·tanβ的值．17．(本小題滿分12分)甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，已知甲做對這道題的概率是，甲、丙兩人都做錯的概率是，乙、丙兩人都做對的概率是．(I)求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中至少有兩人做對這道題的概率。18．(本小題滿分12分)已知等差數列{an}的公差d≠0，對任意n∈N*，都有an≠0．(I)求證：對任意n∈N*，所有方程anx2+2an+1x+an+2=0均有一個相同的實數根；(Ⅱ)若a1=d，方程anx2+2an+1x+an+2=0的另一不同根為cn，bn=，求數列{bn}的通項公式；(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，設Sn=，求證：Sn<4．19．(本小題滿分12分)在直三棱柱ABC—A181C1中，AAl=AB=AC=4，∠BAC=90°，D為側面ABB1A1的中心，E為BC的中點．(I)求證：平面DBlE⊥平面BCClBl；(Ⅱ)求異面直線A1B與B1E所成的角；(III)求點C1到平面DB1E的距離．20．(本小題滿分13分)在邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子，其中0<x≤t，t為正常數，且0<t<a．(I)把鐵盒的容積V表示為x的函數；(II)求容積V的最大值．21．(本小題滿分14分)已知常數a>0，向量m=(0，a)，n=(1，0)，經過定點A(0，-a)且以m+λn為方向向量的直線與經過定點B(0，a)且以n+2λm為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．記點P的軌跡為曲線C．(I)求曲線C的方程；(Ⅱ)若a=，過E(0，1)的直線l交曲線C于M、N兩點，求的取值范圍．參考答案及評分標準一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.1.B.點拔：記命題p的形式為“若A，則B”，則q的形式為“若B，則A”，r的形式為“若B，則A”，因此，p是r的逆否命題.2.D點拔：∵λ1a+λ2b=λ1(1，2)+λ2(2，3)=(λ1+2λ2+3λ2)=c=(3，4),∴3.C點拔：當f′(x)<0時，f(x)遞減；當f′(x)>0時，f(x)遞增.4.A點拔：采用插空法，得7×8×9=504.5.B點拔：∵a3+a6+a9=(a1+a4+a7)+6d,∴27=39+6d,∴d=-2.∵a1+a4+a7=39,∴3a1+9d=39,得a1=19.故S9=9a1+6.D點拔：展開式的通項公式Tr+1=C令5-2r=-1,得r=3,∴T4=C53·2-2·(-2)3·x-1=-20·的系數為-20.7.D點拔：設M(x,y),N(0，1)，直線MN的傾斜角為α，則可得α∈[0,]∪[],所以u=[-1，1].8.A點拔：設直線l的方程為x=ty+b代入y2=8x中，得y2-8ty-8=0,∴y1y2=-8b.又∵y1y2=16,∴-8b=16,b=-2,直線l的方程為x=ty-2,過定點A(-2，0)9.B點拔：∵AC∥EF，EF⊥DE，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，AC⊥AD.∵三棱錐A-BCD為正三棱錐，∴AB、AC、AD兩兩垂直.VA-BCD==10.C點拔：∵f(x+4)=f(-x)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數，f(x)=0在區間[-2，18]上的實數根依次為-1，1，3，5，7，…，17，其總和為-1+1+3+5+…+17=-1+二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.(1，2)點拔：采用根軸法求解.12.-點拔：y=,∴ymax=,又∵ymax=.令則a+b=13.S·S△ABH點拔：易證H為△ABC的垂心.如圖，S·S△ABH.14.點拔：P=1-15.4點拔：∵1*2=3，且2*3=4，∴∴x*y=-(6c+1)x+2(c+1)y+cxy.由x*m=x恒成立得-(6c+1)x+2(c+1)m+cmx=x恒成立即(6c-cm+2)x=2(c+1)m恒成立∴∵m≠0,∴由②得c=-1，代入①，得m=4.三、解答題：本大題共6小題，共75分.16.∵|c|=,∴3sin2, ………………(2分)即,即3cos(α+β)=cos(α-β), ………………(6分)即3cosαcosβ-3sinαcosβ=cosαcosβ+sinαsinβ,即2cosαcosβ=3sinαcosβ∵a與b不垂直，∴a·b≠0,即cosαcosβ≠0∴由2sinαsinβ=cosαcosβ得tanαtanβ= ………………(12分)17.(Ⅰ)記甲、乙、丙三人獨立做對這題的事件分別為A、B、C，則P(A)=得P(C)=…………(3分)由P(B·C)=P(B)·P(C)=得P(B)=故乙、丙兩人各自做對這道題的概率分別為 ………(6分)(Ⅱ)甲、乙、丙三人中至少有兩人做對這道題的概率為P()=P()+P(A)+P=P()= ………(12分)18.(Ⅰ)∵an+an+2=2an+1,∴an-2an+1+an+2=0,即x=-1是方程anx2+2an+1x+an+2=0的相同實數根. ………(4分)(Ⅱ)∵an=a1+(n-1)d=nd,∴方程即為nx2+2(n+1)x+(n+2)=0,即(nx+n+2)·(x+1)=0,∴cn=-.……(8分)(Ⅲ)∵bnbn+1=∴Sn=4……(12分)19．(I)連結AE∵AB=AC，且E為BC的中點，∴AE⊥BC∵BBl⊥平面ABC，∴AE⊥BBl，∴AE⊥平面BCClBl，∴平面DBlE⊥平面BCClBl． ………………(4分)(Ⅱ)延長AB至F，使AB=BF，連結B1F、EF．在△EBF中，EF2=BF2+BE2-2BE·BF·cosl35°=16+8—2×4×2×(-)=40．B1E2=BBl2+BE2=16+8=24，B1F2=A1B2=32．在AEBlF中，cos∠EBlF=∴∠EBlF=arccos∵B1F∥A1B，∴∠EB1F即為異面直線A1B與B1E所成的角．故異面直線A1B與B1E所成的角的大小為arccos……(8分)(Ⅲ)作C1H⊥B1E于H．∵平面DBlE平面BCClBl，∴C1H⊥平面DBlE，∴C1H的長即為點C1到平面DB1E的距離．∵△B1HCl∽△B1BE，∴∴C1H=故點C1到平面DB1E的距離為導.………(12分)20．(I)鐵盒子的底面邊長為2a-2x，高為x，容積V=(2a-2x)2·x=4x(a-x)2．…(4分)(11)∵V=4x3-8ax2+4a2x，∴V′=12x2-16ax+4a2．令V′=O，得x=，或x=a．…………………(8分)①當0<t<時，V(x)在(0，t]上是單調增函數，∴此時V(x)max=V(t)=4t(a-t)2；…………(11分)②當≤t<a時，V(x)max=V()=a3．…………………(13分)21．(I)m+λn=(0，a)+λ(1，0)=(λ，a)=2(1，)(λ≠0)，n+2λm=(1，0)+2λ(0，a)=(1，2λa)．∴兩直線的方程分別為y+a=x和y-a=2λax，兩式相乘，得y2-2a2x2=a2…………………(6分)當λ=0時，兩直線的方程分別為x=0和y=a，交點為P(0，a)，符合方程y2-2a2x2=a2．綜上，得曲線C的方程為y2-2a2x2=a2……(7分)(Ⅱ)∵a=，∴點P的軌跡方程為y2-x2=曲線C為雙曲線，E(0，1)為雙曲線的一個焦點．①若直線l的斜率不存在，則其方程為x=0，l與雙曲線交于M此時.……………(8分)②若直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+1，代人y2-x2=得2(k2-1