復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌第二章第一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.1

混沌

2.1.1混沌的特征混沌運動限于有限區(qū)域且軌道永不重復(fù)、性態(tài)復(fù)雜。具有通常確定性運動所沒有的幾何和統(tǒng)計特征：局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定、無限自相似、連續(xù)功率譜、奇怪吸引子、分維數(shù)、正Lyapunov特征指數(shù)、正測度熵等。具有確定性運動的特征：無周期而有序、已發(fā)現(xiàn)的三條通向混沌的道路、Feigenbaum普適常數(shù)、有界性和對初值具有強的敏感性。第二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

大量的研究表明，在非線性耗散系統(tǒng)中有混沌并伴有混沌吸引子，在非線性保守（或保面積）系統(tǒng)中也有混沌，只是沒有混沌吸引子（KAM定理）?？梢姾纳⒔Y(jié)構(gòu)和混沌是非線性科學(xué)的兩朵奇葩，是探索世界復(fù)雜性的兩把金鑰匙。

耗散結(jié)構(gòu):

圖2.1熱擴散實驗包含兩種介質(zhì)（氫氣和氦氣）的容器。加熱一端而冷卻另一端。最后，兩種介質(zhì)分離，熱的一端充滿一種介質(zhì)，冷的一端充滿另一種介質(zhì)。這是一種遠離平衡態(tài)的有序結(jié)構(gòu)。這種有序結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)和維持要從外部不斷供應(yīng)物質(zhì)和能量，所以是一種耗費物質(zhì)和能量的結(jié)構(gòu)，因此稱之為“耗散結(jié)構(gòu)”。實際上，所有生物體都是一種高級的耗散結(jié)構(gòu)。比如人每天要吃飯，時時要呼吸，就是一種開放系統(tǒng)和耗散結(jié)構(gòu)。第三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五生物進化史，就是生物從原始的比較均勻的無序結(jié)構(gòu)發(fā)展為高級的不均勻的有序結(jié)構(gòu)的歷史。一個系統(tǒng)要形成耗散結(jié)構(gòu)需要滿足四個條件：(1)系統(tǒng)必須是一個開放系統(tǒng)；(2)系統(tǒng)必須遠離平衡態(tài)；(3)系統(tǒng)內(nèi)部各要素之間存在著非線性的相互作用；(4)漲落導(dǎo)致有序。從上述的四個條件看，耗散結(jié)構(gòu)的形成是一個不可逆過程。在Prigogine看來，Newton和Einstein的最大失誤就是把時間看作是可逆的。他的耗散結(jié)構(gòu)理論使我們認識到，現(xiàn)實的世界中，時間是不可逆的，系統(tǒng)的演化過程和結(jié)果與時間相關(guān)?；谏鲜龇治觯梢娀煦绲闹饕卣饔校?/p>

1、敏感初始條件第四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2、伸長與折疊3、具有豐富的層次和自相似的結(jié)構(gòu)

4、非線性耗散系統(tǒng)中存在混沌吸引子第五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.1.2混沌的定義1990年，美國著名科幻小說家MichaelCrichton推出一力作《侏羅紀公園》。小說中的混沌：存在著另一類物理學(xué)難以描述的行為。例如與湍流有關(guān)的問題，這種方程很難求解，直至混沌理論的出現(xiàn)。混沌系統(tǒng)的行為對初始條件的變化十分敏感。如該系統(tǒng)是用以時間為自變量的微分方程來刻劃，則我們研究的目的是試圖預(yù)言微分方程的解在遙遠的將來或推測在遙遠的過去的最終狀態(tài)。如該系統(tǒng)是以離散形式進行刻劃，即第六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五其中f是集合M到M的映射，則我們希望了解，隨著n變大，序列的最終性態(tài)。因此我們稱的集合為x的前向軌道，用表示，即如果f是同胚，我們還可以定義x的全軌道為點的集合，x的后向軌道定義為的集合。第七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

定義2.1

如果對某個有，但對于小于n的自然數(shù)k，，則稱是f的一個n周期點。當(dāng)是f的一個n周期點時，有。此時只有n個不同的元素。第八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五定義2.2

當(dāng)是f的一個n周期點時，稱為f的n周期軌道。第九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五定義2.3

設(shè)(X,

)是一緊致的度量空間，f:XX是連續(xù)映射，稱f在X上是混沌的，如果：(1)f具有對初值敏感依賴性，(2)f在X上拓撲傳遞，(3)f的周期點在X中稠密。第十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五混沌一詞最先由T.Y.Li和J.A.Yorke提出。1975年他們在美國《數(shù)學(xué)月刊》上發(fā)表了題為“周期3意味著混沌”的文章，并給出了混沌的一種數(shù)學(xué)定義，現(xiàn)稱為Li-Yorke定義或Li-Yorke定理:第十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

考慮一個把區(qū)間[a,b]映為自身的、連續(xù)的、單參數(shù)映射

,,亦可寫成點映射形式：

,

定義2.4

連續(xù)映射或點映射,

稱為是混沌的，如果：（1）存在一切周期的周期點；（2）存在不可數(shù)子集,S不含周期，，第十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五點，使得

,,,,,,p為周期點

，，此定義中前兩個極限說明子集的點相當(dāng)集中而又相當(dāng)分散；第三個極限說明子集不會趨近于任意點。

第十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)Li-Yorke定義，一個混沌系統(tǒng)應(yīng)具有三種性質(zhì)：（1）存在所有階的周期軌道；（2）存在一個不可數(shù)集合，此集只含有混沌軌道，且任意兩個軌道既不趨向遠離也不趨向接近，而是兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)，同時任一軌道不趨于任一周期軌道，即此集合不存在漸近周期軌道；（3）混沌軌道具有高度的不穩(wěn)定性?？梢娭芷谲壍琅c混沌運動有密切關(guān)系，表現(xiàn)在兩個方面：第一，在參數(shù)空間中考察定常的運動狀態(tài)，系統(tǒng)往往要在參量變化過程中先經(jīng)歷一系列周期制度，然后進入混沌狀態(tài)。這構(gòu)成所謂“通向混沌的道路”。第十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五第二，一個混沌吸引子里面包含著無窮多條不穩(wěn)定的周期軌道；一條混沌軌道中有許許多多或長或短的片段，它們十分靠近這條或那條不穩(wěn)定的周期軌道。

第十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.1.3奇怪吸引子還有另一大類的系統(tǒng)，它在運動時，其相空間容積收縮到維數(shù)低于原來相空間維數(shù)的吸引子上，即運動特征是相空間容積收縮，這類系統(tǒng)就是耗散系統(tǒng)。在耗散系統(tǒng)中存在一些平衡點（不動點）或子空間，隨著時間的增加，軌道或運動都向它逼近，它就是吸引子。在相空間中，耗散系統(tǒng)可能有許多吸引子，向其中某個吸引子趨向的點的集合稱為該吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引盆中不會有其它吸引子，與吸引子相反的就是排斥子。通常耗散系統(tǒng)的簡單吸引子有不動點、極限環(huán)和環(huán)面。簡單吸引子又受系統(tǒng)參數(shù)的影響，隨著系統(tǒng)的參數(shù)的變化，耗散運動也會出現(xiàn)混沌，這時的吸引子就變?yōu)槠婀治印；煦邕\動表現(xiàn)為奇怪吸引子是耗散系統(tǒng)獨具的性質(zhì)。第十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五對耗散系統(tǒng)中四個常有的吸引子解釋如下。(1)不動點吸引子或定常吸引子：是一個零維的吸引子，在相空間中是一個點，它表示系統(tǒng)在做平衡運動。(2)極限環(huán)：是一個一維的吸引子，在相空間中是環(huán)繞平衡點的一條閉合的曲線，它對應(yīng)周期運動。

(3)準周期吸引子，表現(xiàn)為相空間上的二維環(huán)面，它類似面包圈的表面，軌道在狀態(tài)空間的環(huán)面上繞行，這種運動有兩個頻率，一是軌道沿較短方向繞環(huán)面運動所決定的頻率，一是軌道繞整個環(huán)面運動所決定的頻率，這兩個頻率不可公約，它是準周期運動。第十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五(4)奇怪吸引子：也稱“隨機吸引子”、“混沌吸引子”。它是相空間中無窮多個點的集合，這些點對應(yīng)于系統(tǒng)的混沌狀態(tài)。定義2.5

由于耗散系統(tǒng)的相空間容積是收縮的，所以n維耗散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動將位于一個小于n維的“曲面”（超曲面）上，粗略地說，這個曲面就是吸引子。定義2.6

它首先應(yīng)是一個吸引子，即存在一個集合U，使

(1)U是A的一個鄰域；

(2)對每一初始點

，當(dāng)t>0時，應(yīng)有；當(dāng)

時，，即A是吸引子；此外第十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五(3)

時，有對x0的敏感性(當(dāng)初值誤差為無窮小量時，它的像的誤差隨t按指數(shù)增長)，即A是奇怪吸引子；

(4)對，應(yīng)有使，而奇怪吸引子不應(yīng)分成兩個。奇怪吸引子有以下幾個重要特征：(1)對初始條件有非常敏感的依賴性。(2)它的功率譜是一個寬譜。(3)系統(tǒng)中存在有馬蹄。(4)它具有非常奇特的拓撲結(jié)構(gòu)和幾何形式。第十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.2分岔及產(chǎn)生混沌的途徑2.2.1分岔理論混沌運動就是經(jīng)過一系列解的突變才發(fā)生的。解發(fā)生突變的參數(shù)值稱為分岔點。分岔理論的主要內(nèi)容，就是研究非線性方程解的數(shù)目如何在參數(shù)變化過程中發(fā)生突變。

運動狀態(tài)可以通過各種分岔現(xiàn)象發(fā)生質(zhì)的變化。這種當(dāng)控制參數(shù)變化到某個臨界值時而使系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài)發(fā)生定性變化的現(xiàn)象稱為分岔，它是非線性系統(tǒng)內(nèi)部固有的一種特性。例如，考慮一個連續(xù)的動力學(xué)系統(tǒng)，即由常微分方程組第二十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

(2.2)

決定的動力學(xué)系統(tǒng)。方程組(2.2)有定態(tài)解

,即滿足方程組的解。這個定態(tài)解的穩(wěn)定性可通過線性化的小擾動分析方法來考察。令并假設(shè)初始時刻的zi很小，線性化的方程組為其中

第二十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五它具有形式的解。這里是矩陣的特征方程的特征值。它的實部也稱為

Lyapunov特征指數(shù)。因為，這些特征值的實部決定了隨它的初值增加還是減小。如果所有這些特征值的實部都是負的，則定態(tài)解是穩(wěn)定的。通常把它稱為吸引子。如果這些特征值這至少有一個特征值的實部大于零。則此定態(tài)解是不穩(wěn)定的。通常把它稱為排斥子。Lyapunov特征指數(shù)是判斷解的穩(wěn)定性的一個特征量，也是定量表征運動軌道是否出現(xiàn)混沌的一個特征量。它依賴于系統(tǒng)的控制參數(shù)，系統(tǒng)是否發(fā)生分岔現(xiàn)象可通過對它的分析來判斷。

第二十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

最常見的分岔有：叉型分岔或?qū)ΨQ鞍結(jié)點分岔、切分岔或鞍結(jié)點分岔、跨臨界分岔、滯后分岔、Hopf分岔、倍周期分岔、同宿和異宿分岔。第二十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.2.2通向混沌的道路2.2.2.1倍周期分岔通向混沌第一種是倍周期分岔途徑，亦稱Feigenbaum途徑。這條途徑是一種規(guī)則的運動狀態(tài)（例如某種定態(tài)解或周期解）可以通過周期不斷加倍的倍分岔方式逐步過渡到混沌運動狀態(tài)。如Logistic映射是經(jīng)過倍周期分岔達到混沌的，如下圖：

第二十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五第二十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

Feigenbaum指出Logistic映射分岔點的參數(shù)值

(m=1,2,3,…)形成無窮序列，并有一個極限值

=3.569945672…。同時Feigenbaum還發(fā)現(xiàn)Logistic映射系統(tǒng)伴隨倍周期分岔的產(chǎn)生，還呈現(xiàn)別的復(fù)雜動力學(xué)行為。下面敘述Logistic映射的情形。

1、混沌和奇怪吸引子當(dāng)

=時，周期無窮大的解有無窮多個，映射進入混沌，其總體上是穩(wěn)定的，同時，它又是奇怪吸引子。該映射之所以出現(xiàn)混沌，是由于它具有兩個基本性質(zhì)：（1）伸展和折疊（stretchingandfolding）（2）不可逆2、逆瀑布（inversecascade）（逆級聯(lián)）當(dāng)

=4時，周期為任意整數(shù)的解都存在，且全都是第二十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

不穩(wěn)定的，所以在[0，1]上有可列無限個不穩(wěn)定周期點，除去這些點后的[0，1]中仍有不可列無限多個點，這個點集將組成一個奇怪吸引子。3、周期窗口（periodicwindows）當(dāng)時，Logistic映射存在周期3解。1975年，Li和Yorke曾提出“周期3意味著混沌”的論斷。

4、U序列U序列（UniversalSequence）又稱MSS序列或揉搓序列（kneadingsequence）。它表示在單峰映射中，其周期窗口的位置排列具有一定的次序。

第二十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.2.2.2陣發(fā)性通向混沌陣發(fā)性混沌是指系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時，在非平衡非線性條件下，當(dāng)某些參數(shù)的變化達到某一臨界閾值時，系統(tǒng)的時間行為忽而周期（有序）、忽而混沌，在兩者之間振蕩。有關(guān)參數(shù)繼續(xù)變化時，整個系統(tǒng)會由陣發(fā)性混沌發(fā)展成為混沌。陣發(fā)混沌最早見之于Lorenz模型，然而較詳細的研究均是在一些非線性映射上作的。陣發(fā)混沌與倍周期分岔所產(chǎn)生的混沌是孿生現(xiàn)象，凡是觀察到倍周期分岔的系統(tǒng)，原則上均可發(fā)現(xiàn)陣發(fā)混沌現(xiàn)象。

第二十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.2.2.3

Hopf分岔通向混沌是一種規(guī)則的運動狀態(tài)最多經(jīng)過3次Hopf分岔就能轉(zhuǎn)變成混沌運動狀態(tài)。具體地說，其通往混沌的轉(zhuǎn)變可以表示為不動點極限環(huán)二維環(huán)面混沌，每一次分岔可以看作一次Hopf分岔，分岔出一個新的不可公約的頻率。盡管這條通向混沌的道路提出較早，但與倍周期分岔道路和陣發(fā)混沌道路相比，其規(guī)律性仍知道得較少，近年來已引起了人們的關(guān)注。例如關(guān)于突變點附近的臨界行為的研究還不夠充分，目前尚不清楚這里是否也存在著普適的臨界指數(shù)。這些已引起了人們的關(guān)注。

第二十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3混沌研究的判據(jù)與準則2.3.1龐卡萊截面法法國數(shù)學(xué)家龐卡萊為我們提供了一種有效的研究復(fù)雜的多變量連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)的軌道方法，即龐卡萊截面方法：在多維相空間中適當(dāng)（要有利于觀察系統(tǒng)的運動特征和變化，如截面不能與軌線相切，更不能包含軌線面。）選取一個截面，這個截面可以是平面，也可以是曲面。然后考慮連續(xù)的動力學(xué)軌道與此截面相交的一系列交點的變化規(guī)律。這樣就可以拋開相空間的軌道，借助計算機畫出龐卡萊截面上的截點，由它們可得到關(guān)于運動特征的信息。第三十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.2相空間重構(gòu)時間序列的重建相空間：把時間序列擴展到三維或更高維的相空間中去，才能把時間序列的混沌信息充分地顯露出來。Packard等人提出了由一維可觀察量重構(gòu)一個“等價的”相空間：由系統(tǒng)某一可觀測量的時間序列重構(gòu)m維相空間，得到一組相空間矢量t是時間延遲；，d為系統(tǒng)自變量個數(shù)，M小于N，并與N有相同的數(shù)量級。

第三十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五重構(gòu)相空間的關(guān)鍵在于嵌入空間維數(shù)m和時間延遲t的選擇。1、嵌入空間維數(shù)m的選擇由Packard和F.Takens所提出的時間滯后延遲法構(gòu)造相空間基于拓撲嵌入理論：基本思想：若將一條一維的曲線限制在一個二維的曲面上，一般來講，這條曲線將在重構(gòu)法曲面上相交。并且在曲線上只做微小的變形情況下，這些交點不會消除，相反，若是將一條曲線置于三維空間時，所有的自身相交點都可以通過一個小的形變來消除，因此，這些交點可以認為是偶然出現(xiàn)的。結(jié)論推廣：A、B兩個物體，維數(shù)分別為，第三十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五它們都在d維空間中，我們定義一個“交疊維數(shù)”（codimension）以便用來表示的維數(shù)

這種交疊維數(shù)具有加法性質(zhì)，即因此可得

(2.5)式(2.5)的確定性可以由一些例子說明，例如，將兩條曲線置于一個平面上，通常會出現(xiàn)一些交疊（一般情況是一些點），這時,。由式(2.5)得

，即相交的是一些點，而在三維空間中，它們一般不相交，這是因為，。

第三十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五在三維空間中的曲線將和的平面相交，這是因為。

下面將式(2.5)用于完全相同的物體，即，我們希望這個物體能在d維空間中自由伸展，即A上的任何部分在伸展是都不必碰到自身其它部分，由于這時不是一個好的標(biāo)記方法，我們令式(2.5)左端為。因此，嵌入空間的維數(shù)為

(2.6)由式(2.6)得到的嵌入空間維數(shù)通常比實際需要的要大。嵌入空間的維數(shù)至少是吸引子維數(shù)的兩倍，才能保證吸引子的正確恢復(fù)。在實際中，m值的選取第三十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五應(yīng)該通過多次的嘗試來確定，當(dāng)m值取得過大時，無標(biāo)度區(qū)對應(yīng)于所有的（過大的m）m值都是相同的。在混沌運動特征的計算中，一般地講，所須的嵌入空間最小維數(shù)取決于我們要從時間序列中提取什么樣的物理量。如相圖中，；而在計算Lyapunov指數(shù)、分維數(shù)時，只是計及沿軌道的平均性質(zhì)，這時取就可以了。另外Roux等曾討論了m和t值的選擇。他們認為，在大多數(shù)情況下，m值可取得比m32d+1的不等式所確定的值小一些，Wolf等在討論Lyapunov指數(shù)計算時也得出了類似結(jié)論。大多數(shù)意見認為，m值的選取應(yīng)通過反復(fù)試算來確定。Roux等建議讓m值逐次加1，直到相圖上沒有附加的結(jié)構(gòu)出現(xiàn)。第三十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2、時間延遲t的選取

1986年，F(xiàn)raser等指出，自相關(guān)函數(shù)的方法只度量了變量的線性關(guān)系，為了量度兩個變量的普遍依賴關(guān)系，應(yīng)取重構(gòu)的兩分量間的“互信息函數(shù)”出現(xiàn)第一個極小值時的延遲值t作為最佳的延遲時間，重構(gòu)相空間。所謂的互信息（mutualinformation）是這樣定義的：是兩個序列，在S-Q的面上用“數(shù)盒子”的方法我們可以得到概率分布

、及聯(lián)合概率分布。

用對數(shù)表示所得到的信息的概念：當(dāng)從一個具有N個元素的集合S中取得一個元素時，有

(2.7)第三十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五Shannon考慮了在S集合中有n個子集Si的情況，對每個子集都應(yīng)用式(2.7)，有

,,并對每個子集的信息平均，得到總的S集合的信息：

(2.8)將聯(lián)合概率分布代入式(2.8)中，得到聯(lián)合信息：由、得

、按下式定義，即為“互信息”：

第三十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

在實際應(yīng)用中，最佳延遲時間t的選取仍需反復(fù)的嘗試。第三十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.3功率譜分析法Welch所提出的平均周期圖方法來計算標(biāo)量信號的自功率譜估值：設(shè)序列的功率譜為，把序列分成長度為L的K個重迭段，就可求得修正的周期圖譜估計。在實現(xiàn)過程中，諸序列段重疊個樣點，諸序列段的總數(shù)目為。第i段的數(shù)值定義為其中為L個點的數(shù)據(jù)窗函數(shù)(如：矩形窗函數(shù)，漢明窗函數(shù)等)。經(jīng)窗處理后序列段的M點離散付里葉變換：

第三十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五是用FFT算法計算的(如果，序列要用個零值加以補零)。對修正周期圖求平均以產(chǎn)生歸一化角頻率處功率譜估值其中。則用分貝表示的功率譜估值為根據(jù)采樣定理，當(dāng)采樣的時間間隔為、采樣頻率為f時，時間序列能夠反映的最大頻率為

(2.9)第四十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五這樣對于FFT長度為M的時間序列，其頻率間隔(分辨率)為

(2.10)

頻率為f的周期系統(tǒng)的功率譜在頻率f及其高次諧波2f、3f、……處有d函數(shù)形式的尖峰。每個尖峰的高度指示了相應(yīng)頻率的振動強度。特別當(dāng)發(fā)生分岔時，功率譜將改變它的特征。基頻為f1、f2、……fk的準周期系統(tǒng)的功率譜在f1、f2、……fk及其線性組合處有d函數(shù)形式的尖峰。對于混沌系統(tǒng)，盡管其功率譜仍可能有尖峰，但它們多少會增寬一些（不再相應(yīng)于分辨率），而且功率譜上會出現(xiàn)寬帶的噪聲背景。可見功率譜分析對周期和準周期現(xiàn)象的識別以及研究它們與混沌態(tài)的轉(zhuǎn)化過程是非常有力的。第四十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.4關(guān)聯(lián)維數(shù)奇怪吸引子為分形結(jié)構(gòu)。分維數(shù)可對吸引子的幾何特征及集于吸引子上的軌道隨時間的演化情況進行數(shù)量上的描述，因而可對吸引子的混沌程度進一步細分。分維數(shù)有多種定義，關(guān)聯(lián)維數(shù)作為混沌行為的測量參數(shù)得到了廣泛的應(yīng)用。在由實驗數(shù)據(jù)進行相空間重構(gòu)的基礎(chǔ)上，計算式(2.4)的相關(guān)積分

(2.11)凡是距離小于給定正數(shù)r的矢量，稱為有關(guān)聯(lián)的矢量，這里的H是Heaviside函數(shù)

第四十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五r的值取的適當(dāng)，會隨著r的增大而呈指數(shù)倍的迅速增加，關(guān)聯(lián)維數(shù)定義為

在計算中隨著嵌入維數(shù)d變化，雙對數(shù)圖曲線束中，互相平行的直線段的斜率，就是關(guān)聯(lián)維數(shù)D2。該方法為研究一維時間序列信號的動力學(xué)特征提供了有力的工具，被研究者廣泛地采用。本文也采用了這種方法來計算心電信號的關(guān)聯(lián)維數(shù)。第四十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.5Lyapunov指數(shù)2.3.5.1Lyapunov指數(shù)的定義Lyapunov指數(shù)恰可定量表示奇怪吸引子對初始條件的敏感依賴性。對于n維相空間中的連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)，考察一個無窮小n維球面的長時間演化。由于流的局部變形特性，球面將變?yōu)閚維橢球面。第i個Lyapunov指數(shù)按橢球主軸長度pi(t)定義為

(2.12)式(2.12)表明Lyapunov指數(shù)的大小表明相空間中相近軌道的平均收斂或發(fā)散的指數(shù)率。Lyapunov指數(shù)是很一般的特征數(shù)值，它對每種類型的吸引子都有定義。對于n維相空間有n個實指數(shù)，故也稱為譜，并按其大小排列，一般令

第四十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

一般說來，具有正和零Lyapunov指數(shù)的方向，都對支撐起吸引子起作用，而負Lyapunov指數(shù)對應(yīng)著收縮方向，這兩種因素對抗的結(jié)果就是伸縮與折疊操作，這就形成奇怪吸引子的空間幾何形狀。因此，對于奇怪吸引子而言，其最大Lyapunov指數(shù)為正的（另外也至少有一個Lyapunov指數(shù)是負的），并且Lyapunov指數(shù)

越大，系統(tǒng)的混沌性越強；反之亦然.對于耗散系統(tǒng)，Lyapunov指數(shù)譜不僅描述了各條軌道的性態(tài)，而且還描述了從一個吸引子的吸引域出發(fā)的所有軌道的穩(wěn)定性性態(tài)。對于一維（單變量）情形，吸引子只可能是不動點（穩(wěn)定定態(tài)）。此時Lyapunov指數(shù)是負的。對于二維情形，吸引子或者是不動點或者是極限環(huán)。對于不動點，任意方向的相空間中兩靠近點之間的距離都要

第四十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五收縮，故這時兩個Lyapunov指數(shù)都應(yīng)該是負的，即對于不動點，至于極限環(huán)，如果取相空間中兩靠近點之間的距離始終是垂直于環(huán)線的方向，它一定要收縮，此時Lyapunov指數(shù)是負的；當(dāng)取相空間中兩靠近點之間的距離沿軌道切線方向，它既不增大也不縮小，可以想象，這時Lyapunov指數(shù)等于零（這類不終止于不動點而又有界的軌道至少有一個Lyapunov指數(shù)等于零。證明可參考Haken的書AdvancedSynergetics）[59]。所以，極限環(huán)的Lyapunov指數(shù)是

同樣可知，在三維情形下有不動點極限環(huán)二維環(huán)面

第四十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

不穩(wěn)極限環(huán)

不穩(wěn)二維環(huán)面

奇怪吸引子在四維連續(xù)耗散系統(tǒng)中，有三類不同的奇怪吸引子，它們是：第四十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五總結(jié)上面的分析可以看出，Lyapunov指數(shù)可以表征系統(tǒng)運動的特征，其沿某一方向取值的正負和大小表示長時間系統(tǒng)在吸引子中相鄰軌道沿該方向平均發(fā)散（li>0）或收斂（li

<0）的快慢程度，因此，最大Lyapunov指數(shù)

決定軌道覆蓋整個吸引子的快慢，最小Lyapunov指數(shù)則決定軌道收縮的快慢，而所有Lyapunov指數(shù)之和可以認為是大體上表征軌道總的平均發(fā)散快慢。還可以看出，（1）任何（平庸的和奇怪的）吸引子必定有一個混沌Lyapunov指數(shù)是負的；（2）對于混沌，必有一個Lyapunov指數(shù)是正的（另外，吸引子也至少有一個Lyapunov指數(shù)是負的）。因此，只要由計算得知，吸引子至少有一個正的Lyapunov指數(shù)，便可以肯定它是奇怪的，從而運動是混沌的。第四十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.5.2Kaplan-Yorke猜想Lyapunov指數(shù)和分維數(shù)之間的關(guān)系：基于Lyapunov指數(shù)從大到小的排序，然后從最大的開始（混沌運動至少有一個指數(shù)大于零），把后續(xù)的指數(shù)一個個加起來。設(shè)加到時，總和為正數(shù)，而加到下一個時，總和成為負數(shù)，很自然設(shè)想吸引子維數(shù)介于k和k+1之間。用線性插值定出維數(shù)的分數(shù)部分，Kaplan和Yorke[60]曾猜測此關(guān)系為得到這里d為分維數(shù)，k是能使的最大k值。在二維情況下，上式簡化為第四十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.5.3差分方程組計算Lyapunov指數(shù)的方法定義2.7

設(shè)空間上的差分方程：。f為上的連續(xù)可微映射。

設(shè)表示f的Jacobi矩陣，即令第五十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五將的n個復(fù)特征根取模后，依從大到小順序排列為那么，f的Lyapunov指數(shù)定義為第五十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.5.4微分方程組計算最大Lyapunov指數(shù)的方法1976年，Benettin等人提出了計算微分方程組最大Lyapunov指數(shù)的方法。其方法如下：在給定微分方程組所確定的相空間中，選取兩個很靠近的初始點和，其間距離為，且值要很小，在一個小的時間間隔里去積分這個微分方程，利用變換Ｔ可得這兩點間的距離為。然后選取一個新的點，它的位置在和的的聯(lián)線上，并使得。對和

第五十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五再作用一次變換Ｔ，可得到及，并有。這個過程重復(fù)進行，如圖2.3所示，則

可由下列方程來計算這里n是積分的次數(shù)，故n必須很大（例如），而又必須很?。ɡ纾?，只要不太大，計算結(jié)果就與的大小無關(guān)了。利用計算機可以實現(xiàn)這種算法，從而可以對系統(tǒng)運動是否是混沌作出判斷。

第五十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五圖2.3微分方程組計算Lyapunov指數(shù)的演化替換過程第五十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.5.5實驗數(shù)據(jù)計算Lyapunov指數(shù)的方法1、長度演化法1985年，Wolf等人在總結(jié)前人研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出了一種能從實驗數(shù)據(jù)計算非負最大Lyapunov指數(shù)l1的算法—長度演化法計算方法：由實驗數(shù)據(jù)的時間序列，利用時間延遲法構(gòu)造m維相空間，空間中的每一點是由{，，…，)}給出的。首先找出距初始點{，，…，}最近的點，用表示這兩點間的距離。到時刻已演化成，這時再按以下兩原則尋找一個新的數(shù)據(jù)點：第五十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五它與演化后基準點的距離很??；且與的夾角很小。這個過程重復(fù)進行，如圖2.4所示，直到窮盡所有的數(shù)據(jù)點。則為其中N是長度元演化的總次數(shù)。至趨于某一穩(wěn)定值時，計算才算成功。圖2.4長度演化法計算Lyapunov指數(shù)的演化替換過程第五十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2、面積演化法長度演化法在實際處理中具有一定局限性。若當(dāng)一條線段增長到顯著大時，無法找到具有相同取向的較短線段的位移，則失去吸引子中最膨脹方向的意義，使正指數(shù)與零指數(shù)的貢獻以系統(tǒng)相關(guān)和復(fù)合的方式混合在一起，不能正確算。面積演化法方法：由于考慮的是幾近于平面局域結(jié)構(gòu)的（+，0，-）譜的吸引子（即要求），在重構(gòu)吸引子中確定3個近鄰點，及，其中是吸引子中任一點，比如可取第一點

,對應(yīng)時刻。點及則是用窮舉法或其它方法找到的的最近鄰點，然后按時間序列向前發(fā)展而求得這三個點在時刻的新位置記為，，。這兩個三角形的面積記為和。保持點第五十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

作為三角形的一個頂點，而尋找其新的最近鄰點及。三角形的面積為。顯然量反映吸引子的局部膨脹和收縮特性。重復(fù)這一步驟直到所有的數(shù)據(jù)都用到，兩個最大Lyapunov指數(shù)之和的估計值式中N是代換的總步數(shù)，是第k步代換的時間。至趨于某一穩(wěn)定值時，計算才算成功。面積演化法的合理性在于：其一、整個計算中已經(jīng)保留了三角形中一點的演化從而考慮了相應(yīng)的一維映射不變概率密度對指數(shù)貢獻的權(quán)重；其二，吸引子的局部近似平面，故面積演化不必考慮其它指數(shù)的修正。

第五十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五圖2.5面積演化法計算Lyapunov指數(shù)的演化替換過程第五十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.3.6測度熵動力系統(tǒng)另一統(tǒng)計性質(zhì)的量是熵，它與Lyapunov指數(shù)和Hausdorff維數(shù)之間存在一定關(guān)系，是系統(tǒng)混沌性質(zhì)的一種度量，常用的熵有拓撲熵（topologicalentropy）和測度熵（metricentropy或measuretheoreticentropy）測度熵是從我們熟悉的熱力學(xué)熵概念引申而來的。在統(tǒng)計熱力學(xué)中，熵是系統(tǒng)處在狀態(tài)i的概率。熵S是系統(tǒng)無序程度的量度。無序程度的增加對應(yīng)于對狀態(tài)可知性的減少。根據(jù)Shannon的信息論，熵S可用來刻劃我們對系統(tǒng)無知的程度。只要S>0，系統(tǒng)總存在一些我們無法認識的側(cè)面。第六十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)S，可引入測度熵K。K熵的定義如下：考慮奇怪吸引子上動力系統(tǒng)的軌道。設(shè)d維相空間被劃分成尺寸為的盒子，系統(tǒng)的狀態(tài)可在時間的時間間隔內(nèi)觀察。設(shè)是在盒子中，在盒子中，……，在盒子中的聯(lián)合概率，根據(jù)Shannon公式

它正比于以精度l確定系統(tǒng)在特殊軌道所需要的信息。因此是已知系統(tǒng)先前處于而預(yù)測系統(tǒng)將在單元中所需的附加信息，這意味著量度了系統(tǒng)從時間n到n+1的信息損失。K熵定義為信息的平均損失率第六十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五極限說明K與分劃的選取無關(guān)。對離散時間步長的映射，可以省略。

K在混沌的量度中是很有用的。它可以區(qū)分規(guī)則運動，混沌運動和隨機運動。對規(guī)則運動，；在隨機系中若系統(tǒng)表現(xiàn)確定性混沌，則K是大于零的常數(shù)。K熵越大，那么信息的損失速率越大，系統(tǒng)的混沌程度越大，或說系統(tǒng)越復(fù)雜。K與正Lyapunov指數(shù)有密切關(guān)系。對于有限維的可微分的映射，

(2.18)即所有正的Lyapunov指數(shù)之和，給出K熵的上限。在實踐中，式(2.18)中的等式往往成立，它成為所謂Pesin等式第六十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五測度熵K是刻劃混沌系統(tǒng)的一個重要量。在不同類型的動力系統(tǒng)中，K的值不同。因此通過K的計算可給出系統(tǒng)的粗略分類。不知系統(tǒng)的微分方程時，K是難以計算的。由于K是q階Renyi熵的下界且，。因此通常計算熵作為K的近似?，F(xiàn)在介紹從單變量時間序列計算的方法。給定一時間序列，將其嵌入到m維歐氏空間中，得到一個點（或向量）集J(m)，其元素記作式中是固定時間間隔，即時間延遲，是兩次相鄰采樣的間隔，k是整數(shù)

第六十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五從這

個點中任意選定一個參考點，計算其余個點到

的距離對所有重復(fù)這一過程，得到相關(guān)積分函數(shù)

,按的定義得對于給定的時間延遲，在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)給出一個r，對m=2,3,，求出，由式(2.11)可求出。當(dāng)其不隨m而改變時得到，

是使對m達到飽和的最小值。在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)減小r的值，再按上述方法求出

,當(dāng)其不隨r而改變時的值即可作為的估計值。

第六十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.4分形分形這個術(shù)語是Mandelbrot為描述所有尺度上復(fù)雜結(jié)構(gòu)的不規(guī)則、破碎形狀而創(chuàng)造的。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版的三本書，特別是《分形——形、機遇和維數(shù)》、《大自然的分形幾何學(xué)》，把許多人引進了分形百花圓。什么是分形？事實上，目前對分形還沒有嚴格的數(shù)學(xué)定義，只能給出描述性的定義。粗略地說，分形是對沒有特征長度（所謂特征長度，是指所考慮的集合對象所包含有的各種長度的代表者，例如一個球，可用它的半徑作為它的特征長度。）但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱。第六十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五大多數(shù)分形在一定的標(biāo)度范圍內(nèi)不斷放大其任何部分，其不規(guī)則程度都是一樣的，這個性質(zhì)稱為比例自相似性；而按照統(tǒng)計的觀點，其任一局部經(jīng)移位、旋轉(zhuǎn)、縮放變換后與其它任意部分相似。這兩個性質(zhì)揭示了自然界中一切形狀及現(xiàn)象都能以較小或部分的細節(jié)反映出整體的不規(guī)則性。Mandelbrot最先引入分形（fractal）一詞，意為破碎的，不規(guī)則的，并且曾建議將分形定義為整體與局部在某種意義下的對稱性的集合，或者具有某種意義下的自相似集合[13]。為此，在他的最初論述中曾給出分形的一個嘗試性的定量刻畫。定義2.8

如果一個集合在歐氏空間中的Hausdorff維數(shù)恒大于其拓撲維數(shù)，即則稱該集合為分形集，簡稱分形。第六十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五

定義2.9

組成部分以某種方式與整體相似的形體叫分形。英國數(shù)學(xué)家Falconer在其所著《分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用》一書中認為，分形的定義應(yīng)該以生物學(xué)家給出“生命”定義的類似方法給出，即不尋求分形的確切簡明的定義，而是尋求分形的特性。一般地，稱集F是分形，即認為它具有下述典型的性質(zhì)：1F具有精細的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的細節(jié)。

2F是不規(guī)則的，以致于不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。

3F通常有某種自相似的形式，可能是近似的或統(tǒng)計的。

4F在某種方式下定義的“分形維數(shù)”通常大于它的拓撲維數(shù)。

5

在大多數(shù)令人感興趣的情況下，F(xiàn)可以以非常簡單的方式來定義，可能由迭代產(chǎn)生。第六十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.4.1分形與混沌的關(guān)系

在非線性科學(xué)中，分形與混沌有著不同的起源，但他們又都是非線性方程所描述的非平衡的過程和結(jié)果，這表明它們有著共同的數(shù)學(xué)祖先——動力系統(tǒng)，奇怪吸引子就是分形集，或者說混沌是時間上的分形，而分形是空間上的混沌。第六十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期五2.4.2構(gòu)造分形圖的逃逸時間算法動力系統(tǒng)：定義2.10

度量空間(X,)上的動力系統(tǒng)是一個變換f：XX，記為X,f。X中一點x的軌道是序列。設(shè)(X,)為給定的度量空間，(F(X),h)代表