正交試驗方差分析

表6-1k個處理每個處理有n個觀測值的數據模式下一張

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表中表示第i個水平的第j個觀測值（i=1,2,…,k；j=1,2,…,n）；表示第i個水平n個觀測值的和；表示全部觀測值的總和；表示第i個水平的平均數；表示全部觀測值的總平均數；可以分解為下一張

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(6-1)

表示第i個水平觀測值總體的平均數。為了看出各水平的影響大小，將再進行分解，令

(6-2)(6-3)則

(6-4)

其中μ表示全試驗觀測值總體的平均數；下一張

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因為偏差平方和

其中所以（6-7）（6-7）式中，為組間偏差平方和，反映了各樣本平均值間的差異，記為SSt，即下一張

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(6-7)式中，為組內偏差平方和，反映了各水平下多次實驗結果間的差異，記為SSe，即于是有

SST

=SSt+SSe

（6-8）這個關系式中三種平方和的簡便計算公式如下：下一張

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(6-9)

其中，C=/kn稱為矯正數。方差分析統計量

在計算總平方和時，資料中的各個觀測值要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個數減1，即kn-1。總自由度記為dfT，即dfT=kn-1。下一張

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在計算組間平方和時，各水平均數要受這一條件的約束，故組間自由度為水平數減1，即k-1。組間自由度記為dft，即dft=k-1。在計算組內平方和時，要受k個條件的約束，即（i=1,2,…,k）。故組內自由度為資料中觀測值的總個數減k，即kn-k

。組內自由度記為dfe，即dfe=kn-k=k(n-1)。下一張

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因為所以

(6-10)

綜合以上各式得：

(6-11)下一張

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各部分偏差平方和除以各自的自由度便得到總均方、組間均方和組內均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或）。即（6-12）總均方一般不等于組間均方加組內均方。下一張

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構造統計量F=MSt/MSe根據顯著性水平，F<結論是肯定的，原假設成立；反之，不成立。【例6.4】5個不同品種豬的育肥試驗，后期30天增重(kg)如表6-16所示。試比較品種間增重有無差異。表6-165個品種豬30天增重下一張

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此例處理數k=5，各處理重復數不等。現對此試驗結果進行方差分析如下：

1、計算各項平方和與自由度

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2、列出方差分析表，進行F檢驗臨界F值為：F0.05(4,20)=2.87，因為品種間的F值5.99＞F0.05(4,20)，表明品種間差異極顯著。下一張

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極差分析法簡單明了，通俗易懂，計算工作量少便于推廣普及。但這種方法不能將試驗中由于試驗條件改變引起的數據波動同試驗誤差引起的數據波動區分開來，也就是說，不能區分因素各水平間對應的試驗結果的差異究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗誤差引起的，無法估計試驗誤差的大小。此外，各因素對試驗結果的影響大小無法給以精確的數量估計，不能提出一個標準來判斷所考察因素作用是否顯著。為了彌補極差分析的缺陷，可采用方差分析。下一張

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3.2正交試驗結果的方差分析

3.2.1正交試驗結果的方差分析

方差分析基本思想是將數據的總偏差平方和分解成因素引起的偏差平方和和誤差引起的偏差平方和兩部分，構造F統計量，作F檢驗，即可判斷因素作用是否顯著。總偏差平方和＝各列因素偏差平方和+誤差偏差平方和（1）偏差平方和分解：（2）自由度分解：（3）方差：（4）構造F統計量：（5）列方差分析表，作F檢驗若計算出的F值F0>Fa，則拒絕原假設，認為該因素或交互作用對試驗結果有顯著影響；若F0?Fa，則認為該因素或交互作用對試驗結果無顯著影響。（6）正交試驗方差分析說明由于進行F檢驗時，要用誤差偏差平方和SSe及其自由度dfe，因此，為進行方差分析，所選正交表應留出一定空列。當無空列時，應進行重復試驗，以估計試驗誤差。誤差自由度一般不應小于2，dfe很小，F檢驗靈敏度很低，有時即使因素對試驗指標有影響，用F檢驗也判斷不出來。為了增大dfe，提高F檢驗的靈敏度，在進行顯著性檢驗之前，先將各因素和交互作用的方差與誤差方差比較，若MS因（MS交）<2MSe，可將這些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入誤差的偏差平方和、自由度，這樣使誤差的偏差平方和和自由度增大，提高了F檢驗的靈敏度。表頭設計AB……試驗數據列號12…kxixi2試驗號11………x1x1221………x2x22…………………nm………xnxn2K1jK11K12…K1kK2jK21K22…K2k……………KmjKm1Km2…KmkK1j2K112K122…K1k2K2j2K212K222K2k2……………Kmj2Km12Km22…Kmk2SSjSS1SS2…SSk表10-21Ln（mk）正交表及計算表格總偏差平方和：列偏差平方和：

試驗總次數為n，每個因素水平數為m個，每個水平作r次重復r＝n/m。當m＝2時，總自由度：因素自由度：表10-20L9(34)正交表處理號第1列（A）第2列第3列第4列試驗結果yi11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y783213y893321y9分析第1列因素時，其它列暫不考慮，將其看做條件因素。因素A第1水平3次重復測定值因素A第2水平3次重復測定值因素A第3水平3次重復測定值因素重復1重復2重復3A1y1y2y3A2y4y5y6A3y7y8y9單因素試驗數據資料格式和y1+y2+y3K1y4+y5+y6K2y7+y8+y9K3

3.2.2不考慮交互作用等水平正交試驗方差分析

例：自溶酵母提取物是一種多用途食品配料。為探討啤酒酵母的最適自溶條件，安排三因素三水平正交試驗。試驗指標為自溶液中蛋白質含量（％）。試驗因素水平表見表10-22，試驗方案及結果分析見表10-23。試對試驗結果進行方差分析。水平試驗因素溫度（℃）ApH值B加酶量（％）C1506.52.02557.02.43587.52.8表10-22因素水平表處理號ABC空列試驗結果yi11（50）1（6.5）1（2.0）16.25212（7.0）2（2.4）24.97313（7.5）3（2.834.5442（55）1237.53522315.54623125.573（58）13211.48321310.9933218.95K1j15.7625.1822.6520.74K2j18.5721.4121.4521.87K3j31.2518.9921.4822.97K1j2248.38634.03513.02430.15K2j2344.84458.39460.10478.30K3j2976.56360.62461.39527.62表10-23試驗方案及結果分析表（1）計算計算各列各水平的K值計算各列各水平對應數據之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。計算各列偏差平方和及自由度同理，SSB=6.49，SSC=0.31SSe=0.83（空列）自由度：dfA＝dfB＝dfC＝dfe＝3-1=2計算方差（2）顯著性檢驗根據以上計算，進行顯著性檢驗，列出方差分析表，結果見表10-24變異來源平方和自由度均方F值Fa顯著水平A45.40222.7079.6F0.05(2,4)=6.94**B6.4923.2411.4F0.01(2,4)=18.0*C△0.3120.16誤差e0.8320.41誤差e△

1.1440.285總和53.03表10-24方差分析表因素A高度顯著，因素B顯著，因素C不顯著。因素主次順序A-B-C。（3）優化工藝條件的確定

本試驗指標越大越好。對因素A、B分析，確定優水平為A3、B1；因素C的水平改變對試驗結果幾乎無影響，從經濟角度考慮，選C1。優水平組合為A3B1C1。即溫度為58℃，pH值為6.5，加酶量為2.0%。

3.2.3考慮交互作用正交試驗方差分析

例：用石墨爐原子吸收分光光度法測定食品中的鉛，為了提高測定靈敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影響吸光度的因素，確定最佳測定條件。（1）計算計算各列各水平對應數據之和K1j、K2j及（K1j-K2j）；計算各列偏差平方和及自由度。表10-25試驗方案及結果分析表試驗號ABA×BCA×CB×C空列吸光度111111112.42211122222.24312211222.66412222112.58521212122.36621221212.4722112212.79822121122.76K1j9.99.4210.2110.2310.2410.1210.19K2j10.3110.79109.989.9710.0910.02K1j-K2j-0.41-1.370.210.250.270.030.17SSj0.0210.2350.00550.00780.00910.00010.0036變異來源平方和自由度均方F值臨界值Fa顯著水平A0.0210