第五章受壓桿件的扭轉屈曲與彎扭屈曲目前一頁\總數二十二頁\編于七點5.2.2彎扭屈曲對于截面單軸對稱的單角鋼、單槽鋼或T形鋼軸心壓桿，形心和彎心不相重合。如果桿件在軸心力F作用下不能保持直線平衡而繞對稱軸y彎曲時，由于剪力不通過彎心，不可避免的要出現扭轉。桿件的扭轉平衡微分方程為：其中彎曲平衡的微分方程可以寫為：兩端鉸接的桿件，桿端邊界條件：當z=0時：當z=L時：目前二頁\總數二十二頁\編于七點解得：令得：臨界荷載式中：目前三頁\總數二十二頁\編于七點5.2.3計算彎扭屈曲的換算長細比的方法我國冷彎薄壁型鋼結構技術規范設x軸為對稱軸，如圖所示：圖5.4根據得：令由于上式可以寫為：解得彎扭屈曲臨界應力：目前四頁\總數二十二頁\編于七點5.3偏心壓桿的彎扭屈曲★偏心壓桿的彎扭屈曲是指其在彎矩平面外的失穩。偏心受壓桿件的彎扭屈曲平衡微分方程為：（5.32）（5.33）將式（5.32）對z微分二次，式（5.33）對z微分一次，得到：得到偏心壓桿的臨界荷載：目前五頁\總數二十二頁\編于七點在鋼結構設計中常常用相關公式來控制偏心壓桿的彎扭失穩。由梁整體失穩的臨界彎矩為：利用這個關系式，并將Fe用M代替，得到：當Fω=Fy時，F/Fy與M/Mcr之間的關系是直線關系目前六頁\總數二十二頁\編于七點第二節軸心受壓時開口薄壁桿件的彎扭屈曲臨界荷載中性平衡方程剪心C沿x和y軸方向平移u和v，截面繞剪力中心扭轉角，點B(x,y)沿x和y軸方向位移為：假定屈曲時桿件處于彈性工作階段和小變形狀態，并假定截面的周邊形狀保持不變，無初始缺陷。5.4用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載目前七頁\總數二十二頁\編于七點一中性平衡方程的建立(一)通過勢能駐值原理來推導變形后微段長度：由于u`,v`是微小量，上式簡化為：B點縱向纖維變形后的總長度為：B點縱向纖維變形后兩端縮短為：目前八頁\總數二十二頁\編于七點式中應力＝F/A在小條上的外力功為：對整根桿，壓力F的外力功為：并考慮了因此，總勢能為即：目前九頁\總數二十二頁\編于七點二臨界荷載的確定(一)假設位移函數，將微分方程組化為求解代數方程組如桿段簡支時，邊界條件為假設位移函數為：A、B和C—廣義坐標或參變數n＝1,2,3,…—彈性曲線的半波數將它代入總勢能表達式，并令：目前十頁\總數二十二頁\編于七點得到線性齊次代數方程組為：特征方程為：或解此方程式所得F的最小根，即為所求的臨界力Fcr。目前十一頁\總數二十二頁\編于七點三關于臨界荷載的討論－以兩端簡支的軸壓桿為例(一)當桿件截面為雙軸對稱或點對稱時截面形心與剪力中心重合，x0＝y0＝0：方程式的三個根為目前十二頁\總數二十二頁\編于七點得到最小臨界力，將此三根代入(5.56)式，可得當F＝Fx和F＝Fy時，桿件為彎曲屈曲，當F＝F時，桿件為扭轉屈曲。對于雙軸對稱或點對稱截面的軸壓桿，只能發生繞其主軸彎曲屈曲或繞剪力中心的扭轉屈曲，不會發生彎扭屈曲。目前十三頁\總數二十二頁\編于七點(二)當桿件截面為單軸對稱(設y軸為對稱軸)時，則x0＝0，彎曲屈曲彎扭屈曲(三)當桿件截面為不對稱時，則必為彎扭屈曲，臨界力為(5.58)式的三個根中最小值，并取n＝1。取n＝1，得到最小臨界力。目前十四頁\總數二十二頁\編于七點5.5用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載除了上節所述的基本假定外，需再假設桿件截面具有足夠的抗彎剛度，由偏心彎矩產生的彎曲變形很小，可以略去不計。目前十五頁\總數二十二頁\編于七點一中性平衡方程的建立(一)根據勢能駐值原理來導出中性平衡狀態時，截面上任意點B(x,y)的位移、應變能U和外力所作的功W的表達式與上一節表達式相同。將(5.66)代入(5.48)式，對整個截面積分，并注意O為形心，x和y軸為形心主軸，可得：式中x和y為不對稱截面的幾何特性。目前十六頁\總數二十二頁\編于七點體系總勢能Ep的表達式為：目前十七頁\總數二十二頁\編于七點二臨界荷載的確定(一)假設位移函數，將微分方程組化為求解代數方程組如桿段簡支時，邊界條件為假設位移函數為：A、B和C—廣義坐標或參變數n＝1,2,3,…—彈性曲線的半波數根據勢能駐值定理，令目前十八頁\總數二十二頁\編于七點A、B、C不同時為0的條件是其系數行列式△=0，則可以得到穩定方程為：得：解這個特征方程可得F的三個根，其最小根就是所求的臨界荷載。目前十九頁\總數二十二頁\編于七點三關于臨界荷載的討論－以兩端簡支的軸壓桿為例(一)當桿件為雙軸對稱，且壓力F作用在一個對稱軸(假定是y軸)上時，則x0=y0=ey=x=y=0，此時方程形式為：或者式中：目前二十頁\總數二十二頁\編于七點臨界力為上述三根中最小值，并取n＝1。當臨界力為Px時，為繞x軸的彎曲屈曲，當臨界力為其它根時，為彎扭屈曲。當為彎扭屈曲時：目前二十一頁\總數二十二頁\編于七點(二)當桿件為單軸對稱，且壓力F作用在對稱軸(假定是y軸)上時，則x0=ey=x=0，此時方程式的形式為：桿件可能繞x軸彎曲屈曲，也可能是彎扭屈曲。(三)當桿件截面無對