1.1.2集合的基本關系第一章集合與常用邏輯用語學習目標1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符號和維恩圖表示集合間的關系.3.掌握列舉有限集的所有子集的方法.01子集觀察下面例子，你能發現兩個集合之間的關系嗎？A={1，3}，B={1，3，5，6}；集合A中的任意一個元素都是集合B的元素如果一個班級中，所有同學組成的集合記為S，而所有女同學組成的集合記為F，你覺得集合S和F之間有怎樣的關系？你能從集合元素的角度分析它們的關系嗎？情境與問題對應地，如果A不是B的子集，則記作：A

B(或B

A)一般地，如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.上述情景與問題中的兩個集合F和S滿足什么關系？想一想01子集F?S(或S?F)記作：A?B(或B?A)讀作：“A包含于B”(或“B包含A”)符號語言：任意x∈A，有x∈B，則A?B.(1)根據子集的定義判斷，如果A={1,2,3},那么A?A嗎？因為空集不包含任何元素，所以我們規定：空集是任意一個集合A的子集，即??A

.想一想與表達的含義相同嗎？請舉例說明前者是集合之間的關系，后者是元素與集合間的關系.嘗試與發現(2)你認為可以規定空集?必是任意一個集合的子集嗎？為什么？

根據子集的定義，任意集合A都是它自身的子集,即A?A.01子集01記作：AB(或BA)真子集02情境與問題前面的情境與問題中的兩個集合F

S，但是，只要班級中有男同學，那么S中就有元素不屬于F.那它們是什么關系呢？如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么稱集合A是集合B的真子集．讀作：“A真包含于B”（或“B真包含A”)如果用平面上一條封閉曲線的內部來表示集合，那么我們就可作出示意圖來形象地表示集合之間的關系，這種示意圖通常稱為維恩圖.例如，A是B的真子集，可用右圖表示.真子集02例如，分析集合A={1,2},B={1,2,3,4}之間的關系，可是A是B的子集（即A?B），而3∈B且3?A，因此A是B的真子集，即AB.BA1.根據子集、真子集的定義，子集和真子集有哪些性質呢？2.如果要做出維恩圖來理解子集與真子集的這些性質，該如何作？CBA(2)對于集合A,B,C,如果AB,BC,則AC

(1)對于集合A,B,C,如果A?B,B?C,則A?C真子集02想一想例1

寫出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集.[解] 集合A的所有子集是：?，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}，在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集.真子集02經典例題1.寫集合子集的一般方法：先寫空集，然后按照集合元素從少到多的順序寫出來，一直到集合本身.

2.寫集合真子集時除集合本身外其余的子集都是它的真子集.真子集02歸納方法[解]

因為集合B的元素都是集合A的元素，因此可用數軸表示它們的關系，如圖所示：從而可知a≤2.真子集02經典例題

例2已知區間A=(-∞，2]和B=(-

∞,a)，且B?A，求實數a的取值范圍.

集合的相等與子集的關系03情境與問題已知S={x|(x+1)(x+2)=0}，T={-1,-2}，這兩個集合的元素有什么關系？S?T嗎？T?S嗎？你能由此總結出集合相等與子集的關系嗎？上述問題中，組成S

的元素與組成T

的元素完全相同，即S=T；另外，由子集的定義可知

S?T且T?S03集合的相等與子集的關系一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，則稱集合A和集合B相等.(1)記作：A=B(2)讀作：“A

等于B”(3)如果A?B且B?A，則A=B(4)如果A=B，則A?B且B?A03集合的相等與子集的關系經典例題

例3 寫出下列每對集合之間的關系：[解] (1)因為B的每個元素都屬于A，而4∈A且4?B,所以BA.(2)不難看出，C和D包含的元素都是1和-1，所以C=D.(3)在數軸上表示出區間E和F，如圖所示.由圖可知FE

.03集合的相等與子集的關系03集合的相等與子集的關系(4)如果x∈G，則x是對角線相等且互相平分的四邊形，所以x是矩形，從而得知x是有一個內角為直角的平行四邊形，所以x∈H，因此G?H.

反之，如果x∈H，則x是有一個內角為直角的平行四邊形，所以x是矩形，從而可知x是對角線相等且互相平分的四邊形，所以x∈G，因此H?G.

綜上可知，G=H.

由上可以看出，當A是B的子集時，要么A是B的真子集，要么A與B相等.填寫下表，回答后面的問題：集合元素個數所有子集子集個數{a}1{a,b}2{a,b,c}3{a,b,c,d}4(1)你能找出“元素個數”與“子集個數”之間的規律嗎？(2)如果一個集合中有n個元素，你能用n表示這個集合的子集個數嗎？?,{a}2?,{a},,{a,b}?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}4

8

?,{a},,{c},ntz3phz{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,