第八章剛體的平面運動復習——點的合成運動2“一點兩系三運動”一點：動點兩系：靜系、動系三運動：絕對運動、相對運動和牽連運動速度合成定理加速度合成定理

3§8-1剛體平面運動的概念和運動分解1.概念在運動中，剛體上的任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運動稱為平面運動。做平面運動的剛體上各點軌跡為平面曲線，這些平面或平行，或共面，可以用某一個運動參考點所在平面來統一表示，該平面稱運動平面。2.剛體平面運動的特點剛體的運動平面與坐標系Oxy平面平行時：剛體上任意點沿z方向的位移、速度、加速度為零；繞x、y軸的轉動角位移、角速度、角加速度為零；剛體上任意點A的運動方程為：43.剛體平面運動的分解動系O'x'y'z'的原點選為剛體上一點，稱基點。O'x'y'平面取運動平面，動系隨剛體上基點（O'點）平動。坐標軸z'恒平行于z軸。平面運動=隨O’X’Y’的平移+繞O’點的轉動56由于基點是任取的，那么基點的選擇不同，隨基點的平動和繞基點的轉動會有什么異同呢？7

如圖：平面圖形S在t時間內從位置I運動到位置II基點不同，基點的軌跡也不同，隨基點平移的速度和加速度與基點的選擇有關。以A為基點:隨基點A平動到A'B'后,繞基點轉△φ1角到A'B''以B為基點:隨基點B平動到A''B'后,繞基點轉△φ2角到A'B'SABABBA12SIII8平面運動隨基點平動的運動規律與基點的選擇有關，而繞基點轉動的規律與基點選取無關。即、與基點選取無關。SABABBA12SIII∵ABA'B''A''B'∴△φ1＝△φ2

§8-2求平面圖形內各點速度的基點法平面圖形內任意一點M的運動均為平移和轉動的合成。相對軌跡：以基點O為圓心，以OM為半徑的圓弧。用點的速度合成定理來計算M點的速度。這一方法稱為基點法。平面運動=

隨O’X’Y’的平移+繞O’點的轉動91.基點法10根據速度合成定理則M點速度為：即：平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉動的速度的矢量和。OvOvOvMOvMxyM其中：11例：如圖所示平面機構中，AB=BD=DE=l=300mm。在圖示位置時，BD∥AE桿AB的角速度為ω=5rad·s－1。試求此瞬時桿DE的角速度和桿BD中點C的速度。12vB

解：1.桿DE的角速度。其中，D點繞B的轉動速度vDB

的方向與BD垂直，D點的速度vD與DE垂直。以B點為基點，由速度合成定理，D點的速度可表示為桿BD作平面運動，vB大小為方向與AB垂直。ωABCDEvDvDBvB13由速度合成矢量圖可得于是可得此瞬時桿BD的角速度為

vDB

為D點繞B的轉動速度，應有轉向為逆時針vBωABCDEvDvDBvBωBD142.求桿BD中點C的速度。以B點為基點，C點的速度可表示為vBωABCDEvBvCvCB其中vB大小和方向均為已知，vCB方向與BD桿垂直，大小為vC的方向恰好沿桿BD2、速度投影定理同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。沿AB連線方向上投影由該方法在已知其中一點速度的大小和方向，同時又已知另一點速度的方向，僅求其大小的情況下使用較方便。但該方法不能計算平面圖形的角速度。1516例：曲柄尊滑塊慶機構辱如圖扮所示蹈，曲原柄OA以勻漏角速逼度ω轉動造。已者知曲新柄OA長為R，連呼桿AB長為l。當米曲柄恒在任掛意位違置φ=ωt時，凈求滑女塊B的速刑度。BωAψOxy17BωAψOxy解：vAvAvBvBA∵A點速波度vA已知覆，選A為基幻玉點。其中vA的大卡小vA=R租ωvB=vA+vBA基點黃法由速賞度合看成矢茶量圖望可得18其中可求膜得連己桿AB的角崇速度順時渾針轉定向。vAvBvBABxyBωAψOxyvAvAvBvBA19應用根速度代投影筐定理掉，有其中vA=禁r堡ω，α＝90o-ψ型-困φ，β＝ψ代入副上式層有AvABωψOxyvB90o-ψ-j速度銹投影店法§9-3求平面圖形內各點速度的瞬心法1.定理平面犯運動剛體怎在每陳一瞬民時，掃運動臥平面拼內有且敲只有一點江速度闊為零盆。速油度為撫零的干點稱六為瞬時紗速度灰中心或速度揮瞬心。證：從A做vA垂線AN，在AN上必仗有一線點C，記AC長度喊為R，使得vCA＝Rω＝－vA由基數點法vC＝02021CDABvDvAvBC(a)(b)2.平面埋圖形蔬內各姓點的卸速度代及其惠分布以速塘度瞬捷心C為基劉點，億圖中濟各點另的速涼度：大小姻為這樣逝，平郵面圖秘形上慎各點狠的速術度在翼某瞬弱時的板分布丈情況異，與邁圖形觀繞定倘軸轉帆動時揮各點聞的速脖度分纖布情盆況類悠似。保因此撿，平面舊圖形剝的運阻動可合看成哭為繞透速度精瞬心湯的瞬胡時轉封動。平面閱圖形導內任嗚一點賭的速丟度等于該點而隨瞬抹心轉冊動的算速度爛。3、速訊度瞬葛心的躲確定斃方法（1）已動知：vA，vB方向閑，且vA不平東行于vB。2223（2）瞬時購平移閱（瞬心盯在無冷窮遠仰處）注意雁：各迫點的來速度警相同素是指茂在該綠瞬間誼，所備以其著加速充度不鍛一定濾等于遵零。（3）已留知：vA，vB平行吃，且報不垂西直于AB。24（4）已知泰一平兆面圖迎形在互固定扇面上或作純滾掃動（無撤滑動害的滾唇動）,則圖據形與充固定宜面的接觸頂點C為速蠶度瞬餅心。25（5）已我知圖導形上登一點老的速它度和琴圖形鈴角速蓋度可以哪確定錘速度販瞬心芒的位欲置。茅且C在v繞A點順轉向希轉90壟o的方譯向一東側。2627例：如圖稻所示欄，半餡徑為R的車怨輪，嗚沿直連線軌暢道作佛無滑焦動的擴滾動穩，已蟲知輪師心O以勻爐速vO前進來。求膚輪緣啊上A，B，C和D各點肢的速燒度。CABDOvO28CABDOvO解：注意澤，為屯求車因輪的那角速嶺度，姑可利偏用車疫輪作鹽無滑膠動的愚滾動逗的條蓋件，燦它與懲地面停的接洗觸點C的速儲度為喬零，朗即O點速性度已散知，呀選O為基獲點。vOvCOvC=0ωvCO=R卸ω基點訪法（順時針）由速構度合呢成定衰理，戴輪緣綱上C點的靈速度骨可表畜示為29CABDOvOvOvCOvC=0ω由基宿點法摔各點茫的速罩度可阻得：vOvAOvAvOvBOvBvOvDOvDA點：B點：D點：30CABDOxyvOω純滾襖動，占車輪沙上與豈地面糊相接饑觸的C點為董車輪謊的瞬槽心。若已知坡速度vO，∴編車輪列的角戴速度花為車輪順上點B的速窩度方賠向垂僻直于炒連線CB，大為小為vB同理弱，可虎求得放輪緣伶上其羨它各傲點的香速度蠶，結最果同嘴前。瞬心山法（順時針）例：在圖強中，筐桿AB長l，滑炸倒時B端靠耗著鉛守垂墻鋤壁。頂已知A點以調速度v沿水司平軸高線運寇動，冷試求幻玉圖示默位置哥桿端B點的榴速度希及桿挨的角眼速度延。3132解：選A點為液基點寧，A點的器速度vA=v，則B點的紗速度狀可表稍示為vB：沿OB向下vBA：垂脹直于喚桿ABABψvOvA=vvBvBAωAB基點灶法所以（逆養時針怎）33選B點為搖基點抱，則A點的痕速度醬可表橡示為vB：沿BO向下皂，vAB：垂片直桿AB，且vBA=ωAB·A渴B；vA=v由速貫度合濕成矢抽量圖引可得ABψOvA=vvBvABωABvB所以(逆時植針)解法2：34因為A點的跪速度誓已知伙，B點的唱速度距方向銀也已觀知，恥故可攝求出舍桿AB的速漁度瞬玻心在C點。結果脆相同海，但什求解秒步驟六簡單乎得多壁。vA=v，所故以ABψOωABvCvB瞬心窗法(逆時床針)35§8才-蠟4用基放點法廁求平壤面圖艱形卡由內各岔點的喇加速葛度∴平奸面圖寸形內懂任意燃一點B的運譽動也頭是這綿兩種躺運動西的合句成。污由點的晶加速隆度合夠成定走理來計早算M點的樣加速隱度。由于尤動系邊作平姻移，際故科氏符加速煩度恒飽為零。平面摔內的拼運動考＝隨押基點A的平移（牽連運動爸）＋宵繞基定點A的轉動（相對運動咽）。36可得即：平面燈圖形塔內任一膀點的爪加速榨度等于基點濟的加俗速度與該殼點隨詳圖形繞基鐮點轉界動的切向無加速憶度和法向斧加速且度的矢坡量和。其中37例：曲柄交滑塊要機構伯如圖籮所示晝，曲榨柄OA長R，連戶桿AB長l。設菠曲柄燃以勻潛角速隱度ω沿逆駛鐘向挪繞定賠軸O轉動佛。試顧求當鴨曲柄賤轉角洪為φ時滑哭塊B的加畫速度威和連取桿AB的角燥加速叔度。OABφω38OABφω解：vA選A為基切點由速需度合億成定咸理，B點的匙速度壯可表烏示為其中vA的大劑小vA=RωvB=vA+vBAvAvBvBA先求鬧連桿AB的角垃速度由速度合成矢量圖可得39OABφωvA所以可求作得連擺桿AB的角轟速度順時話針轉匙向。vAvBvBABxyvAvBvBA40A為基迅點，梳則滑寄塊B的加決速度嗎為基點A加速篇度的隔大小肯為動點B繞基壘點A相對拐轉動悔的切脆向加褲速度瞇的大僵小為求滑郊塊B的加化速度OABφωaAaAatBAanBAaB41從而笑求得飛滑塊B的加模速度相對桂轉動歸法向月加速腎度滑塊B的加杜速度aB的方觸向為紋水平冒并假抽定向未左，損大小座待求滲。OABφωaAaAatBAanBAaB42轉向憐為逆裳鐘向賭。同樣的，把亮投影調到鉛凡直軸y上，醫有連桿AB的角朱加速匙度從而粥求得求連幣桿AB的角釀加速湊度。yOABφωaAaAatBAaBanBA合成己運動摟方法販的應輕用：兩個都在項運動緩的剛察體，底有相楊對運于動，抵常靠滑鉛動約攻束兩體騙運動鬧，分只析兩罩體運捕動間程聯系析時常餃用。平面燙運動螺方法鑄：一個確剛體根據倡某個緩已知噸運動抓的點備，分膛析剛賞體上輔其它蘆點的踩運動狹時常款用。§8-5運動學綜合應用舉例4344由v及vB方向盼可知任此瞬聽時點O為BE桿的息速度掏瞬心儲，所杜以有OEBDllωOAvAvBaB桿BE作平吵面運桶動，脅可先憐求出嘩套筒B的速絮度和驚加速腸度。半套筒懇在OA桿上統滑動方，并岡帶動進桿OA轉動剪，可嫁按復怠合運稠動方盡法求濕解桿OA的角催速度頸和加睛角速咬度。1.求B點的狠速度煙。解：45以E為基潔點，B點的傭加速豈度為2.求B點的飛加速期度沿BE方向刷投影矛上式屑，得從而憶求得滑塊E作勻熄速直旦線運洗動，終故aE=046應用孩速度鍬合成艱定理于是巡壽得桿OA的角慕速度B點的漁速度耕和加午速度賣用剛體搶平面忽運動方法仍。B滑塊箱可以畏在OA桿上火滑動醉，因牽此可炭利用點的輝復合猜運動方法腹求解相桿OA的角封速度貫和角說加速銹度。va=vB；牽米連速爭度ve其方澇向垂粗直于