R正六邊形的面積RL L正62n1形的面 2“一尺之棰，日截其半，萬世不第一天截下的杖長為 1 第二天截下的杖長總XL L

11 第n天截下的杖長總和為Xn

11L1 1 二、數列的定定義:按自然數1,2,3,L編號依次排列的一列x1,x2,L,xn, 稱為無窮數列,簡稱數列.其中的每個數稱為數,xn{xn}.例如111L,1L;{1

2,4,8,L,2n,L;{2n24

1,1,1,L,(1)n1,L1 n ,L2

{(1)n1,L {n(1)n1n3,3,xn

,L3333333L3

,3xn13xn1動點在數軸上依次取x1x2L,xnL.

x2 2.數列是整標函數 f三、數列的極觀察數列{1 n問題:n無限增大時xn是否無限接近于某一確定的數值?如果是，如何確定?通過上面演示實驗的觀察1 n

n無限增大時(Ⅰ)

,L2

{xn}

,L}} 11

,L n,L24

{2n 不能無限接1,1,1,L,(1)n1,L;{(1)n1 某問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它

當當n無限增大時xn無限接近于xna任意要多小有多小 n(1)n11(1)n1 ： 解

xn

xn1要使

11 1 n 只n

xn

1 ,n

只要n

1對任

0,要使xn1

n

對任

0,要使xn

n

只要n1二、數列極限的定義任給0,總存在正整數N使得當nNxna稱數列以a為極限，或數列收斂于 記為：lim a,或 注意：⑴定義中的

a(n).是任給⑵定義只強調N的存在性而定xna是對nN的一切n都成立刻劃了xn與a的無限接近N定義:limxna0,N0,使nN時xna其中:每一個或任給的 :至少有一個或存在

數列極限的定義未給出求極限的方法 例 設 C(C為常數),證明lim C 證0,

對于一切自然數nxn

C

0成立所以

limxnCn說明:常數列的極限等于同一常數例2證明

nnnn

證

1n0,

1

只要1n

或n1所以,取N

則當nN時nnn

n(1)n1就 1

即

例:

cosn1) cos證對

1

2(n1)0

總存在正整數NnNn1

xna即 2(n1)

n因0

1 故2(n

2(n1)<22

n21 2(n1)n

2n

2,n2n因此

0,取N21n

2(n1)0

總存在正整數N

1n

2(n1)

使得當nN時，xna 定0,尋找N,但不必要求最小的N.aaa xN xN 當nN時,所有的點xn都落在(a 所有xn全落點a鄰域只有有限個(至所有xn全落點a鄰域limlimxn的無窮個點，則limuna?1 n為奇數un n為偶數當1010

問limun0在點a(0)的鄰域外，總有的點

四、數列極限的性唯一 定理2每個收斂的數列只有一個極限證limxna又limxn n

由定義0,N1N2使得當nN1時恒

xn

取NmaxN1N則當nN

ab

(xnb)(xnxnb

xn

上式僅當ab時才能成立故收斂數列極限唯一有界定義:對數列xn,若存在正數M, 然數n,恒有xn M成立,則稱數列xn有界,否則,稱 例如xn

數軸上對應于有界數列的點xn都落在閉區[MM]上xn2n.對一切M,對一切M,使xnM,證設lim 由定義 取n則N使得當nN時恒xnaa1xnaxn取xnaxn取xnaaxnaa1Mx1,x2,L,xN,1

,L

xN

a

a則對一切自然數n,皆有

M

推論數列必定發散n例 證明數列 (1)n1是發散的n證設lim

由定義,對于1 則N使得當nN時xn即當nN時, (a1,a

1成立2區間長度為 而xn無休止地反復取1,1兩個數,定理：若limxna且a0(或a0),則N當nN時有xn0(或xna0,由數列極限定義可知，對a2則N0,當nN時,有 aa,從而 aaa 推論：如果數列推論：如果數列xn}從某項開始有xn（或xn且limxna,則a（或a3. 的數列{xnk}稱為數列{xn}的子數列。

x注意：nk

k定理：若{xna(n),則{xn}的任一子列也收斂為Qxna(n對0,N0,當nN時有xnaKN,當kK即{xna(nkk

nKnN

.定理：若xn}a,則xn的任一子列也收斂為Q數列{(1)n},有一子列{(1)2n}另有一子列{(1)2n1}1故數列{(1)n}發散五.數列:研究其變化規律數列極限:極限思想,精確定義,幾何意義收斂數列的性質:有界性、唯一性、保號性作業:1-2;3.(2、3)；4；5；6思考 下列證明lim 證明要使 n1 只要使1lnnln(1n從而1ln(1ln(1

N

ln 當nN時，必有0 n1成 limnn思考題解n 1n

1lnnln(1)（等價~n~證明中所采用的1ln(1ln(1 ln ln實際上就是ln2lnnln(1 即證明中沒有采用“適當放大

ln 的反而縮小為lnnnNln(1)lnln2ln(1成立n但不lnnln(1)的充分條件n1、lim3n13；n2n 2、li.99 9二、設數xn有界，又limyn證明：limxnyn例 證明lim 0,其中

證0,若q 則limqnlim0 n若0q

xn0qn

nlnqlnn