抽象函數與解題策略2023/5/2312023/5/232是奇函數2023/5/233那些沒有給出函數的具體解析式，只給出一些特殊條件或特征的函數稱為抽象函數。抽象函數的定義：2023/5/234；抽象函數往往有它所對應的具體的函數模型。例如，對應的是指數函數對應的是對數函數等等。當然，也有的時候并沒有我們比較熟悉的函數模型，而是新定義的一種函數。2023/5/235抽象函數也可以與我們熟悉的函數，如指數函數、對數函數等一樣，有自己的性質，如奇偶性、周期性、單調性等。有自己的特殊點，有自己的對稱性，能畫出大致圖像。

2023/5/236面對抽象函數數學題，我們的解題思路一般不外乎①合理賦值，化抽象為具體；②作恒等變形，找出該函數規律性、特征性特點；③利用函數的性質；④分類討論，歸納出抽象函數的實質問題；⑤構造與聯想等。2023/5/237策略一：賦予特殊值例題1、設函數（，且任意實數滿足（1）求證：；（2）求證：為偶函數；（3）已知在上為增函數，解不等式），對2023/5/238證明：（1）令令2023/5/239（2）令令，即為偶函數。2023/5/2310（3）又或由（2）知f(x)為偶函數，又在上為增函數2023/5/2311或2023/5/2312例題2、設定義在R上且對任意的有，求證：是周期函數，并找出它的一個周期。策略二：恒等變形2023/5/2313分析：這同樣是沒有給出函數表達式的（T為非零常數）則為周期函數，抽象函數，其一般解法是根據所給關系式進行遞推，若能得出且周期為T。2023/5/2314證明：已知

得2023/5/2315由（3）得由（3）和（4）得上式對任意都成立，因此是周期函數，且周期為6。20絡23撈/5訊/1煉816例題3、f(x)是定義在R上的函數，且若f(1)=2，求f(2005)的值。，（f(x)≠0，1）。20侵23炸/5部/1器817解：已知20評23餐/5恥/1監818解：∴f(x)是以4為周期的周函數，則20投23里/5戶/1候819例題4、設f(x)是定義在實數集R上的函數，；求證：f(x)是奇函數，又是周期函數。且滿足下列關系：。20掩23嗓/5駐/1木820證明盆：已知又（1）20浮23霞/5扣/1音821證明喝：（2）即f(增x)是以40為周濕期的遠周期嘴函數20衣23圾/5疲/1竿822證明殿：由（1）式由（2）式綜上澡所述允，f(涂x)是奇拋函數殖，又捉是周渴期函擠數。即f(x)是奇函數20成23憶/5罵/1稅823例題5、已河知函脊數f(繡x)對于x>葵0有意慨義，且滿說足條譜件f(稀2)累=1趴,f竟(x寶y)屆=f(匪x)愈+f災(y),f(她x)是非龍減函昌數。漫（1）證甜明f(某1)姨=0；（2）若f(嫌x)肺+f市(x－2)游≥2成立揮，求x的取值扒范圍筐。策略錫三：位利用靜函數奏的性堪質20首23什/5餓/1自824解：(1阻)令x=衛2,絕y=建1，則f(臟2×戚1)狼=f揮(2比)+綱f(解1)(2百)由已淚知f(百x)蠻+f晨(x－2)莖=f該(x2－2x去)咸≥2，又2=訴1+爛1=泳f(赤2)亭+皇f(仁2)輪=f綠(4徐)

f(1)=0又f(蟻x)為非疤減的改函數f(x2－2x)≥f(4)20鋒23膠/5箱/1憲825解：x2－2x≥4即x2－2x－4≥0x≥1+或x≤1－已知f(掃x)對x>溉0有意耽義，凝且x－2>饅0

x>220叉23警/5禽/1童826策略者四：非分類誕討論例題6、（新）設f(x)是定義在R上的函數，時，，且對任意的實數求證：對于任意，都有。當x、y，均有20史23曠/5壘/1惑827證明沾：令若，令與已知矛盾20妹23策/5額/1洽828當時，綜上所述，對于任意，都有。20鍛23殘/5傭/1什829例題7、若對任意實數x和常數a都有成立，試判斷f(x)是不是周期函數？為什么？策略傘五：蝦構造落與聯班想20樣23廳/5門/1恭830看作是的一個原型，而的周期是的四倍，故可猜想4a是的一個周期可以把分析：觀察已知的抽象關系式，可以聯想到極其相似它與20圓23遞/5乒/1丟831證明棄：20絡23腔/5拿/1吼832即f(東x)是周利期函臭數，全且4a是它蘆的一院個周掌期。20勺23悲/5屬/1茫833例題8、對每一實數對x、y，函數f(t)滿足。若，試求滿足的整數t的個數。20行23錫/5愚/1對834解：令，得令，得，又令，得20柔23楊/5畢/1昏835令，得（※）即當y為正整數時，由，20臟23截/5葉/1辱836，即對于一切大于1的正數t恒有又由（※）式下證明，當整數時，恒有：20訊23脊/5皮/1做837由（※）式即同理可得20催23亞/5立/1繡838相加，即當整數時，恒有綜上所述，滿足的整數只有20漿23映/5拼/1斃839綜合學例題風解析例題9、設函數定義在R上，當時，，且對任意，有，當時。（1）證明20萍23仰/5捆/1怎840（2）證明：在R上是增函數；若，求滿足的條件。，（3）設20功23言/5帶/1播841解：（1）令得或，當時，有，這與當時，矛盾，。若20小23城/5左/1鄭842（2），則，由已知得，由若時，由20于23危/5額/1挑84320喘23繁/5碼/1鉗844（3）由得由得（2）20消23菠/5鋼/1隨845從（1）、（2）中消去得因為

即20盯23冤/5與/1期846例題10、已知定義在R上的函數（1）值域為，且當時，；，均滿足：試回答下列問題：滿足：（2）對于定義域內任意的實數20碗23測/5臺/1輪847（1）試求的值；（2）判斷并證明函數的單調性；（3）若函數存在反函數，求證：20并23語/5李/1孔848解：（1）在中，令，即20扔23近/5爐/1扇849解：函數的值域為

。也即：20塔23豪/5屑/1敘850解：在中，令，得函數為奇函數（2）由（1）知，20盒23鳳/5傳/1繁851解：（※）式20鹽23蓬/5鐮/1概852解：，且，則且函數在R上單調遞減。20正23華/5鏡/1零853解：（3）由（2）知函數在R上單調遞減，則函數必存在反函數，則也為奇函數，且在上單調遞減，且當時，20享23到/5穴/1奮854解：由（2）中祖（※）式你得20岡23僻/5背/1犯855解：令，則，則上式可改寫為:不難驗證：對于任意的上式都成立。（根據一一對應）20響23乏/5俗/1紋856解：20蒸23雨/5掀/1諒857解：20勺23誘/5申/1媽858例題11、設是定義在區間上的函數，且滿足條件：(i)(ii)對任意的，都有。20緣瑞23沈/5圾/1噴859（1）證明：對任意的，都有（2）證明：對任意的，都有（3）在區間上是否存在滿足題設，且使得；；條件的奇函數20慨23肢/5像/1費860若存蒜在，桑請舉只一例才；若慣不存虜在，執請說里明理炕由。20糟23憂/5狠/1資861已知對任意的，有，（1）證騎明：20彼23臟/5括/1離862（2）證著明：時，對任意的，，命題成立；當時，由可知，不妨設當20閃23晃/5膏/1磚863（2）證悶明：都有綜上所述，對任意的，都有20喘23夏