2021-2022學年江蘇省無錫市太湖高二下學期期中數學試題一、單選題1．函數fx2sinxex，則f(0)的值為（）A．0B．1C．2D．3D【分析】先求出導數，再計算f(0)即可.【詳解】fx2cosxex，則f(0)2cos0e03.故選：D.2．已知隨機變量X滿足E2X12，D2X14，則（）553ExA．EX2，Dx，DX42B．41，DX3D．EX2，DX1C．EX2C【分析】根據期望和方差公式，即可判斷選項.【詳解】E2X12EX12，得EX3，2D2X14DX4，DX1.故選：C3．2021年初，某市因新冠疫情面臨醫務人員不足和醫療物資緊缺等諸多困難，全國各地志愿者紛紛馳援.現有名醫生志愿者需要分配到兩家醫院（每人去一4家醫院，每家醫院至少去1人），則分配方法共有（）A．18種B．14種C．20種D．15種B【分析】設兩家醫院分別為甲醫院與乙醫院，對甲醫院分配的人數進行討論，結合分組計數原理可得結果.【詳解】設兩家醫院分別為甲醫院與乙醫院，則甲醫院分配的人數可以為1或2或3，因此，不同的分配方法種數為C1CC46414種.24344故選：B.4．中秋節吃月餅是我國的傳統習俗，若一盤中共有兩種月餅，其中4塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現從盤中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）31B．3011A．C．D．462DP(B|A)P(AB)【分析】利用條件概率計算公式即可求解.P(A)【詳解】設“取到的都是同種月餅”為事件，“都是五仁月餅”為事件，ABC631204201則PAB41CPA，C4334C5，C312030310101所以PBA16．PABPA3015故選：D.5．11131(x1，且0)的展開式中的系數為（）210xxxxxx2A．150B．165C．120D．180B【分析】首先寫出含的系數，再利用組合數的性質，即可求解.x2CC2C2...C2【詳解】展開式中含的系數是CCC...C2x222232433103410C316511.故選：B6．若點P是曲線yxlnx上任一點，則點P到直線60的最小距離是（）xy2A．2B．22C．32D．23C【分析】利用導數求出與直線60平行的直線與曲線lnx的切點，再由點xyyx2到直線的距離公式求解．Px,y，yx2【詳解】解：設與直線60平行的直線與曲線lnx切于xy0012x1，，則xx0x0,2y|由lnx定義域為，得yxyx2x002x11由，解得x1（舍去負值）．00x0P1,1|116|60的最小距離是32．，則點到直線xyP2故選：C．7．有甲2個白球，1個紅球，2個紅球，1個白球.、乙兩個袋子，甲袋中有乙袋中有這6個球手感上不可區別.今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，此球是紅球的概率為（）7A．125B．1221C．D．23A【分析】設A＝“從甲袋放入乙袋的是白球”，A＝“從甲袋放入乙袋的是紅球”，B＝“從12P(B)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)”，利用乙袋中任取一球是紅球求解即可.1122【詳解】設A＝“從甲袋放入乙袋的是白球”，A＝“從甲袋放入乙袋的是紅球”，B＝“從12乙袋中任取一球是紅球”；12317P(B)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+=.2343121122故選：Afxgx，則的取值00fxx2lnx1gx2kx8．已知函數，，若存在使得kx0范圍是（）1,212e2e2B．,,C．,D．A．B2kxlnx1fxgx【分析】由可得，其中x0，利用導數求出函數xhxxlnx1的值域，可得出關于實數k的不等式，即可求得實數k的取值范圍.x2kxlnx1fxgx【詳解】由可得2kxx2lnx1，可得x0，，其中x1hxxlnx，其中x0，則x1hxlnx1x21，x2構造函數lnxx2hx0當0x1時，，，此時，lnx0x102x1時，lnx0，，此時hx0，當x1021,hxh11，所以，函數的減區間為，增區間為，則hx0,11.所以，2k1，即k2故選：B.二、多選題9．已知函數的導函數f(x)的圖象如圖，則下列敘述正確的是（）f(x),4A．函數f(x)在上單調遞減B．函數f(x)在處取得極大值x2f(x)在x4處取得極小值D．函數f(x)只有一個極值點【分析】由圖象得出函數()的單調性以及極值fx.【詳解】由導函數f，xxx,22,()在上單調遞增，在上單調遞減，即函數()在fxfx即函數出取得極x2故選：BD學測試成績(百分制)分別服從正態分布N(，)，N(，211則下列說法中正確的是（）10．甲2PX0.6826.布(，2)，則附:若隨機變量X服從正態分NA．甲同學的平均成績優于乙同學的平均成績甲B．甲同學的成績比乙同學成績更集中于平均值附近C．若5，則甲同學成績高于80分的概率約為0.15871D．若5，則乙同學成績低于80分的概率約為0.31742BC【分析】根據正態曲線的對稱軸，以及正態曲線的性質，結合PX0.6826，即可A.甲同學的平均成績是75，乙同學的B.甲同學的圖象“瘦高”，乙同學的圖象“矮胖”，所以甲B正確；判斷選項.平均成績是85，7585，故A【詳解】錯誤；同學的成績比乙同學成績更集中于平均值附近，故10.6826C.PX80PX0.1587，故C正確；0.1587，故D錯誤21110.68262D.PX80PX.22故選：BC15的展開式中，下列說法正確的是（）11．在22xxA．各項系數和為1B．第2項的系數為80C．二項式系數和為32D．沒有常數項ACD【分析】由2215的展開項的x通項逐一判斷即可.x【詳解】2x1通項為1x21rCrx103r5r2的展開項的TC2x5rrr525rx151令x1，則各項系數和為211T21C1x780x，故正確；A，故錯誤；B54725二項式系數和為232，故C正確；因為51030，所以沒有常數項，故D錯誤；r故選：ACD12．對于函數x，下列說法正確的是（）2fxexf(x)在0處取得最小值A．xB．9ee321D．對任0k，函數gxfxkxC．f(x)有兩個不同的零點e有三個零點ABD【分析】對于A：求導求單調性即可判斷；對于B：根據函數2,fx()在單調遞減，所以f3f，即可判斷；對于fxC：令x20即可判斷；對于D：易知不論kexxx0為何值，x0一個零點，只需判斷當時，k有兩個零點即可，求導求單必為ex調性，再數形結合即可判斷.【詳解】根據題意，fxxx2xxx2xex2x，令fx0，解得02；2xee2xeex2x0,2令fx0，解得x0x和2；所以函數在單調遞增，f(x)f(0)0，極大值為f(2)4,02,在和單調遞減；所以函數()的極小值為；fxe2fxf0，當x0時，fx0恒成立，時，x0對于A：當39222，即，即3eeB所以9ee32，故正確；x0x0對于e0恒成立，所以令fx，即，解得，20xC：因為x2ex()只有C不正確；故函數一個零點，故fxx2對于gxfxkx0，即在,有三個零點，D：令kxexxx0k有兩個零點其中一個零點，所以在時，只需e必為kx0易知不論為何值，x即可，，即函數hx與1x，exhx令x0yk有兩個不同交點即hx可，exx1,1，所以hx0，解得x1hx0，解得x0xhx在單調令，令或0遞增，0,1單調遞減，所以函數的極hx1,0在和h1e，大值也是最大值為：當0k1畫出圖像如下圖所示：由圖可知，時，函數hx與ykfxkx有三個零點，故D正確有兩個不同交點，e任0k1，函數gx綜上可知，對.e故選：ABD.函數零點的求解與判斷方法：（1）直接求零點：令()0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．fxa,b上是連續不斷的曲線，且（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間f(a)f(b)0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．（3）利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．三、填空題13．已知隨機變量X～N(,2)，若PX1P(X5)，則=___________.2【分析】根據正態分布的性質可求的值.15【詳解】因為PX1P(X5)，故2，2故2.14．現有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若從這10件商品中任取2件，則至少有一件瑕疵品的概率為_________.815【分析】從這10件商品中任取2件，分別求出概率可得答案.【詳解】從這10件商品中任取2件，則至少有一件瑕疵品的概率為則至少有一件瑕疵品包括一件瑕疵品一件合格品、兩件瑕疵品兩種情況，C1C318C2321015，7CC210故答案為.15815．2272除以9的余數為_________.6【分析】首先原變式形為9192，再利用二項展開式，計算余數.【詳解】2279228291999C198C297...C8912999998C197C296...C839992除以9的余數為936.所以227故6四、雙空題xf(x)的最大值為_________；若關于x的方程210恰有fx22tfxt3個不同的實數解，則實數的取值范圍為t____________.e111ee1，2e2【分析】即可求出最大值；①直接求導確定單調性，②先因式分解得到f(x)12t或f(x)1，由函數f(x)圖像得f(x)12t有兩個不同的解，解不等式即可求出的取值范圍.t1xlnx1lnx0,，當0xe時，fx()0,f(x)【詳解】①定義域為，fxxx2x2單調遞增，當xe時，x()0,f(x)單調遞減，f1故fee是函數的極大值也是最大值；x1時，()0，當x1時，()0，當時，()0，x1②當0fxfxfxtfxfx22t210即fx2t1fx10()12fx，解得t或由2f(x)1，顯然f(x)1只有一個解，有兩個不同的解，所以012t1e1，解得t12，故t的取f(x)12t所以方程e2ee11值范圍為.，2e2e2e2e11.故1；，五、解答題小相同的8只球，其中2只不同的紅球，白球，17．現有大3只不同的3只不同的黑球.(1)將這8只球排成一列且相同多少種排列的方法？(2)將這8只球排成一列，多少種排列的方法？(3)現取4只球，球都必須取到，共有多少種方法？(最后答案用數字作答)顏色的球必須排在一起，有黑球不相鄰且不排兩端，有各種顏色的(1)432(2)2880(3)45【分析】（1）利用捆綁法可求不同排列的總數（2）利用插空法可求不同排列的總數（3）根據有兩球同色分類后可求不同排列的總數...【詳解】(1)把相同顏色的球看成一個整體，故3種不同的顏色的排法有A，332只不同的紅球的排列有A，3只不同的白球的排列有A，3只不同的黑球的排列有A，223333AAAA432.故不同的排列的總數為22333333(2)先把除黑球外的3個黑球插入上述AA2880.5只球全排列，共有A種，55A再把5個球中間的4個空擋，有種，34故共有5534(3)取4只球，若各種顏色的球都必須取到，則必有一種顏色取兩個球，其余顏色各取一個，CCCC1C2C1245.故不同的取法總數為211233233展開式前三項的展開式中倒數第18．給出下列條件:①若二項式系數的和等于16；②若比為4:1.從中三項與倒數第二項的系數任選一個，補充在下面問題中，并加以解答(注:若選擇多個條件，按第一個解答計分)，___________.nxxnN已知*2(1)求展開式中二項式系數最大的項；(2)求展開式中所有的有理項.5x4和T457x2(1)T32455xTx1TxT165(2)，，543231）無論選①還是選②，根據n題設條件可求5，從而可求【分析】（二項式系數最大的項.（2）利用二項展開式的通項公式可求展開式中所有的有理項.【詳解】通項公式為：(1)二項展開式的r1rxr.nTr1CrxnrCrx,r0,1,2,,n222nn題由得C0CC16，若選①，則12nnnnn1∴1n16，即300，nn22解得n5或n6(舍去)，∴n5.12n2nn1Cn22nnn14，∴n5，若選②，則由題得1n1Cn122n1252展開式共有6項，其中二項式系數最大的項為TC2x4，x254313577.C35，T4x2x242(2)由（1）可得二項展開式的通項公式為：r1rx5Tr1Crx5rCrx22r,r0,1,2,,5.255rZ即r0,2,4當5時得展開式中的有理項，2所以展開式中所有的有理項為:1225254，x2145425x3.x2TxC25TC545，T3x5216119．某班從6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任選3人參加學校的義務勞動．（1）設所選3人中女生人數為，求的分布列；（2）求男生甲或女生乙被選中的概率；（3）設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求PA和PB|A．（1）分布列見解析；（2）54；（3）1；52．2【分析】（1）的所有可能取值為0，1，2，分別求得各個取值對應的概率，列出分布列，即可得答案.（2）先求得甲、乙都不被選中的概率，進而可得答案.（3）男生甲被選中，再從其他5人中選取2人，即可求得P(A)，男生甲和女生乙同時被選中，再從其他4人中選取1人，即可求得P(AB)，代入條件概率公式，即可得答案.【詳解】【解】（1）的所有可能取值為0，1，2，依題意得P(0)415，P(1)2，P(2)C2215．3C3C2C11C4C24CC363566的分布列為012153515P（2）設“甲、乙都不被選中”為事件，CC41205；P(C)43則C6314P(C)1P(C)155；所求概率為C101CC1P(A)521（3）P(AB)202；5．436C36PBAP(AB)2P(A)5．f(x)elnxa，其中aR.1x20．已知函數xyex（1）若曲線在處的切線與直線平行，求yf(x)x1a的值；（2）若函數a的取值范圍.f(x)在定義域內單調遞減，求11（1）2（2）(,ln2]22【分析】（1）對函數求導，令f(1)e，即可求得的值；a（2）由題可知，f(x)0在上恒成立，參變分離，利用導數求最值即可求解(0,).lnxa1f(x)ef(1)e(1a)ea2，解得．【詳解】（1）由題可知，則xx21f(x)elnxa在(0,)上是減函數，（2）∵xx1a1lnx，x2∴f(x)exxlnxa0x(0,)恒成立，所以對2g(x)1lnx，令x2211(12)0得，g(x)則由x2xxx3x2g(x)0g(x)0當x(0,2]時，，當x[2,)時，，所以在x(0,2]上單調遞減，在x[2,)上單調遞g(x)增，11g(x)g(2)ln2，所以22min11故只需ag(x)ln222min11故a的取值范圍是(,ln2]．22關鍵點點睛：函數在定義域上單調遞減轉化為函數導數在(0,)上小于等于零恒成立，采用了參變分離法，再構造函數，利用導數求出新函數的最值，其中轉化的思想，參變量分離的方法，是解題的關鍵，屬于中檔題．21．小明和小亮是兩名籃球運動愛好者，根據統計數據，他們進行投籃練習時，小明投籃成功的概率為2，小亮投籃成功的概率為1，每次投籃成功與否相互獨立.32(1)小明單獨進行投籃練習，一旦投籃成功便停止，求停止時，投籃次數不超過3次的概率；(2)小明和小亮兩人同時進行投籃練習，規定每人都投籃2次，記他們總共投籃成功的次數之和為X，求X的分布列及數學期望.26(1)27(2)分布列見解析，EX73【分析】（1）根據題意由互斥事件的概率公式求解即可，（2）由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，3，4，然后求對應的概率，從而可求得的分布列及數學期望X【詳解】(1)記“投籃次數不超過3次”為事件A，由題知21212262PA3333327∴小明停止時，投籃次數不超過3次的概率為26.27(2)X的所有可能取值為0，1，2，3，411122PX032362111116122PX1CC121233232236621112111132222PX2CC1212323233223621121112122PX3CC1212322332363214122PX432369X的分布列如下表所示X0123411613361319P36EX01112314131736636393fxlnxax.22．已知函數(1)若fx在x1處有極值，求實數a的值；fx在區間時，求函數1,2上的最大值；(2)當a0(3)當a1時，證明fxexx2.(1)1a,a1(2)fx11lna,1a2max2aln2,1a02(3)證明見解析【分析】（1）由已知可得出f10a，求出的值，然后利用極值點的定義檢驗即可得解；ax1，對實數的a取值進行分類討論，利用導數分析函數在fx1,2（2）求得fxxfx上的單調性，可求得函數在1,2上的最大值；gxelnx2的最所證不等式為exlnx20，利用導數求出函數x（3）分析可知小值大于零，即可證得結論成立.10,fxa,，x【詳解】(1)解：由題知的定義域為fxf11a0，得a1，則fxx1若在處有極值，11此時fxx1xx，列表如下：檢驗，0,1x11,fx0fx增極大值減fx在1處取得極大值，合乎題意，所以，a1.此時函數x1xax1x1a(2)解：當時，由0，可得.a0fxxa1fx不恒為零，1,2對任意，且fx0①當1時，1時，的