考試要3 【考研發條】穩定一手判定設函數yf(x)在[a,b]上連續a,b)內可導如果在(ab)f(x)>0,那么函數yf(x)在[ab]上單調增加如果在(ab)f(x)<0,那么函yf(x)在[ab]上單調減少注意:1°如果把這個判定法中的閉區間換成其他各種區間(包括無窮區間),那么結論也成立2°f(x)>0(f(x)<0)f(x)0(f(x)0),且在區間內使f(x)=0的點只有有限個,那么函數y=f(x)在[a,b] 仍舊是單調增加(或單調減少)的. 【考研發條】穩定一手單調區間求方法:用方程fx)0的根及fx)不存在的點來劃分函數fx)的定義區間然后判斷區間內導數的符號. 【考研發條】穩定一手補例1確定函數fx)

的單調區間 x233解D:(,). f x233

(x當x0時,導數不存在當x3x2x3x2y

f(x)f(x)

在(,0)上單調減少在0單調區(,0)，(0,注:區間內個別點導數為零,不影響區間的單調性如 yx3 yx0 但在(,)上單調增加 【考研發條】穩定一手函數的極值定義設函o)x0的某鄰域Ux0內有定如果對于去心鄰域Ux0內的任一x,f(x)≤f(x0)(f(xf(x0)),那么就f(x0)f(x)的一個極大值(或極小值).函數的極大值與極小值統稱為函數的極值,f(x)x0處可導,x0取得極值,fx00注意:一個函數的可能極值點就是其導數為零 【考研發條】穩定一手 設函數f(x)在x0處連續,且在x0的某去心鄰域U(x0,)內可導.x(x0,x0)時f(x)>0,x(x0x0+)時x(x0x0時f(x)<0,x(x0x0+)時f(x)>0,f(x)x0處取得極小值o若xU(x0,)時 f(x)的符號保持不變,f(x)x0處沒有極值 【考研發條】穩定一手(取得極值的第二充分條件)f(x)x0處具有f(x00,f(x00,那么f(x0)>0,f(x)x0處取得極小值若f(x0)=0, 不能判定函數f(x)在x0處是否 【考研發條】穩定一手判別

第二充分條件

(注意使用條件求極值的步求導數fx);求駐點和不可導點檢查fx)在臨界點左右的正負號或計算fx)(存在的話在駐點處的函數判斷極值點求極值 【考研發條】穩定一手補例解

f(x)3x26x243(x4)(x2)令f(x) x2列表如(,4)(4,22(2,)f(x)00f(x)極大值極小值故極大值f(4)60, 【考研發條】穩定一手設f(x)在閉區間 法是:先求函數在(a,b)內的駐點和導數不存在的點,然后設f(x)在開區間(a,b)上連續,則其最大最小值的求法:如果f(x)在開區間(a,b)上有唯一的駐點且取極大(小)值,則此極大(小)值就是函數的最大(最小)值.實際應用問題一般由問題的性質可作出判定 【考研發條】穩定一手補例3求函數y2x33x212x14的在上的最大值與最小值解fx)6x2)(x1)解方程fx)0,得x12,x2

1.計算f3)23f(1)

f(2)34;f(4)14比較得

最大值f(4)最小值f(1 【考研發條】穩定一手 如果對I上任意兩點x1,(xx)f

x2)

f(x1)f(x2

,f(x) 如果恒有fx1x2fx1fx2那么稱 注意:(1)凹曲線弧上過任意一點x0(a,b)的切線 線的下方,即f(x)f(x0)f(x0)(xx0);(2)凸曲線弧上過任意一點x0(a,b)的切線 上方,即f(x)f(x)f(x0)(xx0). 【考研發條】穩定一手注意:1°如果把這個判定法中的閉區間換成其他各種區間(包括無窮區間),那么結論也成立.2°若將f(x)>0或f(x)<0)改為f(x)0或f(x0)且在區間內使f(x)=0的點只有有限個,那么曲線y=f(x)在[a,b]上仍舊是凹(凸)的. 【考研發條】穩定一手曲線的定義連續曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點y=f(x)I上連續,x0I的內點,在經過點x0f(x0))時,曲線的凹凸性發生了改變,x0f(x0))為此曲線的拐點(取得拐點的必要條件)f(x)x0處二階可導,且(x0,f(x0))為曲y=f(x)的拐點,f(x0)=0.f(x0)=0,f(x0)不存在 【考研發條】穩定一手拐(第一充分條件 的左、右兩側鄰近的符號相反,yfx)的拐點(x0,f(x0))不是此曲線的拐點.(第二充分條件)yf(x)f(x0)=0f(x0則x0f(x0))yf(x)的拐點 【考研發條】穩定一手補例4y3x44x31的拐點及凹、凸區間解

(,),y12x312x2令y 0,得

y36x(x2).0, 2. 凹)11 凹)11 拐點凸(0,凹f(x00f(x(2,3233(0,20(,0x 【考研發條】穩定一手若limfx)

limfx),xxx0limfx)a0而且limfxax

xy=ax+byf(x)的斜漸近線2.關信號沒有斜漸近線補例5yx2)535x2的拐點及凹凸性解

(, 10

1(x2)1y(x2)23 x,

y (x2)1令y

x1

y不存在的點x2(,22(2,3(3,f(x不存0f(x20(2, 拐(3,4) 【考研發條】穩定一手確定yfx的定義域對函數進行奇偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等性態的討論第二求fx)0和fx)0在函數定義域內的全部實根用這些根和函數的間斷點或導數不第二第三確定這些部分區間內fx和f第三號此確定函數這調性、第四確定函數圖形的漸近線以及其他變化趨第四第五描繪fx)0和fx)0第五上的點,信,穩.

xx(t),yy(t), [x(t)]2[y(t)]2其弧微分ds 2()[()]2d 【考研發條】穩定一手定義設M和N是曲線上不同的兩點 當點M沿曲線到達N時,M點處的切線所轉過的角為 稱極K曲率計算

若曲線方程為 則曲|yK (1y2)注：曲率半R1(K0).曲率中心、 公眾號【考研發條】穩定一手x2y22 f(x)<0,f(1)在[1,2]上,fx)f(1)10f(2)f(1)=f(1(1,而f 【考研發條】穩定一手8設xx(t),yy(t)

【考研發條】穩定一手P間的距離為l.P橫坐標時間的變化率為常v0，則當點P運動到(11)l對時間的變化率是x2x2x6【詳 設動點P(x,x2x2x6_ v(x,y)(1,1)

2x6x5

x2 x2x6

2v0 【考研發條】穩定一手1、設函f(x

xx x 【考研發條】穩定一手2、yx1)2x3)2 (C) 答案 【考研發條】穩定一手3(2004-23)f(x|x(1x|,x=0f(x)的極值點,但(0,0)不是yf(x)的拐點x=0f(x)的極值點,但(0,0)yf(x)的拐點x=0f(x)的極值點,且(0,0)yf(x)的拐點x(1x), x【解】fx)x(1x),x(1x),

0x1x 【考研發條】穩定一手4、y

x2xx2

(C) 答案 【考研發條】穩定一手導數的應用練習1、設函f(x)在()內連續,其導函數的圖形如圖所示f(x)一個極小值點和兩個極大值點兩個極小值點和一個極大值點兩個極小值點和兩個極大值點三個極小值點和一個極大值點 y 答案 【考研發條】穩定一手2(1990-1)f(x)在(f(0

f(

2x=0fx0