北京沙嶺中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）（2013?長寧區一模）函數y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的圖象可能是下列圖象中的（）A．B．C．D．參考答案：考點：函數的圖象．專題：數形結合．分析：根據三角函數圖象及其性質，利用排除法即可．解答：∵是偶函數，排除A，當x=2時，，排除C，當時，，排除B、C，故選D．點評：本題考查了三角函數的圖象問題，注意利用函數圖象的寄偶性及特殊點來判斷．2.已知，若是的充分不必要條件，則正實數的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：D3.若x，y滿足約束條件，則z=3x﹣y的最小值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2參考答案：B【考點】簡單線性規劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化z=3x﹣y為y=3x﹣z，由圖可知，當直線y=3x﹣z過A（0，4）時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值．∴zmax=3×0﹣4=﹣4．故選：B．【點評】本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．4.已知f(x)是定義在R上的奇函數，當時，（m為常數），則的值為（

）A．4

B．－4

C．6

D．－6參考答案：B5.已知集合M=|x|2x﹣3＜1|，集合N=|x|﹣1＜x＜3|，則M∩N=(

) A．M B．N C．|x|﹣1＜x＜2| D．|x|x＜3|參考答案：C考點：交集及其運算．專題：集合．分析：求出M中不等式的解集確定出M，找出M與N的交集即可．解答： 解：由M中不等式解得：x＜2，即M={x|x＜2}，∵N={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}，故選：C．點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．6.在等比數列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于()．A．4

B．8

C．16

D．32參考答案：C7.已知某幾何體的三視圖如圖（正視圖的弧線是半圓），根據圖中標出數據，這個幾何體的體積是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A

8.已知函數與圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C9.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝-2x上，則sin2θ＝()A．－

B．

C．－或

D．參考答案：A10.等比數列中，，則數列的前8項和等于

（

）A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示：正方體中，異面直線與所成角的大小等于．參考答案：12.拋物線的焦點為F，其準線與雙曲線相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝

.參考答案：試題分析:拋物線的準線方程為,設兩點的縱坐標為,由雙曲線方程可知,焦點到準線的距離為.由等邊三角形的特征可知,即,可得.故答案應填.考點：1.拋物線的標準方程與幾何性質；2.雙曲線的標準方程與幾何性質.【思路點晴】本題主要考查拋物線的標準方程與幾何性質,雙曲性的標準方程與幾何性質.本題的關鍵是找出關于的方程.將拋物線的準線與雙曲線結合,又轉化為直線與雙曲線的位置關系的問題.(對于直線與雙曲線(圓錐曲線)的位置關系.常用到設而不求的數學思想方法,即假設直線與雙曲線(圓錐曲線)的交點坐標,利用韋達定理,弦長公式來構造等式).再運用數形結合,利用等邊三角形的牲征得出關于的方程.13.已知為虛數單位），則＝

．參考答案：14.已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1=﹣2016，，則S2017=．參考答案：0【考點】等差數列的前n項和．【分析】推導出{}是首項為﹣2016，公差為1的等差數列，由此能求出結果．【解答】解：∵設等差數列前n項和為Sn=An2+Bn，則=An+B，∴{}成等差數列．∵a1=﹣2016，，∴{}是首項為﹣2016，公差為1的等差數列，∴=﹣2016+2016×1=0，∴S2017=0．故答案為：0．15.已知實數x，y滿足，則x2+y2的最大值為．參考答案：13【考點】簡單線性規劃的應用；簡單線性規劃．【專題】計算題．【分析】先根據條件畫出可行域，z=x2+y2，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域內的點到原點距離的最值，從而得到z最大值即可．【解答】解：先根據約束條件畫出可行域，而z=x2+y2，表示可行域內點到原點距離OP的平方，點P在黃色區域里運動時，點P跑到點C時OP最大當在點C（2，3）時，z最大，最大值為22+32=13，故答案為：13【點評】本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．解決時，首先要解決的問題是明白題目中目標函數的意義．16.已知tanα=2，則=

．參考答案：【考點】同角三角函數基本關系的運用．【分析】利用同角三角函數的基本關系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，則==，故答案為：．17.已知首項與公比相等的等比數列{an}中，若m，n∈N*，滿足，則的最小值為______．參考答案：1【分析】將寫成等比數列基本量和的形式，由可得；從而利用，根據基本不等式求得結果.【詳解】設等比數列公比為，則首項由得：則：

則（當且僅當，即時取等號）本題正確結果：1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)設為數列的前項和，且有(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)若數列是單調遞增數列，求的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)當時，由已知

…①于是

…②由②－①得

……③于是

……④由④－③得

……⑤上式表明：數列和分別是以，為首項，6為公差的等差數列.

4分又由①有，所以,由③有，，所以，．所以，.

8分(Ⅱ)數列是單調遞增數列且對任意的成立．且．所以的取值范圍是

13分19.（13分）已知a∈R，函數f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e處取得極值，求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）求函數f（x）在區間上的最大值g（a）．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；函數在某點取得極值的條件．【專題】綜合題．【分析】（I）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．（II）先研究f（x）在區間上的單調性，再利用導數求解f（x）在區間上的最大值問題即可，故只要先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，由題意知x=﹣e時，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函數，在（﹣e，0）上是減函數，（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈，∴﹣x∈，∴ln（﹣x）∈，①若a≥1，則f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此時f（x）在上是增函數，fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，則f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此時f（x）在上是減函數，fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，則令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是減函數，∴當x＜﹣e﹣a時f'（x）＞0，當x＞﹣e﹣a時f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右減，∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）綜上：（14分）【點評】本小題主要考查函數的導數，單調性，利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力，中檔題．20.已知函數．（I）判斷函數f（x）的單調性；（Ⅱ）若y=xf（x）+的圖象總在直線y=a的上方，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）若函數f（x）與的圖象有公共點，且在公共點處的切線相同，求實數m的值．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；綜合題．【分析】（1）先對函數進行求導運算，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減，可求得單調區間．（2）將將函數f（x）的解析式代入，可將問題轉化為不等式對于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+后進行求導，根據導函數的正負情況判斷函數的單調性進而可得到函數g（x）的最小值，從而得到答案．（3）將函數f（x）與的圖象有公共點轉化為有解，再由y=lnx與在公共點（x0，y0）處的切線相同可得到同時成立，進而可求出x0的值，從而得到m的值．【解答】解：（Ⅰ）可得．當0＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；當e＜x時，f′（x）＜0，f（x）為減函數．（Ⅱ）依題意，轉化為不等式對于x＞0恒成立令g（x）=lnx+，則g'（x）=當x＞1時，因為g'（x）=＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函數，當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的減函數，所以g（x）的最小值是g（1）=1，從而a的取值范圍是（﹣∞，1）．（Ⅲ）轉化為，y=lnx與在公共點（x0，y0）處的切線相同由題意知∴解得：x0=1，或x0=﹣3（舍去），代入第一式，即有．【點評】本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．21.（12分）如圖所示，在△ABC，已知,，AC邊上的中線,求：（1）BC的長度；

（2）的值。參考答案：22.已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．（1）求此幾何體的體積V的大小;（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；（3）試探究在DE上是否存在點Q，使得AQBQ并說明理由（一、二、五中必做，其它學校選做）.

參考答案：解析：（1）由該幾何體的三視圖知面,且EC=BC=AC=4，BD=1，∴∴．即該幾何體的體積V為16．

-----------3分（2）解法1:過點B作BF//ED交EC于F，連結AF，則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．-------5分在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．∴．即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．------------------------------------------7分解法2：以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴，∴

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．（3）解法1:在DE上存在點Q，使得AQBQ.--------------------------------------------------8分取BC中點O，過點O作OQ⊥DE于點Q，則點Q滿足題設.連結EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵

∴∽

∴∵

∴

∴．-----------------10分∵,∴