北京豐臺實驗學校2022-2023學年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在棱長為的正方體中，，分別為線段，（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是

A．

B．

C．

D．參考答案：A過做底面于O,連結,

則，即為三棱錐的高，設，則由題意知,所以有，即。三角形，所以四面體的體積為，當且僅當，即時，取等號，所以四面體的體積的最大值為，選A.2.曲線與直線圍成一個三角形區域，表示該區域的不等式組是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.已知點是直線上的動點,點為圓上的動點,則的最小值是A.

B.

C.

D.參考答案：C4.滿足下列條件的函數中，為偶函數的是（）A．

B．

C.

D．參考答案：D5.已知a，b∈R且a≠b，若aea=beb（e為自然對數的底數），則下列正確的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b參考答案：C【考點】對數的運算性質．【分析】構造函數f（x）=xex，利用導數研究函數的單調性，即可得到結論．【解答】設f（x）=xex，則f'（x）=（x+1）ex，由f′（x）＞0得x＞﹣1．由f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）為減函數，（﹣1，+∞）增函數，即當x=﹣1時，函數取得極小值f（﹣1）=﹣＜0，∵f（0）=0，且當x＜0時，f（x）＜0．∴由f（a）=f（b）知a＜0，b＜0．由（﹣a）ea=（﹣b）eb得ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a．故選：C．6.已知正方體，點，，分別是線段，和上的動點，觀察直線與，與．給出下列結論：①對于任意給定的點，存在點，使得；②對于任意給定的點，存在點，使得；③對于任意給定的點，存在點，使得；④對于任意給定的點，存在點，使得．其中正確結論的序號是（

）A．①③

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：C7.設函數的定義域為,若函數滿足條件：存在,使在上的值域是，則稱為“倍縮函數”，若函數為“倍縮函數”，則實數t的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A8.設a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C所對邊的邊長，則直線sinA?x﹣ay﹣c=0與bx+sinB?y+sinC=0的位置關系是（）A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直參考答案：C【考點】HP：正弦定理；IJ：直線的一般式方程與直線的垂直關系．【分析】求出兩條直線的斜率，然后判斷兩條直線的位置關系．【解答】解：a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C所對邊的邊長，則直線sinA?x﹣ay﹣c=0的斜率為：，bx+sinB?y+sinC=0的斜率為：，∵==﹣1，∴兩條直線垂直．故選：C．9.為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校1000名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖，由于不慎將部分數據丟失，但知道前4組的頻數成等比數列，后6組的頻數成等差數列，設最大頻率為，視力在4.6到5.0之間的學生數b，則的值分別為A．2.7，780

B．2.7，830

C．0.27，780

D．0.27，830參考答案：答案：C10.已知數列{}的前n項和其中a、b是非零常數，則存在數列{}、{}使得

（

）

A．為等差數列，{}為等比數列

B．和{}都為等差數列

C．為等差數列，{}都為等比數列

D．和{}都為等比數列參考答案：答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若正三棱錐的正視圖與俯視圖如右圖所示，則它的側視圖的面積為

參考答案：略12.若△ABC的面積為，BC=2，C=，則邊AB的長度等于_____________.參考答案：2

本題主要考查了三角形的解法以及正弦定理，屬容易題因為，又a=2,有一個角是的等腰三角形是正三角形，所以AB=213.若變量，滿足，則的最大值為

．參考答案：55

14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為

．參考答案：315.定義在，其中M是內一點，、、分別是、、的面積，已知中，，則的最小值是A.8

B.9

C.16

D.18參考答案：D由定義可知,由，得，即，所以，所以，即。所以，當且僅當，即取等號，解得，所以的最小值為18，選D.16.已知在上是單調遞減的，則函數在上的最大值是

.參考答案：117.若時，均有，則=

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，，，，.(1)求二面角的余弦值；(2)若點E在棱PA上，且平面PCD，求線段BE的長.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）推導出，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（2）由點在上，得，，求出，再由平面，可得，求出，得到的坐標，則答案可求．【詳解】（1）∵在四棱錐中，由，，得，則，又，，

∴以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，由圖可知，平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則，取，得，設二面角的平面角為，則，∴二面角的余弦值為；（2）∵點在棱上，∴，，∵，∴，，

又∵平面，為平面的法向量，∴，即，解得，∴，則．【點睛】本題主要考查利用空間向量求解二面角的大小，訓練了利用空間向量證明線面平行，是中檔題．19.已知函數．（Ⅰ）若函數f（x）在x=1，x=處取得極值，求a，b的值；（Ⅱ）若f′（1）=2，函數f（x）在（0，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍．參考答案：【考點】函數在某點取得極值的條件；函數的單調性與導數的關系．【專題】計算題；綜合題．【分析】（Ⅰ）依題意可得，可解得a，b的值；（Ⅱ）由f′（1）=2，可求得b=2a﹣1，于是f′（x）=，要使f（x）在（0，+∞）上是單調函數，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立即可，對a分a=0，a＜0及a＞0三類討論即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2a﹣+，…由，…可得．…（Ⅱ）函數f（x）的定義域是（0，+∞），…因為f′（1）=2，所以b=2a﹣1．…所以f′（x）==，…要使f（x）在（0，+∞）上是單調函數，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．…當a=0時，f′（x）=＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是單調函數；

…當a＜0時，令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2==1﹣＞1，此時f（x）在（0，+∞）上不是單調函數；

…當a＞0時，要使f（x）在（0，+∞）上是單調函數，只要1﹣2a≥0，即0＜a≤．…綜上所述，a的取值范圍是a∈[0，]．…【點評】本題考查函數在某點取得極值的條件，考查函數的單調性與導數的關系，考查函數恒成立問題，突出考查分類討論思想與化歸思想的綜合運用，屬于難題．20.已知橢圓的焦點坐標為F1（﹣1，0），F2（1，0），過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點，且|PQ|=3．（1）求橢圓的方程；（2）過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，則△F1MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（1）設橢圓方程，由焦點坐標可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求橢圓方程；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，設△F1MN的內切圓的徑R，則△F1MN的周長=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．設直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯立，從而可表示△F1MN的面積，利用換元法，借助于導數，即可求得結論．【解答】解：（1）設橢圓方程為=1（a＞b＞0），由焦點坐標可得c=1…由|PQ|=3，可得=3，…又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…故橢圓方程為=1…（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，設△F1MN的內切圓的徑R，則△F1MN的周長=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…得，，則=，…令t=，則t≥1，則，…令f（t）=3t+，則f′（t）=3﹣，當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即當t=1，m=0時，S△F1MN≤3，S△F1MN=4R，∴Rmax=，這時所求內切圓面積的最大值為π．故直線l：x=1，△F1MN內切圓面積的最大值為π…21.極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線C1的極坐標方程為ρ=4sinθ，曲線C2的參數方程為（t為參數，0≤α＜π），射線與曲線C1交于（不包括極點O）三點A，B，C．（1）求證：；（2）當時，B，C兩點在曲線C2上，求m與α的值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【分析】（1）依題意|OA|=4sinφ，，利用三角恒等變換化簡|OB|+|OC|為，命題得證．（2）當時，B，C兩點的極坐標分別為，再把它們化為直角坐標，根據C2是經過點（m，0），傾斜角為α的直線，又經過點B，C的直線方程為，由此可得m及直線的斜率，從而求得α的值．【解答】（1）證明：依題意|OA|=4sinφ，，則=；（2）解：當時，B，C兩點的極坐標分別為，化為直角坐標為，曲線C2是經過點（m，0），且傾斜角為α的直線，又因為經過點B，C的直線方程為，所以．【點評】本題主要考查把參數方程化為直角坐標方程，把點的極坐標化為直角坐標，直線的傾斜角和斜率，屬于中檔題．22.已知函數，其導函數的最大值為0．（1）求實數a的值；（2）若，證明：．參考答案：（1）；（2）見解析．