考研數學二真題2008年

一、選擇題

設函數/(工)=/(4-1)(X-2),求/，(工)的零點個數為()

1(A)0.(B)l,(C)2.(D)3.

答案:D

［命用目的］考查求導的運算能力.

［詳細解答］/'(X)=2x(x-l)(x-2)+x2(x-l)+X2(X-2)=X(4X2-9X+4)

令/⑸=0,則可得/'(x)零點的個數為3.

［易錯辨析］/+bx+c=0,當*-4以＞0時有兩個實根.

［理仲拓展］幾次方程有幾個根.

如圖，曲線段的方程為y=/(”)，函數/(%)在區間［0,。］

上有連續的導數，則定積分［力?等于()

(A)曲邊梯形月8。0的面積.

(B)梯形4500的面積.

(C)曲邊三角形4CO的面積.

(D)三角形4co的面積.

2.

答案:c

［命科目的］考查定積分的分部積分法及定積分的幾何意義.

［詳細解答］l^xf'(x)dx=^xdf(x)=af(a)-//》)也，其中叭a)是矩形面積，/狄x)dx為曲

邊梯形的面積，所以為曲邊三角形的面積.

［易錯辨析］若/U)W0,則曲邊梯形的面積為：

［延伸拓瓜］必須熟練掌握定積分的分部積分法及變量替換法.

在下列微分方程中，以y=Ge*+C2cos24+C3sin2x(C,,

G，G為任意常數)為通解的是()

(A)ym+y"_4y，_4y=0.(B)yw+y"+4廣+4父=0.

3(C)y-y"-4y'+4y=0.(D)y"'_y"+4廣—4y=0.

答案:D

［命題目的］考查高階齊次常系數微分方程的解法.

［詳細解答］由y=Ge、+C2COS2X+C3sin2x可知其特征根為A,=1,A2.3=±2i.

特征方程為：(A-1)(入+2征(入-2i)=(A-1)(A2+4),即入-A2+4A-4=0

所以所求微分方程為:y"'-y"+4y4y=0,故選(D).

［易錯辨析］C2cos2x+C3sin2工對應的特征方程中(A+2i)(A-21),即入?+4.

［延伸拓展］高階齊次常系數微分方程的解法見同濟大學高等數學第五版下冊.

設函數f(x)=sinx,則/U)有()

FI%一智II

(A)l個可去間斷點,1個跳躍間斷點.(B)l個可去間斷點,1個無窮間斷點.

4.(C)2個跳躍間斷點.(D)2個無窮間斷點.

答案:A

［命題目的］考查函數間斷點及其類型.

［詳細解答］/(x)的間斷點為工=1,0,而lim/(x)=O,故工=0是可去間斷點;

x-?0*

lim/(x)=sinl,lim/(x)=-sinl,故x=l是跳躍間斷點.

r-1+x-l-

故應選(A).

［理仲拓展］在點％可導一定連續，連續不一定可導.

設函數f(4)在(-8,+00)內單調有界，1%」為數列，下列命題正確的是()

(A)若同)收斂，則次乙)|收斂.(B)若同［單調，則｛/(工“)|收斂

(C)若收斂，則收斂.(D)若次4)｝單調，則收斂.

答案：B

［命網目的］考查定理:單調有界數列一定有極限.

［詳細解答］若民」單調，則由/(工)在(-8,+8)內單調有界，知｛/(乙)|單調有界，

因此17(4)1收斂,故應選(B).

［建仲拓展］“單調有界數列一定有極限”具體表述為:單增有上界數列一定有極限;單減有下界

數列一定有極限.

設函數/連續，若"”,在)

影部分，則手=()

du

(A)以")

(C)叭").

答案:A

［*ML目的］考查二重積分的極坐標變換及求偏導數和對定積分上限變量求導.

［詳細解答］用極坐標得以”,。)=母等^^打=/利a：隼2#=必欣")由

.?拓=叭")?

設4為兒階非零矩陣,E為兀階單位矩陣.若矛=。，貝lj()

(A)E-A不可逆,E+A不可逆.(B)E-4不可逆,E+A可逆.

7(C)E-4可逆,E+4可逆.(D)E-4可逆,E+4不可逆.

答案:c

【命用目的］考查逆矩陣的概念.

［詳細解答］方法一：(E-4)(E+4+/(2)=E-AZ=E,(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E

故E-4,E+A均可逆.

方法二:假設4的特征值為入，則入3=0,.?.人=0

E-A,E+A的特征值都為1,所以IE-41=IE+川=1

所以E-4可逆,E+4可逆.

［易錯辨析］矛=。不能推出4=0.

［璉竹拓展］1.矩陣4可逆的充要條件：

4可逆=三矩陣8,滿足月8=84=后03矩陣8,滿足48=舊或&4=￡：。1/11盧0=4的所有特征

值不等于0<=>r(4)=7i.

2.假設4的特征值為入，則4的多項式匕(4)的特征值為匕(入).

設42),則在實數域上與從合同的矩陣為()

(A)(/L⑻(,5

J3；；)?叫」2二).

答案：D

［命題目的］考查二個矩陣合同的概念.

\-1-2

［詳細解答］方法一：1八七-川=。?=(A-1)2-4=A2-2A-3=(A+l)(A-3)=

-2A—1

0

/1-2\

貝I」兒=-1,A2=3,記O=_2］,則

A~12,,

\AE-D\==(A-I)2-4=A2-2A-3=(A+1)(A-3)=0

2A-1

則A)=-1，入2=3.

12

方法二：I*=2i=-3=儲入2,說明4的特征值為一正一負.對于(D),

101=\［2=-3,說明。的特征值也為一正一負.4。的正負慣性指數相同，故應選(D).

一21

［易錯辨析］方法二只對本題適用(讀者自己思考為什么？).

［延伸拓展】兩個矩陣等價、相似、合同概念的不同點.

二、填空題

已知函數/(工)連續，且1加1=1,則/(0)=________.

9.二(e*-1)/(?)

答案：2

［命題目的J考直?”不定型的計算.

［詳細解答］⑴=1,則如y(x)=/(0)=2.

［易錯辨析］對于加減項不能使用等價無窮小代換.

2x

10微分方程(y+xe')dx-xdy=0的通解是y=.

答案：y=-xe"+Cx

［命耳目的］考查求解一階線性微分方程.

［詳細解答］y'-工=詡-',P=-L,Q=xe-,

XX

y=e^d*(Jxe-V?d,ck+C)=x(Je'x<k+C)=-xe'x+Cx.

［延伸拓展］1.也可用常數變易法求解一階線性微分方程；2.一階線性微分方程通解=齊次

方程通解+非齊次方程特解.

11.曲線sin(xy)+ln(y-x)=x在點(0,1)處的切線方程是.

答案：y=x+1

［命雙目的］考查隱函數求導及導數的幾何意義.

【詳細解答】方法一:設尸(％,y)=sin(町)+ln(y-x)-x,

/、T,

Pycos(xy)+------1

斜率A=-胃----------q-,在(0,1)處，

，xcos(xy)+----

y-x

k=l,所以切線方程為y-1=%即y=x+l.

方法二:sin(町)+ln(y-x)=4兩邊對x求導

切線方程為:y-1=工，即y=x+l.

［易錯辨析］sin(xy)對x求導,夕是中間變量，所以［sin(o)「=(y+xy，)cos(號).計算時不用

求出y'的表達式，直接代入％=0,y=l,即可得出人廣(0)=1.

［延伸拓展］只要不對自變量工求導，都要按照復合函數求導.

12.曲線V=(x-5)：J的拐點坐標為.

答案：(-1,-6)

I命題目的］考查拐點的概念.

［詳細解答］『⑺=X^+(X-5)-^X-T=2_(X-2)X-7,

104

令/"(")=yx--(x+l)=0,得*=-1,而X=-1時,/"(工)左右兩邊變號，故拐點坐標為

(-1,-6),x=0時，二階導數不存在且/"(*)左右兩邊正負號不變，故(0,0)不是拐點坐標.

［易錯辨析］1.如果在(0,0)兩側/"(口正負號改變，則(0,0)也是拐點;2.拐點應表示成

(*0,7(3))是拐點?

［延伸拓展］如果在兩側/"(X)正負號改變，則(x°/(x。))是拐點.

X

13,設z=<*)'，則知(⑺=---------

答案:軸2T).

【命用目的】考查多元函數的復合函數求導.

【詳細解答】方法一:令”=Z,?=-,從而z=u",對方程兩邊去對數得lnz=”lnu,對改方程

xy

兩邊對比求導，

f

所以‘3二。+—ux=—In,

zdxuyxy

—I=z(—)I=(^)^(—lnX--)I,=^(ln2-l).

旅I(1,2)yXyI(1,2)'4'yxyI(1,2)2

方法二:將(1,2)代入原式:Zy.0)=&

將原式取對數:In?=^~(lny-Inx)

又寸x求導：——=—(Iny—Inv)——=—(Iny-\nx—1),半=—(Iny-Inx-1)

zdxyyydxy

^(1,2,7I)RA:￡|(12)=y(lny-lnx-l)|2=^(ln2-l).

［易錯辨析］方法二比方法一運算量小，不易出錯.

［玨仲拓展］本題也可求以=如+融r

14.設3階矩陣4的特征值為2,3，丸若行列式I24I=-48,則入=.

答案：A=-1

［命題目的］考查1=儲入2…入“、味4I=A"141.

［詳細解答］由矩陣特征值與矩陣行列式之間的關系得,2?3?八=-6,故人=-1.

［易錯辨析］以下運算是錯誤的：12川=2141=-48,正確應該12川=23141=-48.

I理伸拓展］假設4的特征值為A,則4的多項式匕(4)的特征值為匕(A).

三、解答題

求極限lim[sinx-sin,inx)]sinx

15.IX

［中總目的］考查“5”型極限的計算.

［思路點撥］先使用等價無窮小代換，然后使用洛必達法則.

[sinx-sin(sinx)]sin%..sinx-sin(sinx)cosx-cos(sinx)?cos%

［詳細解答］lim7=IiiD3

zXIX

—1sm?2x?cosx

VCOS%[1-cos(sinx)]

=um---------lim----------z-------=z

x-4)XT3/6

［易錯辨析］對于加、減項不能使用等價無窮小代換.

二文［理仲拓展］"18,,等其他不定型的極限的求法.

fX=x(t),

設函數y=y(x)由參數方程產確定，其中%⑴是初值問題

y=Iln(1+u)du

Jo

[命題目的]考查求微分方程特解和參數方程求導.

[思路點撥]1.對力和以為可分離變量方程;2.求導過程中"是中間變量.

[詳細解答]exdx=2idi,e*=^2+C,VxI=0,/.ex=1+z2,%=In(1+r2)

It=o

學=4=2叫+『)=(i+/)in(i+/)

dxxt2t

1+『

d2y[(1+/)ln(l+/)]',2zln(l+?)+2(Z12.r.Z12、

---廠--------=―'2f-------=(1+?)[ln(l+J)+1],

1+t2

答案：［理件拓展］可用相同方法求三階導數.

計算f%2arcsi?nx

dx.

2

17.V1-x

［命題目的］考查定積分的變量替換.

［思路點撥］對含Va2-X2'類型的積分，令工=asinl.

22

A.n,,.,?xarcsinx,,s.sint,t.

［詳細解答］令人=sm,，則［；j......2“d%=Jo'-~cos他

=ylJtdt-yjJtcos2tdt=/十蕊

［易錯辨析］定積分變量替換一定要改變上下限.

答案：［延伸拓區］對含//+公類型的積分，令x=atant

計算Jmax|%y,l|dxdy,其中。={(%,y)I0W%W2,0Wy近2}.

18.D

［命用目的］考查分段函數的二重積分.

［思路點撥］不同區域中對不同的表達式積分.

［詳細解答］/max(xy,l)Axdy=J/d“；1dy+/IdjtfjIdy+/Idxf\.xydy

15IQ

=1+21n2+7一ln2=V+ln2.

44

［易錯辨析］任何平面曲線/(%y)=0將平面分成/(孫y)>0和/(*y)<0兩部分.做題時要

找出這兩部分的正確位置.

答案【理什拓展】與本題類似可計算以下積分:J：：J：：max［*y}e-3e)dxdy(答案為-亨).

設/(%)是區間［0,+8］上具有連續導數的單調增加函數，且/(0)=1.對任意的

fe［0,+00),直線x=0/=,,曲線y=/(%)以及工軸所圍成的曲邊梯形繞光軸旋轉一周

生成一旋轉體.若該旋轉體的側面面積在數值上等于其體積的2倍,求函數f(x)的表達式.

19.

［命用目的］考查該題是計算旋轉體側面積、體積及微分方程的綜合題.

［思路點撥］由潦=2對上限變量求導得到微分方程.

［詳細解答］旋轉體體積v(c)=H/2(k

旋轉體的側面積S(t)=J；2Mx)71+［/f(x)］2ck

由2irJ［y/］+ydx=2TT(oy2dx

兩邊求導，得y47”=/

y2(l+ya)=/

從而2y'y"=2yy',得y"

所以特征方程為入2-1=0,特征根為入=±1.

x

則通解為y=Cie+C2e-\

由1+y"=y2,得4G02=1-

所以y=CE++e~由f(0)=1,C,=y.

合條：-5乙

(I)證明積分中值定理:若函數f(x)在閉區間［a,打上連續，則至少存在一點77e［a,6］,

使得［/(%)也=f(y)(b-a)；

(II)若函數3(，)具有二階導數，且滿足和(2)>以1),以2)>［l(x)dx,則至少存在一

20點fw(1,3),使得?"(；)<0.

［命用目的］考查考生是否掌握重要定理的證明.

［思路點撥］凡是有數問的考題,第一問的結果必定是解答第二問的關鍵.

［詳細解答］(I)設用及血分別是函數/(，)在區間［。,川上的最大值及最小值,則

m(b-a)-a)

不等式各除以6-a,得mW廿一j)(，)dxWM.

這表明，確定的數二L-Jy(x)ck介于函數/(x)的最小值m及最大值M之間.

根據閉區間上連續函數的介值定理，在［a,川上至少存在一點”，使得函數/?)在點77處的值與

這個確定的數值相等，即應有#T%(x)dx=/(7/)(OW77W6)

兩端各乘以b-a,即得所要證的等式.

(n)證明：由積分中值定理，則至少存在一點ce(2,3),使得=Mc),由題得

(p(2)<p(2)>/：w(x)<k=e(c)知2<cW3

答案：對奴工)在［1,2］和［2,c］上分別使用拉格朗日中值定理，得

3'(矣)=)(2廠(..“⑵”⑴)

，(&)"C)二乎"<0,(?.“(2)>w(c))

對尹'(工)在［6,左］上使用拉格朗日中值定理，得

W"(f)=3二智一臚右)<0,(SW，8)U(l,3)).

［易錯辨析］連續函數的介值定理:若C滿足mWCwM,則存在&QWgWb,使得/(§)=C(應

注意孑在閉區間［a,6］).

［通伸拓展］改進后的積分中值定理:如果函數/(%)在積分區間［Q,6］上連續，則在(a,6)上至

少存在一個點f,使下式成立：

J)(x)dx=/(f)(b-Q)(a<5<6).(參見同濟大學高等數學第五版上冊P239例6)

證明:令尸(工)=J7(t)dt

則/(工)在［Q,6］上連續，在(Q,6)上可導.由格拉朗日定理：

F(b)-F(a)=F'(^)(b-a)=f(^)(b-a)

即/-J73dx=/")(a<f<b).

0-a

求函數a=Y+/+z2在約束條件z=/+y2和*+y+z=4下的最大值與最小直

21.

［命?日購］考查條件極值的拉格朗日乘數法.

［思路點撥］求解有二個條件的條件極值的方法和求解有一個條件的條件極值的方法相同.

2222

［詳細解答］設F(x,y,z)=x+y+z+A,(x+y-z)+A2(x+y+z-4)

Fx(x,y,x)=02x+2xA)+入2=0

尸,(*,y,z)=02y+2yA]+A2=0x=-2x=1

得方程組,F,(x,y,z)=0即.2z-儲+入2=0，解得y=-2或，，=1

x+y2-z=0%+y2-z=0z=8z=2

x+y+z-4=0+y+z-4=0

222

得Ua二=(-2)+(-2)48=72.

222

t7IDin=l+l+2=6.

［易錯辨析］求解方程組是最容易出錯的地方，計算時應仔細.

答案：［延計拓展］有更多約束條件的最值問題.

設n元線性方程組AX=)，其中

(1\

V0/

(I)證明行列式I41=(n+l)an；

(n)當a為何值時，該方程組有唯一解，并求X,；

22.(0)當a為何值時,該方程組有無窮多解，并求通解.

［命感目的］計算"階三對角線行列式、求解非齊次方程組.

［思路點撥］非齊次方程組的通解=齊次方程組的通解+非齊次方程組的特解.

2a1

2a1

3a

201

2a1~2

2

a2a2

［詳細解答］(I)141=a2a

1

J.1

a22a

a2a

2a1

3a

01

~2

4a

0(九+1)Q

To3a4a

=2a?5Tn

1

(九+1)Q

0

n

=（n+1）ara

（口）方程組有唯一解

答案：由4r=8,知IAIKO,又141=（幾+1）Q”，故Q，0.

記4二4*。，由克萊姆法則知，

111

02a12a

2

a22aa

???11

2

\A1\a2ax(n-I)a2a(n-1)

孫~\A\2a12a1

2

2a1a2a1

2aa22a

1??.1

a2aa2a

nan

"(n+1)an(n+l)a

(DI)方程組有無窮多解

(011)

010

由141=0,有Q=0,貝!1(418)=0,故r(AIB)=r(A)=n-1

0

0：0J

X2=0

=0不

4V=0的同解方程組為3，則基礎解系為Ml,0,0,…,0)，人為任意常數.

14=0

(01(01(11(0、

01101

又00=0，故可取特解為”=0

01

0>10J10；loJ

(0)

01

所以布=3的通解為人0+0,k為任意常數.

10J10J

【易錯辨析】用遞推法計算I川的值比使用行列式性質計算Ml的值，運算量要小得多.

2a1

a22a1

a22a,*.

［延伸拓展］求，，=141=的另一方法(遞推法)

??????1

a22a

2a110000

a2G1a22a10…0

2

20a2a1…0

=2QDR_I-Q

...........???

00a22a1

00???a22a

=2aDn.-anD-In-￡2

直接計算得：Oi=2a=(l+l)a,,4=3M=(2+1)Q2

n,

假設Dn_l=na"

n2n2nn

貝！］Dn=2aDn_1-aDn_2=2arui~-a(n-1)a~=(2n-n4-l)a=(n+1)a.

設4為3階矩陣,四為A的分別屬于特征值-1」的特征向量，向量為滿足4a3=%+

。3?

(I)證明％,。2，。3線性無關；

(U)令尸=(%,%,%),求P"仍

【命題目的】考查向量的線性相關性.

【思路點撥】使用線性相關和線性無關的定義進行證明.

【詳細解答】（I）方法一:假設%,%,%線性相關，因為％,四是不同特征值的特征向量，所以

線性無關，則的可由t，線性表出，不妨設%=4』+l2a2,其中4美不全為零（若1/同時

為0,則ot3為。，由4a3=012+013可知?2=0）

■:Aat=-at,4a2=a2

4a3=a2+a3=a2+4%+l2ot2

又4a3=A（Zja）+l2a2）=-，必+l2a2

-liai+l2a2=a2+Lai+Z2?2,整理得⑵0+a2=0

則a,,a2線性相關，矛盾（因為a,,a2分別屬于不同特征值的特征向量，故a,,a2線性無關.）

故1,a2,a3線性無關.

方法二:因為a1,a2是不同特征值的特征向量，所以線性無關.

假設占6+&。2+自=。①

貝！］kiAal+k2Aa2+k3Aa3=0

答案：-A|a（+k2a2+k3（a2+a3）=0②

①-②，得2%6-A3a2=。

所以自=自=0,所以k2a2=0,k2=0

所以線性無關.

(H)記P=(-a3)，則P可逆，

4(6,a2,a3)=(4',Aa2,Aa3)

f00、

=(-a(,a2,a2+a3)=(?),a2,a3)011

、001,

00、[-100、

即4P=P011P-'AP=011

<001,<001,

【易錯辨析】以下說法是錯誤的:.，如,…,a”線性相關，則任一向量可用其他向量線性表示.

正確說法是:叫,口2,4線性相關,則其中某一向量可用其他向量線性表示.

［理的拓展］?i,a2,"',a?線性相關。齊次方程組XfUi+x2a2+???+xnan=0有非零解.

2（X）0年全國碩士研究生入學統一考試

數學（一）試卷

一、填空題（本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上）

^2x-x2dx

⑴

⑵曲面X?+2y2+3z?=21在點（1,—2,—2）的法線方程為.

⑶微分方程x/+3/=0的通解為.

1

（4）已知方程組2

1

⑸設兩個相互獨立的事件A和5都不'發生的概率為工.A發牛.5不發生的概率可B發牛:A不發生的概率相等.則

9

P(A)=.

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的

括號內）

（1）設/（x）、g（x）是恒大于,岑的可導函數,Hj'（x）g（x）-/（x）g'（x）<0,則當。<x<〃時,有

(A)/(X)gS)>/S)g(X)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)

(c)/(x)g(x)>/(b)g⑹(D)/(x)g(x)>/(a)g(a)

⑵設2222為在第一卦限中的部分,則有

S:x+y+z=a(z>0),S(S

(A)JJxdS=4JJxdS(B)a,"S=4JJxdS

SS[SS]

(c)JJzdS=4』xdS(D)JJxyzdS=4^xyzdS

SS[ss.

設級數收斂，則必收斂的級數為

（3）Zun

n=l

（A）￡（T）""（B）￡"；

"=1n?=|

（C）￡（"2,1-"2"）（D）￡（““+〃,,+|）

n=ln=l

（4）設n維列向量組叫，…，a,"（m<〃）線性無關，則n維列向吊；組良，…，氏線性無關的充分必要條件為

（A）向量組a[,??,,a,“可由向量組I,???,0,“線性表示（B）向昂:組0],???,0,“可由向量組a,“線性表示

（C）向量組叫，…，a,“與向晶組p1,…平,“等價（D）矩陣A=（ot],…，a“J與矩陣B=（0],…，院）等價

（5）設二維隨機變量（X,y）服從二維正態分布,則隨機變量J=X+Y'jr/=X-Y不相關的充分必要條件為

22

（A）E（X）=E（y）（B）￡（X2）-[E（X）]2=E（y）-[E（y）]

?E（x2）=E（y2）（D）磯X2）+[E（X）]2=E（y2）+[E（y）]2

三、（本題滿分6分）

￡

..,2+evsinx.

求hm（——r+

fl,+e-A\x\

四、（本題滿分s分）

xX

設z=/（刈,一）+g（一），其中f具仃：階連續偏導數，g具仃：階連續導數，求

yydxdy

五、（本題滿分6分）

計算曲線積分/=[xdy：yd：.其中L是以點（1,0）為中心，R為半徑的圓周（R>1）,取逆時針方向.

4廠+y-

六、（本題滿分7分）

設對于*空間x>0內任意的光滑有向封閉曲面S,都有JJqXxWydz-xMXxWzdx-e"」zdxdy=0,其中函數/（%）在

（0,+oo）內具仃連續的一階導數」Ilim/（x）=1,求/（X）.

七、（本題滿分6分）

L1X

求索級數--------的收斂區間，并討論該區間端點處的收斂性.

,日3"+（-2）""

八、（本題滿分7分）

設仃半徑為R的球體，鳥是此球的表面上的一個定點，球體上任一點的密度9該點到用距禽的平方成正比（比例常數女>0）.求

球體的重心位置.

九、（本題滿分6分）

設函數/（x）在[0,7]上連續，且￡/（x）dx=0,1/（x）cosxdx=0.試證:在（0,萬）內至少存在兩個不同的點自，$,使

M）=/（^）=o-

十、（本題滿分6分）

-1000

*_0100

設矩陣A的伴隨矩陣A=]0]0，且ABA~=BA-1+3E.其中E為4階單位矩陣，求矩陣B.

0-308

十一、（本題滿分8分）

某適應性生產線每年1月份進行熟練工，川:熟練工的人數統計,然后將L熟練工支援其他生產部門,其缺額由招收新的非熟練工補

6

齊.新、老非熟練工經過培訓及實踐至年終考核有2成為熟練匚設第〃年1月份統計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為七和為，

記成向量

七+八當+八

⑴求與的關系式并寫成矩陣形式:=A

\)'〃+1)JJ

(2)驗證7=是A的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值.

n2

V71

]_、

Xn+\

⑶當2時，求

]_

27

十二、(本題滿分8分)

某流水線上每個產乩不合格的概率為p(0<P<1)洛產品合格」話相對獨1111111個不合格產品時即停機檢修.設開機后第

1次停機時已生產了的產品個數為X.求X的數學期望E(X)和方羌Q(X).

十三、(本題滿分6分)

2e~2(x~0)x>0

設某種元件的使用壽命x的概率密度為了(x；e)="~.!［中6>0為未知參數.又設不工，?、工是乂的一組

ox<0)

樣本觀測值,求參數@的最大似然估計值.

2001年全國碩士研究生入學統一考試

數學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

(1)設y^ex(asinx+bcosx)(a,b為任意常數)為某：階常系數線性齊次微分方程的通解，則該方程為_____________.

222

⑵r=yjx+y+Z,則div(gradr)|(l1_2,2)=.

(3)交換：次積分的積分次序：J工,/(x,y)dx=.

(4)設A?+A—4E=O.則(A—2E>"=.

(5)O(X)=2,則根據乍貝曉夫不等式仃估計P{|X-￡(X)|>2)<.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的

括號內)

⑴設函數/(x)在定義域內可導,y=f(x)的圖形如右圖所示廁y=/'(x)的圖形為

⑵設/(x,y)在點(0,0)的附近仃定義，且/；(0,0)=3,/；(0,0)=1則

(A)dzI(OQ)=3i/x+dy

(B)曲面z=f(x,y)/i.(0,0,/(0,0))處的法向量為{3,1,1}

1"'，)在(0,0,/(0,0))處的切向量為{1,0,3}

(C)曲線

/=0

.：=f(x.y)

(D)曲線,在(0,0,/(0,0))處的切向量為{3,0,1}

y=0

(3)設1(0)=0則/(x)在x=0處可導<=>

[./(1-cos/?)

(A)hm------；-----存在(B)hm--------^存在

/:->0h-h->0h

f(h-sinh)

(c)hm—~：-----存在(D)hm--------——存在

ATO〃TOh

(1111)(4000)

11110000，則A與B

(4)設A=