圓錐曲線定比弦的存在定理圓錐曲線定比弦的存在定理8/8PAGE8圓錐曲線定比弦的存在定理圓錐曲線定比弦的存在定理圓錐曲線定比弦的存在定理摘要本文研究了圓錐曲線中過定點并以此點為定比分點的弦的存在問題，給出了圓錐曲線中定比弦存在的較為一般的判定定理。關鍵詞圓錐曲線定點中點弦定比弦首先給出如下定義：定義設P點為定點，T為圓錐曲線，AB是它的弦，若AB所在直線過P點，且被P點所分成的有向線段代數長之比（定值），則AB便叫做T的定比弦。當時，定比弦即是中點弦。本文研究定比弦的存在定理，對此，我們有定理一橢圓存在以P（）（x02+y02≠0）為分點，為定比的定比弦的充要條件是：（1）當＞0時，（）≤b2x02+a2y02＜a2b2；（2）當=0時，b2x02+a2y02=a2b2（Ⅰ）（3）當＜0時（≠-1），＜b2x02+a2y02≤（）證明：設A（x，y），則B（），則有b2x2+a2y2=a2b2b2[（1+）x0-x]2+a2[（1+）y0-y]2=a2b22（*）兩式相減，得b2（1+）2x02-2b2（1+）x0+a2（1+）2y02-2a2（1+）y0y-a2b2（2-1）=0（*）①當y0≠0時，y=·代入,并化簡得到：（）假設弦AB存在，則,所以上述方程有實根，從而△≥0，對其化簡整理，得：≤0解此不等式，即得：（1）當＞0時，（）≤b2x02+a2y02＜a2b2；（2）當=0時，b2x02+a2y02=a2b2（3）當＜0時（≠-1），＜b2x02+a2y02≤（）②當=0時，這時P點為（x0，0）.由（**）得：x=又因，即≥即≥，由此得（1）當＞0時，（）≤x02＜a2（2）當=0時，x02=a2（3）當＜0時，＜x02≤（）這個結論就是（Ⅰ）式中取的情形，故不管是否零，（Ⅰ）式總成立。（）反過來，若（Ⅰ）式成立，由于以上的推導過程可逆，因而以P（x0，y0）為分點，而以為定比的定比弦必存在。由于當x0=0時，y0=0時P為橢圓的中心，此時相應弦只能是中點弦，不能隨的改變而改變，且中點弦亦不唯一，故P點不能為橢圓的中心。綜上所述，可知定理一定成立。定理二拋物線y2=2px（p＞0）存在以（x0，y0）為分點，以為定比的定比弦的充要條件是：（1）≠0（≠-1）時，（）＜0；（2）=0時，（Ⅱ）證明：設A（x，y），則B（），得（**）兩式相減得到：（**）①當y0≠0時，y=代入y2=2px，得（）設弦AB存在，則xR，∴方程有實根，∴△≥0，對此化簡即得：（1）≠0（≠-1），（y02-2px0）＜0；（2）=0時，y02=2px0.②當y0=0時，這時P點為（x0，0）由（**）得x0=x，又因y2=2py，所以y2=2px0≥0，由此得，當≠0時，x0＞0，當=0時，x0=0.這個結論就是（Ⅱ）式中取y0=0時的情形，故不管y0是否為零，（Ⅱ）式總成立。反過來，若（Ⅱ）式成立，由于以上推導過程可逆，因而以P（x0，y0）為分點，則以為定比的定比弦必存在.定理三雙曲線存在以P（）（x02+y02≠0）為分點，以為定比的定比弦的充要條件是：（1）當＞0時，b2x02-a2y02≤（）或b2x02-a2y02＜a2b2（2）當=0時，b2x02-a2y02=a2b2（Ⅲ）（3）當＜0時，b2x02-a2y02≥（）或b2x02-a2y02＜a2b2.證明與前面類似.證明了定比弦的存在定理，中點弦的存在定理也就證明了，其相應定理只需將上述定理中改為1即可，于是我們有下述推論：推論一橢圓b2x02+a2y02=a2b2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）為中點的中點弦的充要條件是：b2x02+a2y02＜a2b2.（Ⅳ）推論二拋物線y2=2px存在以P（x0，y0）為中點的中點弦的充要條件是：y02＜2px0（Ⅴ）推論三雙曲線b2x2-a2y2=a2b2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）為中點的中點弦的充要條件是b2x02-a2y02＞a2b2，或b2x02-a2y02＜0（Ⅵ）推論四圓x2+y2=R2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）為中點的中點弦的充要條件是：x02+y02＜R2（Ⅶ）下面舉例定比弦存在定更換一些應用舉例：例1若橢圓4x2+9y2=36存在以P（x0，y0）為分點，以-2為定比的定比弦，求P點的存在范圍。解：由定理1知當＜0（≠-1）時，橢圓b2x2+a2y2=a2b2存在以P（x0，y0）為分點，為定比的定比弦的充要條件是＜b2x02+a2y02≤（），將a2=9，b2=4，=-2代入得36＜4x02+9y02≤324，故P點在存在范圍是由橢圓4x2+9y2=36與4x2+9y2=324所夾的區域（含4x2+9y2=324）.例2P（x0，y0）在何區域內，雙曲線x2-4y2=4不存在以P（x0，y0）為分點，以-2為定比的定比弦？解：由定理三知，當＜0（≠-1）時，雙曲線存在以P（）為分點，為定比的定比弦的充要條件是b2x02-a2y02≥（）或b2x02-a2y02＜a2b2，將a2=4,b2=1,=-2代入得x02-4y02≥36或x02-4y02＜4，從P點所在區域就是x02-4y02＜36且x02-4y02≥4，即雙曲線x2-4y2=36與x2-4y2=4，所夾的區域（含雙曲線x2-4y2=4）例3過點P（1，2）作橢圓x2+4y2=4的弦AB，若P點分AB所成的線段比為，求的最大、最小值。解：∵P（1，2）為橢圓x2+4y2=4外的一點，∴P為外分點，從而＜0，于是由定理一，知該橢圓存在以P（1，2）為分點，為定比的定比弦的充要條件是4（）2≥17，解此不等式，得：-≤＜-1，-1＜≤-∴的最大值為-，的最小值為-，例4過點A（1，1）的直線與雙曲線交于P1、P2兩點，求線段P1P2的中點P的軌跡方程。解：設P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則有，兩式相減，并化簡得設P點坐標為x，則上式化為2x-yk=0，∴k=，即為P