圓心角圓周角垂徑定理及其應用圓心角圓周角垂徑定理及其應用/NUMPAGES14圓心角圓周角垂徑定理及其應用圓心角圓周角垂徑定理及其應用第一課時輔導講義課題圓的對稱性教學目標1．理解圓的對稱性及有關性質．2．理解同圓或等圓中，圓心角、弧、弦各組量之間的關系，并會應用．3.掌握圓周角定理.3．探索垂徑定理并會應用其解決有關問題．重點、難點1.圓心角與弦的關系，圓心角與圓周角的關系2.垂徑定理的理解與應用考點及考試要求1.會計算圓心角，圓周角。并熟練其之間的轉化關心，注意弧和弦在圓心角中的等量關系2.熟練掌握垂徑定理的應用教學內容知識框架1.圓是軸對稱圖形（重點）通過折疊與旋轉的方法，我們可以得到：圓是軸對稱圖形，其對稱軸為任意一條過圓心的直線；圓是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心．2.圓心角，弧，弦之間的關系（重點）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。(1)在具體運用以上定理解決問題時，可根據需要選擇，如“在等圓中，相等的弧所對的圓心角相等”．(2)不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，如果丟掉這個前提條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等．(3)要結合圖形深刻理解圓心角、孤、弦這三個概念和“所對應的”一詞的含義，因為一條弦所對的弧有兩條，所以由“弦等”得出“弧等”，這里的“弧等”指的是對應的劣弧和劣弧相等，對應的優弧和優弧相等。3.圓心角的度數與它所對的弧的度數的關系（1）1°的弧：將頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的圓心角是1°的角．因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份．我們把1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧．圓心角的度數與它所對的弧的度數的關系：圓心角的度數與它所對的弧的度數相等．圓周角定理及其推論（重點）同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在△中，∵OC=OA=OB∴△是直角三角形或∟C=90°5.垂徑定理的應用（難點）（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的的弧，垂徑定理的表現形式：如圖5-2-8所示，推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：①是直徑②③④弧弧⑤弧弧中任意2個條件推出其他3個結論。考點一：圓心角，弧，弦的位置關系例1、（2006?濟南）如圖，BE是半徑為6的圓D的1/4圓周，C點是BE上的任意一點，△ABD是等邊三角形，則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是（）例2、有下列說法：①等弧的長度相等；②直徑是圓中最長的弦；③相等的圓心角對的弧相等；④圓中90°角所對的弦是直徑；⑤同圓中等弦所對的圓周角相等．其中正確的有（）例3、（2007?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°，給出下列五個結論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正確結論的序號是例4.（2005?內江）如圖所示，⊙O半徑為2，弦BD=2√3，A為弧BD的中點，E為弦AC的中點，且在BD上，則四邊形ABCD的面積為

考點二：圓周角定理如圖，三角形ABC中，∠A=60°，BC為定長，以BC為直徑的⊙O分別交AB，AC于點D，E．連接DE，已知DE=EC．下列結論：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正確的有（）例2、（2011?衢州）一個圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，已知橋AB長100m，測得圓周角∠ACB=45°，則這個人工湖的直徑AD為（）（2010?荊門）如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN^的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（）、例4、如圖AB是⊙O的直徑，AC^所對的圓心角為60°，BE^所對的圓心角為20°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，則∠FDG的度數為（）考點三：垂徑定理1、（2010?大田縣）如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P與x軸相切于點Q，與y軸交于M（0，2），N（0，8）兩點，則點P的坐標是（）A、（5，3）B、（3，5）C、（5，4）D、（4，5）2、（2010?濰坊）已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB=8m，OC=5m，則DC的長為（）A、3cmB、2.5cmC、2cmD、1cm（2009?龍巖）如圖，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上的任意一點，則PA+PC的最小值為多少？已知：如圖，∠PAC=30°，在射線AC上順次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB為直徑作⊙O交射線AP于E、F兩點，求圓心O到AP的距離及EF的長．5、如圖所示，⊙O的直徑AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD．6、如圖，△OAB中，OA=OB，以O為圓心的圓交BC于點C，D，求證：AC=BD．考點四：垂徑定理的應用（2009?青島）一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分水面寬0.8米，最深處水深0.2米，則此輸水管道的直徑是多少？2（2006?菏澤）如圖，底面半徑為5cm的圓柱形油桶橫放在水平地面上，向桶內加油后，量得長方形油面的寬度為8cm，則油的深度（指油的最深處即油面到水平地面的距離）為多少？3、（2008?黃岡）如圖是“明清影視城”的圓弧形門，黃紅同學到影視城游玩，很想知道這扇門的相關數據．于是她從景點管理人員處打聽到：這個圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD與水平地面都是垂直的．根據以上數據，請你幫助黃紅同學計算出這個圓弧形門的最高點離地面的高度是多少？如圖，圓柱形水管內原有積水的水平面寬CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），則此時水面寬AB為多少？針對性練習1、（2004?南寧）如圖，D、E分別是⊙O的半徑OA、OB上的點，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，則AC^與CB^弧長的大小關系是2、如圖，已知AB是⊙O的直徑，PA=PB，∠P=60°，則弧CD所對的圓心角等于度．3、（2009?哈爾濱）如圖，在⊙O中，D、E分別為半徑OA、OB上的點，且AD=BE．點C為弧AB上一點，連接CD、CE、CO，∠AOC=∠BOC．

求證：CD=CE．（2011?重慶）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=40°，則∠A的度數等于（）5、（2011?福建）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上，若∠C=40°，則∠ABD的度數為（）6、（2005?鎮江）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，D、E是⊙O上兩點，則∠D=度，∠E=度7、在△ABC中，∠A=150°，BC=6cm，則△ABC的外接圓的半徑為cm．8、如圖，P是直徑AB上一點，且PA=2，PB=6，CD為經過點P的弦，那么下列PC與PD的長度中，符合題意的是（）9、如圖，在圓O中，直徑AB=10，C、D是上