鄺賢鋒2.2單自由度系統支座激勵系統的受迫振動

單元二振動與沖擊理論基礎①強迫振動包裝件在運輸過程中長時期受到不為0的激勵F（t）時，將引起包裝系統持續長時期振動，稱之為強迫振動（或受迫振動）。②簡諧激勵力

F(t)=kAsinωt其中A是振幅，ω是驅動頻率。

1、簡諧激勵力的強迫振動③系統的運動微分方程及運動規律將激勵力代入包裝件的運動微分方程

用m遍除各項，可得單自由度線性系統的強迫振動X稱為強迫振動的振幅；φ為相位差。頻率比λ=ω/ωn

，則：由穩態解求導后帶入運動微分方程并整理得到：X和φ的表達式表明X和φ只決定于系統本身的特性和干擾力的性質，與運動初始條件無關。于是得到通解為：X2(t)表示有阻尼系統對干擾力的響應，只要激振函數繼續作用，此運動就會持續存在，通常只考慮穩態解。④傳遞率Tr令傳遞率Tr=X/A即響應的振幅X與靜力偏移A（力幅的靜力作用下系統的偏移）之比，則1）當λ《1時，即ω《ωn的低頻段情況，各條曲線的Tr值接近于1，即強迫振動的振幅X接近于靜力偏移A，即緩慢變化的干擾力的動力作用接近于其靜力作用。2）當λ》1時，即ω》ωn的高頻段情況，各條曲線的Tr值接近于0，即高速變化的干擾力的動力作用下，振動體由于慣性影響，幾乎來不及響應，所以幾乎不振動。以ζ為參變量，可得出不同ζ的一系列Tr-λ曲線，稱為幅頻特性曲線或共振曲線。曲線分析如下：幅頻特性曲線/共振曲線幅頻特性曲線：3）當ζ＜0.707時，各條曲線都存在傳遞率最大值由dTr/dλ=0，可以求得共振點的λ0和Trmax為：許多實際問題中，ζ的值都很小，因此可以近似地認為λ0=1，即ω=ωn，也就是干擾力頻率接近于系統的固有頻率時發生共振。Trmax≈1/2ξ，可見阻尼在共振區對振幅的影響極為顯著，加大阻尼，可以減小共振時的振幅。當ζ＞0.707時，傳遞率曲線無極值，不存在共振現象。4）當ζ=0時，即無阻尼情況，當λ=1時，Tr趨于無窮大。雖然無阻尼系統在實際中并不存在，但把它作為小阻尼的極限情況來看還是有實際意義的。當λ＜0.75和λ＞1.25，即激振頻率遠離共振頻率時，阻尼的影響不大，不論ζ值如何，各曲線彼此很靠近。這時的小阻尼系統和無阻尼系統的響應幾乎沒有差別，可以按無阻尼系統來計算Tr值。2、簡諧位移激勵的強迫振動運輸過程中的包裝件受到的激振，常常是運輸工具傳給包裝件的位移激勵。假設基座做簡諧振動，即若包裝件的位移坐標為x，向下為正，則包裝件偏離平衡位置的距離為x時彈簧的變形為（x－y），包裝件與基座的相對速度為。這個方程是非齊次的，解由兩部分組成。但一般不考慮瞬態解，只考慮穩態解。系統的微分方程為

X和a分別為響應的振幅和相位差，它們只與系統本身及支座激勵性質有關，與運動的初始條件無關。幅頻特性曲線1）λ=0時，Tr=1各條曲線有共同的起點。λ=1.414時，Tr=1各條曲線相交于這個公共點。

2）當λ《1時，即ω《ωn的低頻段情況，各條曲線的Tr值接近于1，沒有什么隔振效果。3）當λ＜1.414時，Tr＞1，振幅被放大；當λ≈1時，傳遞率達到最大值，出現共振。（放大區）4）當λ＞1.414時，Tr＜1，系統有隔振效果，振幅被衰減。當λ》1時，即ω》ωn的高頻段情況，各條曲線的Tr值接近于0，即高速變化的干擾力的動力作用下，振動體由于慣性影響，幾乎來不及響應，所以幾乎不振動。（隔振區）隨著λ增加，隔振效果增大，在實用中取λ=2.5——5已經足夠。3、周期激振下的強迫振動前面討論的都是簡諧激勵力或簡諧激勵位移條件下振動系統的響應。在實際工程問題中，包裝件在流通過程中受到的激勵一般都是非簡諧的復雜波形，它的響應可以應用諧波分析法進行分析。對于周期激勵力f（t），可以展開成由不同頻率的簡諧激勵力組成的傅里葉級數，即將此式代入微分方程可得：