高等數學教案授課3(1)單元教案第2章導數與微分授課單元名稱授課學時2第一節導數的概念1、理解導數的概念幾何意義，會求曲線上一點處的切線方程與知識目標法線方程；單元教學目標2、會用導數（變化率）描述一些簡單的問題；學會用導數解決有關問題（瞬時變化率），能利用導數求斜率、速度、實際問題中的瞬時變化率能力目標用導數解決有關問題（瞬時變主要教學1導數概念、幾何意義與實教學難點化率），速度、實際問題中的瞬時變化率知識點際意義2變化率舉例《高等數學》，侯風波主基本概念以教材一致，例題編，高等教育出版社。參考資料《分層數學》，李德才主教材處理有調整編，北京交通大學出版社。教學資源1）教材2）課件3）參考書1、課前布置問題預習2、案例引入—提出問題—展教學方法與開討論—提煉思想—引出概手段念—問題求解（完成任務）—師生共同點評。考核評價1導數概念、幾何意義與實際意點義3、啟發式，講練結合教學內容第2章導數與微分§2.1.1導數的概念一、導數的引入1瞬時速度vst，設有一質點作直線運動，運動規律為ss(t)．如果質點作勻速直線運動，則速度如果質點作非勻速直線運動，則可用平均速度來描述質點的運動．若t0為某一時刻，t為一時間段，s為此時間段內質點的位移，即vs(tt)s(t)00ss(tt)s(t)，則平均速度為tt0v，如果時的極限存在，00vlims(tt)s(t)t稱為質點在時刻的瞬時速度．000t則t02切線斜率Px,f(x)000yf(x)設平面曲線由給出，如圖．為曲線上一點，在曲線上另取一點P，kf(xx)f(x)00x．PP作割線，割線斜率為0PPP0當P點沿曲線趨于時，割線0yyf(x)PTPT0的極限位置存在，則稱為曲線在0PP0點的切線．切線斜率為P0Tklimf(xx)f(x)x000Oxx．在前面討論的幾個例子中，我們得到了函數的改變量與自變量的改變量的比值極限，由x0此而得導數的概念．二、導數的定義yf(x)x1設函數在點的某鄰域內有定義，給自變量以改變量x，函數相應定義0的改變量為yf(xx)f(x)，00limf(xx)f(x)如果x000yf(x)xx存在，則稱在點可導，并稱此極限為函數0y|f(xxfx)()f(x)lim00yf(x)f(x)x或x在點的導數，記作或，即0xxx0000f(x)f(x)xx0f(x)lim00xx，0yf(x)x如果極限不存在，則稱函數在點不可導f(x)x20yx例1求函數在x=1點的導數，并求曲線2在(1,1)點的切線方程．f(1)limf(1x)f(1)lim(1x)21xlim(2x0x)2．x解：x0x0所以曲線在(1,1)點的切線方程為y–1=2(x–1)，即y=2x–1．．三、單側導數f(xx)f(x)f(x)lim00x，2左導數0定義x0f(xx)f(x)x．f(x)lim00右導數0x0左導數與右導數統稱為單側導數fxfx()()0f(x)fxfx(),()定理1存在都存在，且．00由單側極限與極限的關系即知定理成立．001cosxx0f(x)例2設x<0，求其在x=0點的單側導數．xf(x)f(0)1cosxxf(0)lim1f(0)lim0x，解：．x0x0因為左右導數不相等，所以此函數在x=0點不可導．例3、f(x)x在x=0點不可導．因為x，四、導數與連續的關系xxf(0)lim1f(0)lim1xx0x0yf(x)xyf(x)x定理2若函數在0點可導，則在0點連續．f(xx)f(x)x，f(x)lim00yf(x)x證：設函數在點可導，則0x00limf(xx)f(x)00yf(x)x于是x0，所以在0點連續．0注意：定理的逆不成立，例如f(x)x在x=0點連續，但在x=0點不可導．．五、導函數yf(x)yf(x)定義3若函數在區間I上每一點都可導，則稱在區間I上可()yfxxI,|f(x)導．與之對應，由此而確定的函數稱為的導函數，簡稱為導數，f(x)limf(xx)f(x)dyy,f(x)dx．記作或x，即x0f(x)x2例5求函數的導數．(xx)2x2f(x)limlim2xxx22xxx．解：六、導數的幾何解釋x0x0yf(x)xx函數在0可導，則yf(x)xx在點0的切線斜率ktanf(x)．0yf(x)xxyyf(x)(xx)．當f(x0)0時，所以曲線在0點的切線方程為0001f(x)0(xx)f(x)000yy0法線方程為．yxxx3例6求曲線在0點的切線方程與法線方程．|y3x0y3xy22解：，，x0yx31(xx)3xy0切線方程為yx33x2(xx)，法線方程為0200，xx0000Oy0f(x)3x20x003如圖，因為，2x,003所以切線與x軸的交點為．知道了曲線與x軸的交點，我們就可以用切點與交點的連線作出曲線的切線．2.1.2求導舉例與變化率舉例一求導舉例f(x)x例1求函數的導數．解：x11xx11limx1x0x1(xx)xlimxxxxf(x)limx0xx，x011112y(x2)2xyxy3xy由此可得3時，；x時，22x．f(x)a例2求函數x的導數．axax1f(x)limx0xaxlimaxyeyexf(x)logxaaxlnx，由此可得時，．x解：xx0例3求函數的導數．解a：xlog(1)axlog(xx)logxlimxx1f(x)limx0xxxlexlna．aaxx0xxaax0y1由此可得時，x．例4求函數f(x)sinx的導數．解ylnx：sxxxx2c)22x+lx0x+sxxxix22f(xlimx0x2x，x0ysinxycosxy由此可得時，．同理時，sinx．ycosx二變化率舉例例5.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為140m/min,當氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:(詳見課件2-5隱函數的求導)例6.有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以25立方厘米/s自頂部向容器內注水,試求當容器內水位等于錐高的一半時水面上升的速度.（思考）解:(詳見課件2-5隱函數的求導)小結：本節講了導數的概念及變化率舉例作業P5412授課單元教案第2章導數與微分授課單元名稱2.2導數的四則運算法則授課學時42.3.1復合函數的求導法則單元教學知識目標熟練掌握導數的四則運算求導和復合函數的求導法則目標能力目標用導數的四則運算法則和復合函數的求導法則進行導數的計算主要教學導數的基本公式、導數四則教學難點復合函數求導知識點運算、復合函數求導法則《高等數學》，侯風波主基本概念以教材一致，例題有調整，增加習題。編，高等教育出版社。《分層數學》，李德才主編，北京交通大學出版社。教材處理參考資料教學資源1）教材2）課件3）參考書利用導數的基本公式、導數四則運算、復合函數求導法則求導教學方法與1、課前布置問題預習考核手段2、啟發式，講練結合評價點2.2導數的四則運算法則一、導數的四則運算v(x)(u(x)0)0u(x),v(x)xu(x)v(x)u(x)v(x)u(x)定理1若函數在0點可導，則、、在x0點可導，且u(x)v(x)|u(x)v(x)(1)(2)；00xx0u(x)v(x)|u(x)v(x)u(x)v(x)；0000xx0()()v(x)u(x)()()uxvxuxvx(u(x)0)00000u(x)2(3)0．xx0(1)式稱為和差的導數等于導數的和差，簡記為(uv)uv．(2)式簡記為(uv)uvuv．注意：可不能得出乘積的導數等于導數的乘積．(uvw)uvwuvwuvw．推廣：uvuvv(3)式簡記為uu2．例1設f(x)x32x23lnx,f(x)求．3f(x)3x4x2解：x．例2設ycosxlnx,y求．xysinxlnx1x，coxsy1．解：x(tanx)例3求，(cotx)．sinxcos2xsin2x1(tanx)cosxcosx2cos2x，解：cosx(cot)xcos2xsin2x1sinxsinxsin2x．2例4求(secx)，．(cscx)1sinxsecxtanx(secx)cosxcos2x解：，1sinxsinx(cscx)cosxcscxcotx2．二基本導數公式(1)yC,y0(C為常數)；(,yx1(2)yx(3)yax,yaxlna；(4)yex,yex；為任意實數)；1ylogx,yxlna；(5)aylnx,y1x；(6)(7)ysinx,ycosx；(8)ycosx,ysinx；1ytanx,ysec2xcos2x；1(9)ycotx,ycsc2xsin2x；(10)1yarcsinx,y1x2(11)；1yarccosx,y1x2(12)(13)(14)；11x11xyarctanx,y2；yarccotx,y2．2.3.1復合函數求導法一復合函數求導法yf(u)uug(x)x定理3(復合函數求導法)設函數在點可導，在0點可導，則復合0fg(x)f(u)g(x)f(g(x))g(x)．fgx函數在點可導，且000000dydyduyfg(x)函數，的復合函數的導數公式可表為xux．yf(u)ug(x)ddddydydudv上式稱為鏈式法則，其可以推廣，即dxdudvdx．ysinxy2例7設，求．dy2ududucosxdxyu2usinx解：設，，則，，y=2sinxcosx=sin2x．所以ysin3xy例8設，求．y=cos3x(3x)=3cos3x．解：yaxy22例9設，求．1xy解：2a2xax2222ax2．ylnxa2x2y例10設，求．1x11y解：1xax22xax2xa2xa2x2a2x2．22習題1已知直線運動方程為s10t5t2，給出改變量分別為t1,0.1,0.01，求從t=4t4t至這一段時間內運動的平均速度及t=4時的瞬時速度．2試確定曲線在指定點P的切線方程與法線方程：y1x,P(2,1)24；(2)ycosx,P(0,1)．(1)xmsin1x0x=0f(x)x03設(m為正數函數)，f(x)試問：(1)m等于何值時，在4設有一吊橋，其鐵鏈成拋物線型，兩端系于相距100m高度相同的支柱上，鐵鏈的10m處，求鐵索與支柱所成的角．二、反函數求導法x=0連續；最低點在懸點下．例5求(arcsinx)，(arccosx)．arcsinxyxsiny解：設，則，111(arcsinx)于是(siny)cosy1x2．111(arccosx)(cosy)siny1x2同理可證例6求(arctanx)，(arccotx)．．arctanxyxtany解：設，則，于是1(tany)11x(arctanx)cos2y2．1(cot)y1(arccot)xsin2y1x同理可證三、基本求導法則與求導公式１基本求導法則2．(1)(4)(uv)uv；(2)(uv)uvuv；(3)(Cu)Cu(C為常數)；dy1dxdxuvuv,1uvduu2uu2；(5)反函數的導數；ydydydudxdudx(6)復合函數的導數．習題1求下列函數在指定點的導數(1)設f(x)3x42x35f(1)f(0)，求，；xf(x)f(0)f()cosx(2)設，求，；(3)設f(x)1xf(4)，求，，．f(0)f(1)2求下列函數的導數1x21xx2；(3)；yy3x2yxnxn2(1)；(2)2yxm2xmxyx3logx；(6)yexcosx；(4)(7)x；(5)3ytanxxyy(x21)(3x1)(1x3)；(8)y1lnxx；(9)1cosx；1x2y(10)；(11)y(x1)arctanx；(12)3求下列函數的導函數sinxcosx．1lnx1x231x；yy(x21)3；(3)(1)(4)yx1x2；(2)yln(lnx)；節yln(sinx)；(6)ylg(x2x1)；(5)1x1xylnylnx1x21x1x；(9)y(sinxcosx)3；(7)；(8)ycos4xysin(1x2)；(12)y(sinx2)33(10)；(11)yarcsin1yarccot11xx；y(arctanx3)2；(15)yex(13)x；(14)yarcsin(2sxin)(16)；(17)1；小結：1求導公式及求導法則2搞清復合函數結構,由外向內逐層求導作業：P572(5)(8)(9)(12)(13)(14)47P661(7)_(15)2授課單元教案第2章導數與微分授課單元名稱授課學時2第五節隱函數求導單元教學知識目標熟練掌握隱函數的求導方法；能熟練進行導數的計算目標能力目標主要教學知識點隱函數及由參數方程確定的函數的求導法，高階導數教學難點求隱函數導數《高等數學》，侯風波主編，高等教育出版社。基本概念以教材一致，例題有調整，增加例題與習題。教材處理參考資料《分層數學》，李德才主編，北京交通大學出版社。教學資源1）教材2）課件3）參考書教學方法與1、課前布置問題預習考核1.求隱函數及由參數方程確定的函數的導法2.高階導數手段2、啟發式，講練結合評價點教學內容第五節隱函數求導與參變量函數的求導一、隱函數的概念形如yx21,yex(sinxcosxlnx)等的函數稱為顯函數．由方程或方程組給出對應關系的函數就稱為隱函數．1例如方程xyy10能確定一個x與的函數關系xy(x1)．y1定義就二元方程F(x,y)0,如果xI,|yG,“F(x,y)0”，由此而確定的函數稱為隱函數．二、隱函數求導法對于隱函數的存在性、唯一性、可導性等，我們將在第18章中介紹．今約定二元方程F(x,y)0都能確定一個連續可導的隱函數yf(x)，其滿足F[x,f(x)]0．求導法則：就二元方程F(x,y)0,例1已知xyexey0，求y．y兩端關于x求導，其中視為x的函數即可．解：設由方程確定的隱函數為yf(x)，則xf(x)exe0，fx()exf(x)f(x)兩端對x求導得f(x)xf(x)eef(x)f(x)0，所以ef(x)x．x在運算熟悉時，直接視y為x的函數，對方程兩端關于x求導亦得yexyyxyeey0，即ex為所求．yxyya2，求其過(x,y)點的切線方程．例2給定曲線方程x2200yxy，所以當解：由隱函數求導得2x2yy0，從而y0時，過(x,y)點的000xyy(xx)切線方程為xxyya2為所求．0y0xxyyxy(x,y)在曲線上，故02．而0020，即000000三、對數求導法（了解內容）下面用實例給出求導方法．y(x1)3(x1)yx(x1)2例3設，求．lny3lnx(1)xln2xln．(15x解：取對數得1y312x1xx1x(x21)，兩邊對x求導得y15x(x12)(1x5)yyx(x21)x2x(13)為所求．所以(x1)(x2)(x3)(x4)，求y．y例4設1lnyln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)2解：取對數得，1y111112x1x2x3x4兩邊對x求導得y，y11111(x1)(x2)2x1x2x3x4(x3)(x4)為所求．故例5設x，求y．yx1ylnx1lnyxlnx解：取對數得，兩邊對x求導得y，故yxx(lnx1)為所求．例6設yxxx，求y．1yxx(lnx1)lnxxx1x，lnyxlnxyx解：取對數得，兩邊對x求導得1xyxxxxln2xlnxx故為所求．y四、參變量函數的求導平面曲線C有一種表達方式，即由參變量方程y(t)x(t)P0y(t)給出．P((t),(t))點000x在曲線C上，切線的斜率可由割線的斜率取極限而(tt)(tt)(t)，(t)y得，而割線斜率為x00xO000(tt)(t)t0(t)limylimt0(t0t)(t)0(t)00于是切線斜率為x0xt，dy(t)tan0(t)．dx即0(t),(t)(t)(t)20，此時稱曲線C為2在上面的推導中，要求存在．如果00dy(t)光滑曲線，且．(t)dx≤ybsint例7求橢圓xacost(0t2)b的斜率為a的切線方程.dy(bsint)5t,44bcott=b，由at=解：bcottdx(acost)aa得，2a,222a,22bb,22切點坐標為，切線方程為2b22b2y2bxa,ybxa,Ma22a2即aybx2ab或aybx-2ab為所求．Ox七、高階導數1高階導數的定義yyf(x)yf(x)xf(x)x定義1若函數的導函數在可導，其導數稱為在的二階導00f(xx)f(x)f(x)lim數，記作．即000f(x)x．x00yf(x)若函數在區間f，y或等．f(x)xII上二階可導，則可得到I上的二階導函數，記作Oxx0yf(x)一般地，函數在I上n階導數的導數稱為n+1階導數，n階導數記作dynf(n)(x),y或(n)dxn．2二階導數的物理解釋ss(t)物體作直線運動，運動規律為，其瞬時速度為，而瞬時速度對時間的變vs(t)lims(tt)s(t)alims(tt)s(t)t．t，這就是加速度化率為a，即t0t0h1gt如自由落體運動，運動規律為，瞬時速度為，2vhgt2avhg加速度為．3高階導數的計算yx的各階導數．例7求nynxn1，解：yn(n1)xn2，yn(n1)(n2)xn3，y(4)n(n1)(n2)(n3)xn4，LLy(n1)n(n1)(n2)(n3)32x，y(n)n!，0．(n1)yyesinx例8設，求．yx解：yexsinxexcosxex(sinxcosx)；yex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2excosx．小結：本節通過案例引入導數的概念，并給出了左導數與右導數的概念、高階導數的概念，要理解導數的幾何意義，并能用幾何意義求切線方程。習題dydx1求下列由參量方程所確定的導數．tx1t1t1txcos4tyysin4t在t02t0在處．(1)，處；(2)xa(tsint)ya(1cost)dy||dyd，求xd2設t，．xt2x1t2ytt2，求它在下列點處的切線方程與法3設曲線方程線方程．2t2(2)．(1)t1；4求下列方程所確定的隱函數的導數．arctanylnx2y2xsinxyx(1)；(2)．5求由方程x23xyy210所確定的曲線在點處的切線方程與法線方程小結：1隱函數求導法則2對數求導法:3.參數4.相關變化率問題(2,1)方程求導法作業：P665(1)_(7);7(2)(4)8(1)(2)10(1)_(5)高等數學教案授課單元教案第2章導數與微分授課單元名稱授課學時22.4微分單元教學知識目標目標能力目標理解微分的概念，會求函數的一階微分能熟練進行微分的計算主要教學知識點微分教學難點用微分解決實際問題《高等數學》，侯風波主基本概念以教材一致，例題編，高等教育出版社。教材處理參考資料《分層數學》，李德才主有調整，增加例題與習題。編，北京交通大學出版社。教學資源1）教材2）課件3）參考書1、課前布置問題預習2、案例引入—提出問題—展開討論—提煉思想—引出概考核手段念—問題求解（完成任務）評價點教學方法與求微分—師生共同點評。3、啟發式，講練結合教學內容2.4微分一、微分的概念1數學引入f(xx)f(x)x，f(x)limx000yf(x)x函數在可導，則00f(xx)f(x)x(lim0)f(x)x000于是0，yf(xx)f(x)f(x)xo(x)．所以000即函數的改變量可表為自變量的改變量的線性式再加上一個自變量的高階無窮小．2實例引入xx今有邊長為x的正方形土地，其面積為Sx2，如果邊長在度量中產生誤差為x，則面積誤差為xS(xx)2x22xx(x)2．此時，S亦表為兩個部分，x(x)22xx(1)線性部分；(2)高階部分．由圖可以看出，線性部分是其主要部分．這個部分就稱為微分．3微分的定義yf(x)x函數在的某鄰域內有定義，給自變量以改變量x，函數相應的改變U(x)00yf(xx)f(x)．如果A,“yAxo(x)”，則稱函數在點可()x0yfx量為00dyfxd()dyAx．yf(x)微，并稱Ax為函數在點x0的微分，記作xx或，即xxxx000二、微分與導數的關系yf(x)xyfxx()定理1函數在可微函數在0可導．0yf(x)xyAxo(x)．設在可微，則0證：limyAyf(x)xx于是，所以在可導．x00yf(x)xo(x)yf(x)x，所以在可微．0yf(x)x設在可導，則00|dy由導數與微分的關系可得．yf(x)若函數在區域f(x)x0xx0yf(x)xI中每一點都可微，則稱在I上可微，其在點的微dyf(x)x分為．dydxf(x)yxdyf(x)dxdx1xx當時，，所以，即．故導數亦稱為微商．三、微分的幾何解釋yf(x)xy函數在可微，則曲yf(x)xyf(x)0線在點的切線存在，如圖．0切線方程為dxyf(x)f(x)(xx)，x000yf(x)f(x)(xx)，x即000Ox0xx0yf(x)xo(x)，而由可微得0xxxf(x)f(x)f(x)(xx)o(xx)．設得00000幾何解釋：在微小范圍內，可以四、微分的計算由導數與微分的關系得，只須求出導數，即亦可得到其微分．“以直代曲”，“以不變代變”，誤差是一個高階無窮小．dyf(x)dxdyxdxdy1x1例如，則，dx；yxysinx，則dycosxdx；dy1dxylnxx，則.微分運算法則(1)duvdudv；(2)duvvduudv；vudvvdud；(4)dfg(x)f(u)g(x)dx,(ug(x))．uu2(3)在(4)中，因為，所以dyf(u)du．dug(x)dxyf(x)微分的這種性質稱為形式不變性，即：不論x是自變量還是中間變元，函數的微分形式不變．yesin(