第三節線性規劃——建模與應用應用線性規劃問題解決實際問題，最重要的一個步驟就是首先要建立實際問題的線性規劃問題的數學模型。建模是一項技巧性很強的創造性的工作，既要求對實際問題有深入的了解，又要求對線性規劃模型的結構特點有很好的把握。本節內容3.1資源分配問題3.2成本收益平衡問題3.3網絡配送問題教學目標熟悉線性規劃問題的類型；理解線性規劃問題的基本建模程序；能洞察這些問題產生的背景中；學習如何用線性規劃描述與分析管理問題；3.1資源分配問題資源分配問題是將有限的資源分配到各種活動（決策）中去的線性規劃問題。這一類問題的共性是在線性規劃模型中每一個函數約束均為資源約束,并且每一種資源都可以表現為如下的形式：使用的資源數量可用的資源數量問題的目標：最有效地利用各種資源，使獲利最大解：這是一個資源分配問題資源分配問題是將有限的資源分配到各種活動（決策）中去的線性規劃問題。確定需求約束的形式如下：表3－1顯示了四個時期每個項目所需資金（百萬元）。工廠1運送到顧客2的產品為2個設司機和乘務人員分別在各時間段一開始時上班，并(1)每種收益的最低可接受水平（管理決策）某公司是商務房地產開發項目的主要投資商能洞察這些問題產生的背景中；研究如何規劃每個輪班人員才能以最小的成本提供令人滿意的服務。項目3：建造購物中心。既能滿足工作需要，又配備最少司機和乘務人員?解:本問題是一個平衡運輸問題項目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規定最大投資額不能超過80萬元；數學模型（線性規劃模型）對資源分配問題，必須收集三種數據：（1）每種資源的可供量；（2）每一種活動所需要的各種資源的數量,對于每一種資源與活動的組合,單位活動所消耗的資源量必須首先估計出來；（3）每一種活動對總的績效測度（如總利潤）的單位貢獻（如單位利潤）。

某公司是商務房地產開發項目的主要投資商該公司有機會在三個建設項目中投資： 項目1：建造高層辦公樓； 項目2：建造賓館； 項目3：建造購物中心。每個項目都要求投資者在四個不同的時期投資：在當前預付定金，以及一年、二年、三年后分別追加投資。表3－1顯示了四個時期每個項目所需資金（百萬元）。投資者可以按一定的比例進行投資和獲得相應比例的收益。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目0（現在）408090160805029080203107060凈現值457050公司目前有2500萬元資金可供投資，預計一年后，又可獲得2000萬元，兩年后獲得另外的2000萬元，三年后還有1500萬元以供投資。那么，該公司要在每個項目中投資多少比例，才能使其投資組合獲得最大的總凈現值？解：這是一個資源分配問題(1)決策變量

設：x1，x2，x3分別為在辦公樓項目、賓館項目、購物中心項目中的投資比例(2)目標函數

本問題的目標是總凈現值最大。(3)約束條件：

公司在各期可獲得的資金限制（資源約束）注意：前一期尚未使用的資金，可以在下一期使用（為了簡化，不考慮資金可獲得的利息）每一時點的資金限制就表現為累計的資金。年份辦公樓項目賓館項目購物中心項目可用資金0（現在）40809025110016014045219024016065320031022080凈現值457050數學模型（線性規劃模型）電子表格模型資源分配問題是將有限的資源分配到各種活動（決策）中去的線性規劃問題。使用的資源數量可用的資源數量該公司有機會在三個建設項目中投資：（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3)購物中心項目的投資比例為13.項目1：建造高層辦公樓；(3)每種活動的單位成本成本收益平衡問題需要的三種數據：成本收益平衡問題與資源分配問題的形式完全不同，這種差異主要是由問題的管理目標不同而造成的。應用線性規劃問題解決實際問題，最重要的一個步驟就是首先要建立實際問題的線性規劃問題的數學模型。表3－1顯示了四個時期每個項目所需資金（百萬元）。工廠2運送到顧客3的產品為9個該公司有機會在三個建設項目中投資：規劃求解結果為：不投資辦公樓項目賓館項目的投資比例為16.5％購物中心項目的投資比例為13.11％此時獲得的總利潤最大，為1811萬元。3.2成本收益平衡問題成本收益平衡問題與資源分配問題的形式完全不同，這種差異主要是由問題的管理目標不同而造成的。對于成本收益平衡問題，管理層采取更為主動的姿態，他們指明哪些收益必須實現（不管如何使用資源），并且要以最低的成本實現所指明的收益。管理層期望獲得成本和收益之間的適度平衡。問題的目標：通過選擇各種活動水平的組合，以最小的成本來實現最低可接受的各種收益水平成本收益平衡問題的共性是所有的函數約束均為收益約束，并具有如下的形式：

完成的水平最低可接受的水平成本收益平衡問題需要的三種數據：(1)每種收益的最低可接受水平（管理決策）(2)每一種活動對每一種收益的貢獻(單位活動的貢獻)(3)每種活動的單位成本排班問題是成本收益平衡問題研究的最重要的應用領域之一在該領域中，管理層意識到在向顧客提供令人滿意的服務水平的同時必須進行成本控制，因此必須尋找成本和收益之間的平衡。研究如何規劃每個輪班人員才能以最小的成本提供令人滿意的服務。例

某航空公司正準備增加其中心機場的往來航班，因此需要雇傭更多的服務人員。排班1:6AM～2PM排班2:8AM～4PM

排班3:中午～8PM排班4:4PM～午夜排班5:10PM～6M時段排班1排班2排班3排班4排班5最少需要人數6AM～8AM√488AM～10AM√√7910AM～中午√√65中午～2PM√√√872PM～4PM√√644PM～6PM√√736PM～8PM√√828PM～10PM√4310PM～午夜√√52午夜～6PM√15每人每天工資(元)170160175180195解:這是一個純成本收益平衡問題（1）決策變量本問題的決策是不同排班的人數。設：xi為排班i的人數(i＝1,2,,5)（2）目標函數本問題的目標是人員總費用(工資)最少（3）約束條件每個時段的在崗人數必須不少于最低可接受水平（最少需要人數）非負數學模型（線性規劃模型）電子表格模型本問題的目標是人員總費用(工資)最少據測定每萬元每次投資的風險指數如右表：應用線性規劃問題解決實際問題，最重要的一個步驟就是首先要建立實際問題的線性規劃問題的數學模型。(3)約束條件：

公司在各期可獲得的資金限制（資源約束）本問題的目標是人員總費用(工資)最少表3－1顯示了四個時期每個項目所需資金（百萬元）。晚上10點班需要15人項目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規定最大投資額不能超過100萬元。資源分配問題是將有限的資源分配到各種活動（決策）中去的線性規劃問題。設司機和乘務人員分別在各時間段一開始時上班，并某晝夜服務的公交線路每天各時間段內所需司機管理的目標：通過配送網絡能以最小的成本完成貨物的配送設：xi-j為從工廠i運輸到顧客j的產品數量(2)每一種活動對每一種收益的貢獻(單位活動的貢獻)項目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規定最大投資額不能超過100萬元。投資者可以按一定的比例進行投資和獲得相應比例的收益。此時獲得的總利潤最大，為1811萬元。求解結果為：早6點班需要48人早8點班需要31人中午班需要39人下午4點班需要43人晚上10點班需要15人總費用（工資）最低，為每天30610元。3.3網絡配送問題管理的目標：通過配送網絡能以最小的成本完成貨物的配送確定需求約束的形式如下：提供的數量＝需求的數量

某公司網絡配送問題某公司在兩個工廠生產某種產品。現在收到三個顧客的下個月定單要購買這種產品，這些產品會被單獨運送。表3—4顯示了運送成本、顧客的訂貨量、工廠的生產量現在公司的物流經理要決定從每個工廠運送多少個產品到每個顧客那里才能使總成本最??？

單位運輸成本（元/個）產量（個）顧客1顧客2顧客3工廠170090080012工廠280090070015訂貨量(個)108927(產銷平衡)解:本問題是一個平衡運輸問題總產量=總訂貨量=27（1）決策變量設：xi-j為從工廠i運輸到顧客j的產品數量（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3)（2）目標函數本問題的目標是使得公司總運輸成本最低（3）約束條件

①從工廠運送出去的產品數量等于其產量②顧客收到的產品數量等于其訂貨量③非負數學模型（線性規劃模型電子表格模型求解結果為：工廠1運送到顧客1的產品為10個工廠1運送到顧客2的產品為2個工廠2運送到顧客2的產品為6個工廠2運送到顧客3的產品為9個工廠所花費的總運輸成本最低,為20500元作業1：某晝夜服務的公交線路每天各時間段內所需司機和乘務人員數如下：

設司機和乘務人員分別在各時間段一開始時上班，并連續工作八小時，問該公交線路怎樣安排司機和乘務人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機和乘務人員?作業2：某部門現有資金200萬元，今后五年內考慮給以下的項目投資。已知：項目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當年末能收回本利110%；項目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規定每年