專題08導數在研究函數圖像與性質中的綜合應用十年大數據十年大數據*全景展示年 份題號考 點考 查 內 容2012理10導數與函數的單調性函數的對稱性及常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數研究函數的單調性，圖像識別理21導數與函數的最值函數的對稱性及常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數研究函數的的最值，分類整合思想文13導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數的幾何意義求曲線的切線2013卷1理16導數與函數的最值函數的對稱性及常見函數的導數、導數的運算法則、利用導數求函數最值卷21011導數與函數的極值常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數研究函數的單調性、極值、對稱性卷1文9導數與函數的極值三角函數函數的圖像與性質及利用導數研究初等函數的圖像與性質卷1文21導數與函數的單調性導數與函數的極值利用導數的幾何意義求曲線的切線、函數單調性與導數的關系、函數最值，運算求解能力及應用意識卷2文21導數與函數的極值常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數研究函數的極值、研究函數的切線問題及取值范圍問題，分類整合思想2014卷2文11導數與函數的單調性已知函數單調性求參數范圍卷2理8導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷2理21導數與函數的單調性本題利用到研究函數的單調性、利用導數研究不等式恒成立問題及利用函數進行近似計算2015卷1文15導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷2文16導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算法則、利用導數的幾何意義求曲線的切線、直線與二次函數的位置關系2016卷179導數與函數的單調性利用導數判斷函數的單調性、函數圖像識別卷1文12導數與函數的單調性常見函數的導數、導數的運算法則、利用導數解函數單調性問題卷2理16導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷2理21導數與函數的最值常見函數的導數、導數的運算法則、利用導數證明不等式、利用導數求最值與值域卷3理15導數的幾何意義函數的奇偶性、常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷3理21導數與函數的最值常見函數的導數、導數的運算法則、利用導數證明不等式、利用導數求最值與值域卷3文16導數的幾何意義函數的奇偶性、常見函數的導數、導數的運算法則及利用導數的幾何意義求曲線的切線2017卷2理11導數與函數的極值函數的奇偶性、常見函數的導數、導數的運算及利用導數研究函數的極值．2018卷156導數的幾何意義函數的奇偶性、常見函數的導數、導數的運算及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷2理13導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷2文3導數與函數的單調性利用導數判斷函數的單調性、函數圖像識別卷2文13導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷379導數與函數的單調性利用導數判斷函數的單調性、函數圖像識別卷3理14導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算及利用導數的幾何意義求曲線的切線2019卷11313導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷367導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷2文10導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算及利用導數的幾何意義求曲線的切線卷3文20導數與函數的最值常見函數的導數、導數的運算法則、利用導數研究函數的單調性、利用導數求最值及分類整合思想．2020卷1理6導數的幾何意義利用導數的幾何意義求曲線的切線文15導數的幾何意義利用導數的幾何意義求曲線的切線卷3理10導數的幾何意義導數的幾何意義的應用，直線與圓的位置關系文15導數的幾何意義常見函數的導數、導數的運算及利用導數的幾何意義求曲線的切線大數據分析大數據分析*預測高考考點出現頻率2021年預測導數的幾何意義16/322021年高考仍然重點利用導數的幾何意義求函數的切線、利用導數研究函數的單調性、極值與最值問題，難度可以基礎題，也可為中檔題，也可為難題，題型為選擇、填空或解答題．導數與函數的單調性7/32導數與函數的極值5/32導數與函數的最值5/32十年試題分類*探求規律考點26導數的幾何意義與常見函數的導數1．(2020全國Ⅰ理6)函數fxx42x3的圖像在點,f1處的切線方程為 ( )A．y2x1

B．y2x1

y2x3

y2x1【答案】Byfxfxff1的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可．fxx42x3，fx4x36x2，f1f12y12x1y2x1B．x2．(2020全國Ⅲ理10)若直線l與曲線y 和圓x2y21相切，則l的方程為 ( )x5y2x1【答案】D

y2x12

y1x12

y1x12 2【思路導引】可以根據圓的切線性質，結合排除法得出正確答案；也可以根據導數的幾何意義設出直線l的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案．【解析】解法一：由與圓相切，故圓心00r

5，符合條件的只有A，D，將答5xxx案A的直線方程帶入y ，得：2x 10，無解；將答案AD的直線方程帶入y ，得：xxxxxx

10，有一解x1．故選D．x法：直線l曲線y 的點為0, 0則00，xx2x函數y 的導數為yx2x

1 ，則直線l的斜率k 1 ，x02x0設直線l的方程為yx02x0

1 xx

x2

y

22x014x050由于直線l與圓x2y21x014x0505

1，兩邊平方并整理得5x24x10x1x1(舍)，0 0 0 0 5則直線lx2y10y1x1D．2 23．(2019全國Ⅲ理6)已知曲線yaexxlnx在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則a1

a=e，b=1C．a1【答案】D

D．a

，b1【解析】

yaexxlnx的導數為y'aexlnx1，又函數yaexxlnx在點(1,ae)處的切線方程為y2xb，可得ae012，解得ae1，又切點為(1,1)，可得12b，即b1，故選D．4．(2019全國Ⅱ文10)曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A．xy10C．2xy210【答案】C

B．2xy210D．xy10y2cosxsinxyxπ2πsiny=2sinx+cosx在點(π,1)處的切線方程為y12(xπ)，即2xy210，故選C．5．(20185)f(x)x3a1)x2axf(xy

f(x)在點(0,0)處的切線方程為y2x【答案】D

yx

y2x

yx【解析】因為函數

f(x)x3(a1)x2ax為奇函數，所以

f(x)f(x)

，所以(x)3(a1)(x)2a(x)[x3(a1)x2ax]，所以2(a1)x20，因為xR，所以a1，所f(x)x3xf(x3x21f(0)1yyx．故選D．

f(x)在點(0,0)處的切線方程為6．(2014全國卷2理8)．設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0，0)處的切線方程為y=2x，則a=()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】ya故選D．

1x1

，且在點(00)2y|lnx,0x1,

x0

a

10

2，即a3，7．(2016年四川)設直線l2fx=

lnx,x

圖象上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是A．(0，1) B．(0，2) C．(0，+∞) D．(1，+∞)【答案】A1 1x1lnx2lnx2，由于l2x

(x

)1，1 21 1 1xxx則 ．又切線：yln (x)，l2:ylnx2 (xx2)，xxx2 1 21x1ylnx1(xx)1x1于是A(0,lnx1)，B(0,1lnx)，所以|AB2，聯立 1 ，1 1 122 1 2

ylnx2x

(xx2)1解得xP

x1x11x1

，所以SPAB22xP

x1x11x1

，因為x11，所以x1x1x

2，所以SPAB的取值范圍是(0,1A．8．(2016年山東)y

f(x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱yf(x)具有T性質．下列函數中具有T性質的是ysinx【答案】A

ylnx

yex

yx3【解析】設函數yf(x)的圖象上兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則由導數的幾何意義可知，點P，Q處切線f(x1k2

f(x2Tk2=f(x1)

f(x2)=1．對于A選項，f(x)cosx，顯然k1k2=cosx1cosx2=1有無數組解，所以該函數具有T性質；對于B選項，f(x)1(x0)，顯然xkk

=11

=1無解，故該函數不具有T性質；對于C選項，f(x)ex>0，1 x1x21 顯然kk=e1e2=1無解，故該函數不具有T性質；對于D選項，

f(x)3x2≥0，顯然1 2kk3x23x21TA．1 2 1 2

ex e9．(202015)fx

x

，則a．4【答案】1【思路導引】由題意首先求得導函數的解析式，然后得到關于實數a的方程，解方程即可確定實數a的值．

x

exxaxa2

exxa1 xa2 ，1a1 ae

ae e則：f1故答案為：1．

1a

a2a24a22a10a1，10．(2020全國Ⅰ文15)曲線ylnxx1的一條切線的斜率為2則該切線的方程為 ．【答案】y2x0【思路導引】設切線的切點坐標為(x0,y0)，對函數求導，利用y|x2，求出x0，代入曲線方程求出y0，0得到切線的點斜式方程，化簡即可．【解析】設切線的切點坐標為(xyylnxxy11y|

112,x

2，0 0

xx0 0 00x∴切點坐標為(1,2)，所求的切線方程為y22(x1)，即y2x，故答案為：y2x．x(2019國Ⅰ理13)線y(x2xex點(0)的線程為 ．【答案】y3xy

x2）exy'

x23xx0y'3y3

x2x）exk3y00y03x0y3x．1．2018國卷3理1)線yaxex點0的線斜為2則a ．【答案】3【解析】由題知，y(axa1)ex，則f(0)a12，所以a3．13．(2018全國卷2理13)曲線y2ln(x在點(0,0)處的切線方程為 ．【答案】y2xy

2x1

，k

20

2，y2x．14．(2018全國卷2文13)曲線y2lnx在點0)處的切線方程為 ．【答案】y2x2yfx2lnxfx2y2lnx在點0kf12，則xy02x1y2x2．15．(2017全國卷1理14)曲線yx21在點(1，2)處的切線方程為 ．x【答案】yx1y

f(xf(x)2x1x2

，所以f(1)211，所以曲線yx21在點(1,2)處的切x線方程為y21(x1)，即yx1．16．(2016年全國Ⅱ理16)若直線ykxb是曲線ylnx2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b．【答案】1ln21ykxbylnx2yln(x的切點分別為x1ln2)和x2ln(x21))．1 則切線分別為y ln21

(xx1)，yln(x21)x2x

1(xx2)，化簡得y1xlnxx 1

1，y

1x1

xln

x2 ，x111依題意，x1

1x21

2 2，解得x1，x 1 2ln1lnx2從而bln11ln2．

2x2117．(2016年全國Ⅲ理15)已知f(x)為偶函數，當x0時，f(x)ln(x)3x，則曲線yf(x)，在點3)處的切線方程是 ．【答案】y2x1x0fx)lnx3xfx)13f2，則在點處的切x線方程為y32(x1)，即y2x1．18．(2016III文)f(xx0f(x)ex1xy處的切線方程式 ．【答案】y2x

f(x)在點(1，2)x0x0f(x)

x1

xex．又f(x)為偶函數，所以f(x)f(x) x，eex0fx)ex11y程為y22(x1)，即y2x．

f(x)在點(1，2)處的切線的斜率為f(1)2，所以切線方19．(2015全國1文14)已知函數a．【答案】1

fxax3x1的圖像在點f1的處的切線過點27【解析】∵f(x)3ax21，∴f(1)3a1，即切線斜率k3a1，又∵f(1)a2，∴切點為(1，a27a2)，∵切線過(2，7)，∴

12

3a1，解得a1．20．(2012全國文13)曲線yx(3lnx1)在點(1，1)處的切線方程為 【答案】4xy30．【解析】∵y3lnx4，∴切線斜率為4，則切線方程為：4xy30．21．(2015216)yxlnx在點a= ．【答案】8

處的切線與曲線yax2a2x1

相切，則【解析】由y11可得曲線yxlnx在點1,1處的切線斜率為2，故切線方程為y2x1，與xyax2a2x

ax2ax20a0，所以由

a28a0a8．22．(2015陜西)設曲線yex在點(0，1)處的切線與曲線y1(x0)上點P處的切線垂直，則P的坐標x為 ．【解析】(1,1)yexyexyex在點0,1

y

x0

e01，設0的坐標為xyx0y1y1y1y1P處的切線的0xxxx0 0 0 2xxxx0

y 1k

1，所以11，即x21，解得x1，因為x0，所xx2 xx0 2 1 2xx0

2 0 0 00以x01，所以y01，即P的坐標是1,1，所以答案應填：1,1．23．(2014廣東)曲線ye5x2在點(0,3)處的切線方程為 ．【答案】y5x3y5e5x(0處的切線的斜率為y35(x0)y5x3．24．(2014江蘇)xOyyax2b為常數)P(2,5)Px處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是 ．【答案】－3b【解析】由題意可得54ab2

① 又f(x)2axbx2

，過點P(2,5)的切線的斜率4a b 4 2b ②，由①②解得a1,b2，所以ab3．25．(2014安徽)若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：直線l在點P0,y0處與曲線C相切；ii)曲線C在P附近位于直線l的兩側，則稱直線l在點P處“切過”曲線C．下列命題正確的是 (寫出所有正確命題的編號)①直線l:y0在點P0,0處“切過”曲線C：yx3②直線l:x1在點P1,0處“切過”曲線C：y(x1)2③直線lyxP0,0處“切過”曲線Cysinx④直線lyxP0,0處“切過”曲線Cytanx⑤直線l:yx1處“切過”曲線Cylnx．【答案】①③④x0【解析】對于①，y3x2,y| 0，所以l:y0是曲線C:yx3在點P(0,x0

處的切線，畫圖可知x1曲線C:yx3在點P(0,0)附近位于直線l的兩側，①正確；對于②，因為y2(x1),y| 0x1x0l:x1不是曲線C：y(x1)2在點P1,0處的切線，②錯誤；對于③，ycosx,y| 1x0P0,0處的切線為lyx，畫圖可知曲線CysinxP0,0附近位于直線l的兩側，③正確；對y

1cos2x

，y

x0

1cos20

1處的切線為lyx，畫圖可知曲線Cytanx在P0,0附近位于直線ly1y|x

x1

1，在點P1,0處的切線為l:yx1，令h(x)x1lnx(x0)，可得h(x)11x1，所以h(x)x x

min

h(1)0，故x1≥lnx，可知曲線C：ylnx在點P1,0附近位于直線l的下側，⑤錯誤．26．(2013江西)若曲線y1R)在點2)處的切線經過坐標原點，則．【答案】2yky2(2016)設函數f(x)eaxbxy求ab的值；f(x的單調區間．

過點(1,2)解得2．f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y(e1)x4，【解析】(I)f(x)xeaxbx，∴f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb∵曲線yf(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y(e1)x4∴f(2)2(e1)4，f(2)e1即f(2)2ea22(e1)4 ①f(22)ea2be1 a2be由(I)f(xxe2xexf(xx)e2xe令g(x)(1x)e2x，∴g(x)e2x(1x)e2x(x2)e2xx,222,g(x)0g(x)極小值∴g(x)的最小值是g(2)(12)e221f(xf(2)g(2)ee10．f(x)0對xR恒成立．∴f(x)在,上單調遞增，無減區間．a28．(2018天津)已知函數f(x)ax，g(x)logx，其中a1．ah(xf(xxa的單調區間；yf(x)在點(x1,f(x1))處的切線與曲線yg(x)在點(x2g(x2))處的切線平行，證明xg(x)2lnlna；1 2 a1aee時，存在直線l，使lyf(xyg(x的切線．【解析】(1)h(x)axxlnah(x)axlnalna．令h(x0x0．由a1，可知當x變化時，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x(,0)0(0,)h(x)0+h(x)極小值所以函數h(x)的單調遞減區間(,0)，單調遞增區間為(0,)．f(x)axlnay

f(x)在點(x,f(x))處的切線斜率為axlna由g(x) 1 ，1 1 1 xlna1 可得曲線yg(x)在點(x,g(x))處的切線斜率為 1 因為這兩條切線平行故有axlna 1 1 x22 2 lna xlnax222即xa1na)21．2a為底的對數，得logax22logalna0g(x2

2lnlna．lna證明：yf(x)在點(x,a1)處的切線l：ya1a1na(xx)．1 1 1x1曲線yg(x)在點(x2,logax2)處的切線l2：ylogax2x12

lna(xx2)．1aee時，存在直線lly

f(x)的切線，也是曲線yg(x)的切線，只需證明當1aeex2(0l1l2重合．1 axlna 1 1 1

lna即只需證明當a≥ee時，方程組2

有解，a1xa1naogx1 ② 1

a2 lna1 x

1 2lnlna由①得x2 ，代入②，得a11lna 0． ③a1na)2

lna

lna1aee的方程③有實數解．設函數u(x)axxaxlnax1

1ln

2lnlna，lna即要證明當a≥ee時，函數yu(x)存在零點．u(x1lna)2xaxx(0)時，u(x0x(0時，u(x單調遞減，又u(0)10，u(

1(ln

1)1a(lna

0，xx0，使得u(x)0，即1na)2xa00．0 0 0 0由此可得u(x)在(,x0)上單調遞增，在(x0,)上單調遞減．u(x)在xx0處取得極大值u(x0)．1aee，故ln(lna1，x x

2lnlna所以u(x0)a0x0a0lnax0 lna

lna1 2lnln

2lnlna0x(lna)2x0 lna 0

ln

≥0．1下面證明存在實數t，使得u(t)0．由(1)可得ax≥1xlna，1當x 時，lna

1 2lnlna有u(x)≤(1xlna)(1xlna)x lna

lna(lna)2x2x1

1ln

2lnlna，lna所以存在實數t，使得u(t)01aee，使得u(x10．1aee時，存在直線l，使ly27導數與函數的單調性

f(x)的切線，也是曲線yg(x)的切線．【201823fx

exexx2

的圖像大致為( )【答案】B【解析】x0fxexexfx，fxA，fee10，x2D；fx

exexx2exex2x4

x2exx2ex 3

，x2fx0，所以，舍去x xC，故選B．2．(2018全國卷3理7)函數yx4x22的圖像大致為( )【答案】D【解析】當x0時，y2，可以排除A、B選項；又因為y4x32x4x(x 2)(x 2)，則2 22f(x)0的解集為(, 2)U(0, )，f(x)單調遞增區間為(, 2)，(0, 2)；f(x)0的解22 2 2 2集為(

0)U( f(x單調遞減區間為222 222

0)，( D選項正確．222 2223．(2016卷1理7)．函數y2x2e|x||在[–2，2]的圖像大致為【答案】D【解析】由題知該函數是偶函數，當x0時，

f(x)2x2ex，所以

f(x)4xex，因為f(0),f4e0x0f(x00，當0xx0時，f(x)0，當x0x1時，f(x)0，所以f(x)在[0,x0]是減函數，在[x0,1]上是增函數，故選D．4．(2016全國1文12)若函數f(x)x-1sin2xasinx在,單調遞增，則a的取值范圍是3(A)

(B)1

(C)1,1

(D)1,1【答案】C

3

33

3【解析】由題知，f(x)=12cos2xacosx=12(2cos2x1)acosx=4cos2xacosx503 3 3 3f(1)1a0對xR恒成立，設tcosx，即f(t)4t2at50對t恒成立，∴ 3 ，解得13

a

3 31，故選C．3

f

1a035．(2014全國卷2，文若函數fx在區間單調遞增，則k的取值范圍是( )A．,2【答案】D

B．,

C．2,

D．f(x)k1f(x0xk1x1，所以011，x故k的取值范圍是1,，故選D．6．(2012全國理10)已知函數f(x)= 1

x x，則y=f(x)的圖像大致為ln(x1)x【答案】B1】定義域為(－1，0)∪(0，+∞)f(x=

x(x1)(ln(x1)x)2∴f(x)在(－1，0)是減函數，在(0，+∞)是增函數，結合選項，只有B符合，故選B．2g(x)ln(1xxg(x)

x1g(x)01x0,g(x)0x0g(x)g(0)07．(2014221)fxexex2x(Ⅰ)fx的單調性；(Ⅱ)gxf2xxx0gx0，求b的最大值；2(Ⅲ)已知 1.4143，估計ln2的近似值(精確到0．001)2【解析】(Ⅰ)f'(xex1ex

20x=0f(x在R上單調遞增．(Ⅱ)gxf2xx=e2xe2x4b(exex)4)x，g(x)=2e2x2e2x4b(exex)4)=2(exex2)(exex2b2)1 當b≤2g(xx=0g(x在(x＞0g(xg(0；2 當b2x滿足2exexb20xn(b1b2b)g(x)＜0g(x)在(0ln(b1

b22b)是減函數，當0xln(b1

b22b)時，g(x)＜g(0)=0，綜上所述，b的最大值為2．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，g(ln2)=322b2(2b1)ln2，2當b=2g(ln2)=32

6ln2＞0，解得ln2＞2822823

＞0．6928．324當b= 1時，ln(b13243

b22b)=ln2，22g(ln2)= 222

2)ln2＜0，∴ln2＜1818 2x1

＜0．6934，∴ln2的近似值為0．693．8．(2014山東)f(x)alnx

x1

，其中a為常數．(Ⅰ)若a0y

f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(Ⅱ)討論函數f(x)的單調性．【解析】(Ⅰ)a0f(x)

xx

,x(0,)，f(x)

2(x1)2

f1f0，2所以曲線yf(x)在(1,f(1))處的切線方程為x2y10．(Ⅱ)函數f(x)的定義域為(0,)， a 2 ax(2a2)xa2f(x) ，x (x1)2 x(x1)2當a0f(x)0f(x在(0上單調遞增，當a0g(x)ax22a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，1①當a 時，0，121(x1)2f(x2 0f(x在(0上單調遞減，x(x1)2②當a1時，0,g(x)0，f(x)0，函數f(x)在(0,)上單調遞減，21③當 a0時，0，12(a1) 2a1設x1,x2(x(a1) 2a1(a(a1) 2a1

a ，x2 a ，a1 2a1a22a1 2a1a22a1 2a

0，1x(0g(x0,f(x0f(x單調遞減，x(x1,x2)g(x)0,f(x)0f(x)單調遞增，x(x2g(x)0,f(x0f(x單調遞減，a0f(x在(0上單調遞增；1當a 時，函數f(x)在(0,)上單調遞減；2當1a0時，2

f(x)

(a(a1) 2a1a

，( ,((a1) 2a1

上單調遞減，在(a(a1) 2a1(a1) 2a1a a28導數與函數的極值1．(2017全國卷2理11)若x2是函數f(x)(x2ax1)ex1的極值點，則f(x)的極小值為A．1【答案】A

B．2e3

C．5e3

D．1f(x)2xa)ex1x2ax1)ex1x2a2)xa1]ex1f(2)0，af(x)(x2x1)ex1f(x)(x2x2)ef(x)0xx1，所以f(x)

(2),(1)(2,1)

f(x)

的極小值為f(1)(111)e111，故選A．2．(2013全國卷2理10)已知函數f(x)=x3ax2bxc，下列結論錯誤的是A．x0R f(x0)=0，y=f(x的圖像是中心對稱圖形f(xf(x在區間)單調遞減f(xf(x1=0，【答案】CCa3bc0f(x)x33x29xf'(x)3x26x9，所xx1f'(x0x1f'(x0f(x在(3和內為增，(3,1)內為減，則x1時為極小值點，但在區間(,1)不單調遞減，顯然錯誤，故選C．3．(2013全國卷1文9)函數f(x)=(1cosx)sinx在[,]的圖像大致為【答案】C【解析】顯然f(x)是奇函數，故排除B，當x0時，f(x)＜0，故排除A，∵f(x)=sin2xcosxcos2x=2cos2xcosx1，由f(x)≥0解得1cosx，又∵x，2∴3x3，同理，由f(x)≤0解得，x3或3x，4 4 4 4∴f(x)在[－，－43

]上是減函數，在[－41 1 2

， ]上是增函數，在[4

，]上是減函數，∴當x=4

f(xf

，最小值點靠近－，故選C．4 2福建)若a0，b0f(x)4x3ax22bx2x1的最大值等于A．2 B．3 C．6 D．9【答案】Df(x)12x22axf0，即122a0ab6a0b0，abab)29，當且僅當ab3D．2(201浙江)設函數fxx2xca,,cRx1為函數fxexyfx的圖象是 A B C D【答案】Dxf(x)ex的一個極值點，則易知acA，Bf(x)a(x1)2，∴f(x)exf(xf(x)]exa(x1)(x3)exxf(x)exCxb2ab

0，且開口向下，∵a0,b0，∴f(1)2ab0，也滿足條件；選項D中，對稱軸x 0，且開口向上，∴a0,b2a，∴f2ab0，與題圖矛盾，故選D．2a6．(2015重慶)f(x)

3x2axex

(aR)．(Ⅰ)f(xx0ay(Ⅱ)若f(x)在[3,)上為減函數，求a的取值范圍．(6xa)ex(3x2ax)ex【解析】(Ⅰ)對f(x)求導得f'(x) (ex)2因為f(x)在x0處取得極值，所以f'(0)0即a0．

f(x在點f3x2(6a)xex

處的切線方程；,當a0f(x3 3

3x2ex

,f'(x)

3x26xex

,故f

3,fe

,從而f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y e e

(x1化簡得3xey0．3x2(6a)xa(Ⅱ)由(Ⅰ)知f'(x) ．ex令g(x)3x2(6a)xa，6a a23666a a2366由g(x)0解得 ，x2 當x時，g(x)6a a23666a a23666a a236xx2g(x)0f'(x0f(x為增函數；xx2g(x)0f'(x6a a2369由f(x)在上為減函數，知x2 解得a ,96 2故a的取值范圍為9,．2 121)f(xex(axbx24xyy4x4(Ⅰ)求a，b的值(Ⅱ)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值【解析】(Ⅰ)f(x)=ex(axab)2x4．f(0=4f(0=4，故b4ab=8，從而a=4b4；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=4ex(x1)x24x，f(x)=4ex(x2)2x4=4(x2)(ex1)，2

f(x)在點(0，f(0))處切線方程為令f(x)=0得，x=ln2或x=-2，∴當x(,2)(ln2,)時，f(x)＞0，當x∈(-2，ln2)時，f(x)＜0，f(x在(-∞，-2)，ln2，+∞)單調遞增，在(-2ln2)上單調遞減．x=-2f(xf(2)4(1e2．8．(2013全國卷2文21)已知函數f(x)x2ex．(Ⅰ)f(x的極小值和極大值；(Ⅱ)當曲線yf(x)的切線l的斜率為負數時，求l在x軸上截距的取值范圍．【解析】(Ⅰ)f(x)=2xexx2ex=xex(2x)當x＜0或x＞2時，f(x)＜0，當0＜x＜2時，f(x)＞0，∴f(x)在(-∞，0)單調遞減，在(0，2)單調遞增，在(2，+∞)單調遞減．∴當x=0時，f(x)取極小值0，當x=2時，f(x)取極大值4e2．(Ⅱ設切點xy)f(xxex0(2x)0 0 0 0 0由題知f(x)＜0得，x＜0或x＞2，∴l的方程為yx2ex0xex0(2x)(xx)，0 0 0 0 0 0 0000令y=0，解得l在x軸上截距x=x x0 (x＜0或x＞2)= 000

x232x2(x2)000x2x2(x2)000＞2取等號，

2x02

23≥2

35

2x02

x0

22

2時，2

x24x2x0當x＜0時，設g(x)=x0

x1，∴g(x)= 1=0 0 ＞0，00 0 2 00

(x0

(x0

2)2∴g(x0)在(－∞，0)單調遞增，∴g(x0)＜g(0)=0，綜上所述，l在x軸上截距取值范圍為(－∞，0)∪(5，+∞)．9．(2018北京)設函數f(x)[ax2(4a1)x4a3]ex．yf(x在點fx軸平行，求a；f(xx2a的取值范圍．【解析】(1)因為f(x)[ax2(4a1)x4a3]ex，所以f(x)[2ax(4a1)]ex[ax2(4a1)x4a3]ex(xR)=[ax2(2a1)x2]ex．f(1)(1a)e．f0，即(1a)e0a1．f0．所以a的值為1．(2)由(1)得f(x)[ax2(2a1)x2]ex(ax1)(x2)ex．1若a ，則當x12

1(,2)a

時，f(x)0；當x(2,)時，f(x)0．所以f(x)0在x2處取得極小值．1若a≤ ，則當x(0,2)時，x20，ax1≤12 21

x10，所以f(x)0．所以2不是f(x)的極小值點．1綜上可知，a的取值范圍是(,)．1210．(2017山東)fxx22cosxgxexcosxsinx2x2e2.71828數的底數．(Ⅰ)求曲線yfx在點f處的切線方程；(Ⅱ)h(x)g(xaf(x)(aRh(x的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值．【解析】(Ⅰ)由題意f22fx2x2sinx，fyfx在點f處的切線方程為y22x，即 y2．(Ⅱ)由題意得h(x)ex(cosxsinx2x2)a(x22cosx)，因為hxexcosxsinx2x2exsinxcosx2a2x2sinx2exxsinx2axsinx2exaxnx，mxxsinxmx1x0mxRm(00,所以 當x0時，m(x)0,x0mx0a0exa0x0hx0hx單調遞減，x0hx0hx單調遞增，x0hx取得極小值，極小值是當a0x2exenaxnx

h02a1；由hx0

lna，x2=0①當0a1時，lna0，xaexelna0,hx0hx單調遞增；xlna0exelna0,hx0hx單調遞減；x0exelna0,hx0hx單調遞增．xlnahx取得極大值．hnaan2a2nannasna2，x0hx取到極小值，極小值是h02a1；②當a1時，lna0，xhx0hx在上單調遞增，無極值；③當a1時，lna0所以 當x,0時，exelna0，hxhx單調遞增；當x0,a時，exelna0，hxhx單調遞減；當xlna,時，exelna0，hxhx單調遞增；所以 當x0時hx取得極大值，極大值是h02a1；當xlna時hx取得極小值．hnaan2a2nannasna2．綜上所述：a0hx在0上單調遞減，在0上單調遞增，hxh02a1；當0a1hxlna和0a和0上單調遞增，在lna0hx有極大值，也有極小值，hnaan2a2nannasna2h02a1；a1hx在上單調遞增，無極值；a1hx在0和lna上單調遞增，在0ahx有極大值，也有極小值，h02a1；hnaan2a2nannasna2．11．(2014山東)

xexx2x

k(2x

lnxke2.71828是自然對數的底數)．(Ⅰ)k0fx的單調區間；(Ⅱ)fx在02k的取值范圍．【解析】(Ⅰ)yfx的定義域為(0) exx22xex 2 1 (x2)(exkx)f(x) k( ) (x0)x4 x2 x x3由k0可得exkx0x(02)f(x0y

f(x)單調遞減，x(2f(x)0y

f(x)單調遞增，所以f(x)的單調遞減區間為(0,2)，f(x)的單調遞增區間為(2,)(Ⅱ)由(Ⅰ)k0f(x在(02內單調遞減，f(x在(02)內不存在極值點；當k0gxexx[0g(x)exkexelnk．當0k1x(02)g(x)exk0ygx單調遞增x(0,lnk)lnk(lnk,)gxx(0,lnk)lnk(lnk,)gx0g(x)函數在(0,2)內存在兩個極值點g(0)0g(lnk)0 e2當且僅當g(2)00nk

，解得ek ，2e2綜上函數fx在0,2內存在兩個極值點時，k的取值范圍為(e, )．2考點29導數與函數的最值1．(2011湖南)x

f(x)x2g(x)lnx

的圖像分別交于點M,N，則當MN達到最小時t的值為A．1 B．12

2

2【答案】D【解析】由題|MN|x2lnx(x0)h(x)x2lnxh'(x2x1h'(x0解得x22222x 因x(0, )時0當x( ,)時0所以當x 即t 時MN|222222 2 2 2 2達到最小．若函數f(x)=(1x2)(x2axb)的圖像關于直線x=－2對稱，則f(x)的最大值是 ．【答案】16【解析】由f(x)圖像關于直線x=－2對稱，則0=f(1)f(3)=[1(3)2][(3)23ab]，0=f(1)f(5)=[1(5)2][(5)25ab]，解得a=8，b=15，∴f(x)=(1x2)(x28x15)，∴f(x)=2x(x28x15)(1x2)(2x8)=4(x36x27x2)=4(x2)(x25)(x25)55當x∈(－∞，2 )∪(－2，2 )時，f(x)＞0，5555當x∈(2 ，－2)∪(2 ，+∞)時，f(x)＜0，555555∴f(x)在∞2 )單遞(2 －2)單遞在(－2 )單遞(2 ，55555+∞)單調遞減，故當x=2 和x=25

5f(2

5)=f(2

5)=16．3．(2016年全國Ⅱ)(I)討論函數f(x)x2ex的單調性，并證明當x0時，(x2)exx20；x2exaxa(II)a值域．

gx=x2

(x

有最小值．設gx的最小值為h(a)，求函數h(a)的【解析】(I)fxx2exx2 xx2 4

x2exfx

x

x22

x22 x22,fx0fx在2和2,上單調遞增∴x0時，x2exf0=1x2∴x2exx20 (x2)exa(x

x2(Ⅱ)g(x) x3

(f(x)a)，x3由(Ⅰ)知，f(x)a單調遞增，對任意的a0，1，f(0)aa10，f(2)aa0，因此，存在唯一xa(0,2]，使得f(xa)a0，即g(xa)0當0xxafxa0gx0gx單調遞減；xxafxa0gx0gx單調遞增．因此g(x)在xxa處取得最小值，最小值為exaa(x) exaf(x)(x) exag(xa)a a a ．x2

x2a a ah(a)

ea

xe，由( e

(x1)ex 0

單調遞增．xa2

x2 (x2)

x21 e0

exa

e2 e2axa(02202h(aa

x2224，ex 1e224因為x2單調遞增，對任意的(, ]，存在唯一的xa(0,2]，24 a a 2 a f(x) ，使得h(a) ，所以h(a)的值域為，． 2 1 e 2 綜上，當a [0,1)時，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域為，． 4．(2016年全國Ⅲ)f(x)2xx1，其中0，記|f(x|A．(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)求A；(Ⅲ)證明|f(x)|≤2A．【解析】(Ⅰ)f(x)2asin2x(a1)sinx．(Ⅱ)當a1時，|f(x)||asin2x(a1)(cosx1)|a2(a2因此，A3a2．

f(0)當0a1f(xf(x)2acos2xacosx1．g(t)2at2a1A是|g(t|在上的最大值，1ag(1)a，3a2，且當t 時，g(t)取得極小值，4a1a

(a1)2

a26a1極小值為g( ) 1 ．4a 8a 8a1a 1 1令1 1，解得a 舍去)，a ．4a 3 5(ⅰ)0a1g(t在|g(1|a||23a|g(1|，所以5A23a．(ⅱ)當15

1aa1時，由g(1)2(1a)0，知g(1)g( )．4a1a

(1a)(17a)

1a a26a1又|g( )||g(1)| 0，所以Ag( )．4a 8a23a, 0a

4a 8a 5a26a11綜上，A 8a

, a1．5

a1(Ⅲ)由(Ⅰ)得|fx2asin2xasinx2a|a1|．當0a1|fx|1a24a2(23a2A．51 當 a1時，A 131，所以|fx)|1a2A．1 5 8 8a 4當a1時，|f(x)|3a16a42A，所以|f(x)|2A．5．(2015新課標2文21)已知函數f(x)lnxa(1x)．(Ⅰ)討論f(x)的單調性；(Ⅱ)當f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍．【解析】(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,)，f(x)1a．x若a≤0，則f(x)0，所以f(x)在(0,)單調遞增．a0x1

1(0,a

f(x)0x1a

f(x0f(x在(01)a

單調遞增，在(,)單調遞減．a(Ⅱ)由(Ⅰ)a0f(x在(0a0f(xx1取得最大值，最大值為a1 1 1f()ln a(1 )lnaa1．a a a1因此f()2a2等價于lnaa10．1ag(a)lnaa1g(a在(0g0．于是，當0a1g(a0a1g(a)0．因此a的取值范圍是(0,1)．6．(2017北京)已知函數f(x)excosxx．(Ⅰ)求曲線yf(x)在點(0,f(0))處的切線方程；(Ⅱ)求函數f(x)在區間[0, ]上的最大值和最小值．2【解析】(Ⅰ)因為f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1,f(0