2022屆上海市閔行區高考二模數學試題一、單選題1．參數方程（其中）表示的曲線為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】將參數方程化為普通方程即可得到結果.【詳解】由參數方程可得曲線普通方程為：，曲線為拋物線.故選：D.2．“角的終邊關于軸對稱”是“"的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條許 D．既不充分也不必要各件【答案】B【分析】先證明充分性，再舉出反例說明必要性不成立，得到答案.【詳解】由角的終邊關于軸對稱，則，可知，即成立，充分性成立；當時，角的終邊關于軸對稱或，所以“角的終邊關于軸對稱”是“”的充分不必要條件，故選：B.3．已知是平面內不共線的三點，點滿足為實常數，現有下述兩個命題：（1）當時，滿足條件的點存在且是唯一的；（2）當時，滿足條件的點不存在.則說法正確的一項是（

）A．命題（1）和（2）均為真命題B．命題（1）為真命題，命題（2）為假命題C．命題（1）和（2）均為假命題D．命題（1）為假命題，命題（2）為真命題【答案】A【分析】時，題干條件變形得到，由向量基本定理得到滿足條件的點存在且是唯一；當時，條件變形得到，得到三點共線，與已知矛盾，故（2）為真命題.【詳解】當時，，所以，所以，因為不共線，由向量的基本定理得：滿足條件的點存在且是唯一，①正確；當時，，即，所以∥，因為，有公共點，所以三點共線，這與題干條件是平面內不共線的三點相矛盾，故滿足條件的點不存在，（2）為真命題.故選：A4．已知直線與圓有公共點，且公共點的橫?縱坐標均為整數，則滿足的有（

）A．40條 B．46條 C．52條 D．54條【答案】A【分析】通過分析得出圓上的整數點共有12個，由直線為截距式，先排除掉關于原點對稱的兩點所連直線，關于x軸對稱的兩點所連直線（不含），關于y軸對稱的兩點所連直線（不含），再結合變形為，利用幾何意義得到原點到直線的距離小于等于，利用垂徑定理，弦長越小，原點到直線的距離越大，故先求解最小弦長，進而求出原點到此類直線的距離，與比較后發現不合要求，進而繼續求解第二小弦長，第三小弦長，求出原點到每類直線的距離，與比較得到結論，利用組合知識求出答案.【詳解】圓上的整數點共有12個，分別為，如圖所示，由題意可知：直線的橫、縱截距都不為0，即與坐標軸不垂直，不過坐標原點，所以關于原點對稱的兩點所連直線不合題意，有6條，舍去，關于x軸對稱的兩點所連直線（不含）不合題意，有4條，舍去，關于y軸對稱的兩點所連直線（不含）不合題意，有4條，舍去其中變形為，幾何意義為原點到直線的距離小于等于，這12個點所連的直線中，除去以上不合要求的直線外，根據弦長從小到大分為類，以下為具體情況：①，弦長為的直線有4條，此時原點到此類直線的距離為，不合要求，舍去②，弦長為的直線有8條，此時原點到此直線的距離為，不合要求，舍去③，弦長為的直線有8條，此時原點到此直線的距離為，滿足要去，④其他情況弦長均大于，故均滿足要求，由組合知識可知：滿足要求的直線條數為：故選：A【點睛】對于比較復雜一些的排列組合知識，直接求解比較困難的時候，可以先求解出總的個數，再減去不合要求的個數，得到答案.二、填空題5．設全集，集合，則___________；【答案】【分析】先計算方程，求出，從而求出補集.【詳解】由解得：，所以，故故答案為：6．不等式的解集為___________；【答案】【分析】利用指數函數的單調性解不等式，求出解集.【詳解】即，解得：故答案為：7．若為純虛數（為虛數單位），則實數___________；【答案】-1【分析】先利用復數的除法法則化簡得到，根據為純虛數，得到方程，求出，檢驗后得到答案.【詳解】，因為為純虛數，所以，解得：，此時，符合要求，故答案為：-18．已知的反函數的零點為2，則實數的值為___________；【答案】4【分析】根據反函數之間的關系求解即可.【詳解】的零點為2，即的圖象過點（2，0），所以的圖象過點（0，2），即，解得，故答案為：49．某學校志愿者協會有高一年級120人，高二年級100人，高三年級20人，現用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本，若從高二年級100人中抽取的人數為10，則___________；【答案】24【分析】由分層抽樣等比例性質求樣本容量.【詳解】由題意，，可得.故答案為：2410．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的4倍，則它的側面積擴大為原來的___________倍.【答案】2【分析】求出底面半徑擴大為原來的2倍，從而得到側面積擴大為原來的2倍.【詳解】設圓柱的高為，底面半徑為，則體積為，體積擴大為原來的4倍，則擴大后的體積為，因為高不變，故體積，即底面半徑擴大為原來的2倍，原來側面積為，擴大后的圓柱側面積為，故側面積擴大為原來的2倍.故答案為：211．若函數的圖像向右平移個單位后是一個奇函數的圖像，則正數的最小值為___________；【答案】【分析】先用輔助角公式得到，求出平移后的解析式，根據奇偶性得到，從而當時，求出的最小值.【詳解】，向右平移個單位后解析式為，則要想使得為奇函數，只需，解得：，因為，所以，，解得：，，當時，正數取得最小值，所以.故答案為：12．若數列滿足，且存在，則___________；【答案】9【分析】由題設有，令有，解方程即可得結果.【詳解】由題意，，則，又存在，故，令，則，所以，可得或（舍），所以.故答案為：913．核酸檢測是疫情防控的一項重要舉措.某相鄰兩個居民小區均計劃在下月的1日至7日這七天時間內，隨機選擇其中的連續三天做核酸檢測，則這兩個居民小區至少有一天同時做核酸檢測的概率為___________；【答案】【分析】先求出在下月的1日至7日這七天時間內，隨機選擇其中的連續三天做核酸檢測，兩個居民小區總的選擇情況，再計算出兩個小區沒有一天同時做核酸的情況，相減后得到兩個居民小區至少有一天同時做核酸的情況，進而求出相應的概率.【詳解】在下月的1日至7日這七天時間內，隨機選擇其中的連續三天做核酸檢測，兩個居民小區均有5種選擇，分別為1日至3日，2日至4日，3日至5日，4日至6日，5日至7日，故總的情況有種，其中兩個小區沒有一天同時做核酸的情況有一個小區選擇1日至3日，另一個小區選擇4日至6日或5日至7日，一個小區選擇2日至4日，另一個小區選擇5日至7日，共有3種情況，再進行排列，所以共有種情況，則兩個居民小區至少有一天同時做核酸的情況個數為，所以兩個居民小區至少有一天同時做核酸的概率為故答案為：14．已知函數的定義域為，且對任意實數，都滿足，則實數___________；【答案】1【分析】根據條件得到，即為偶函數，根據列出方程，求出實數的值.【詳解】因為的定義域為R，所以恒成立，故，又因為對任意實數，都滿足，則對于實數，都滿足，所以，所以為偶函數，從而，化簡得：，要想對任意，上式均成立，則，解得：故答案為：115．已知雙曲線的實軸為，對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，則雙曲線的兩條漸近線夾角的最大值為___________；【答案】【分析】通過分析得到，設漸近線與x軸的夾角為，則，求出，從而求出雙曲線的兩條漸近線夾角的最大值.【詳解】對于實軸上的任意點，在實軸上都存在點，使得，當點位于原點時，則要，才能滿足要求，所以，設漸近線與x軸的夾角為，則，因為，則雙曲線的兩條漸近線夾角為，故答案為：16．已知無窮等比數列的各項均為正整數，且，則滿足條件的不同數列的個數為___________；【答案】13【分析】對題干條件變形得到，整理后得到，得到能整除，且，因為，所以，求出滿足條件的不同數列的個數.【詳解】由題意得：此等比數列的公比，由得：，則，即，所以能整除，且因為，所以，解得：，經檢驗，均滿足要求，故滿足條件的不同數列的個數為13個.故答案為：13【點睛】本題的關鍵點為化簡整理得到，結合能整除，且，，從而得到，求出答案..三、解答題17．如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，為棱的中點.(1)求證：平面；(2)若，求點到平面的距離.【答案】(1)證明過程見解析；(2)【分析】（1）先證明出，DE⊥AD，從而證明線面垂直；（2）等體積法求解點到平面的距離.【詳解】(1)證明：因為平面，平面，所以，因為四棱錐的底面為菱形，，所以為等邊三角形，因為為棱的中點所以BC，因為AD∥BC，所以DE⊥AD，因為，所以平面PAD，(2)連接PE，因為，從而，，所以，設點到平面的距離為h，其中由勾股定理得：，由三線合一知：，所以，而，解得：，所以點到平面的距離為.18．已知是公差為的等差數列，前項和為的平均值為4，的平均值為12.(1)求證：；(2)是否存在實數，使得對任意恒成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明過程見解析；(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由等差數列通項公式基本量計算得到公差為2，首項為1，從而得到前n項和；（2）假設存在，使對任意恒成立，變形為對任意恒成立，結合當時，，求出且，因此符合題意得不存在.【詳解】(1)由題意得：，解得：，由，解得：，所以；(2)假設存在，使對任意恒成立，則對任意恒成立，即對任意恒成立，當時，，所以且，因此符合題意得不存在，證畢.19．某學校舉辦畢業聯歡晚會，舞臺上方設計了三處光源.如圖，是邊長為6的等邊三角形，邊的中點處為固定光源，分別為邊上的移動光源，且始終垂直于，三處光源把舞臺照射出五彩繽紛的若干區域.(1)當為邊的中點時，求線段的長度；(2)求的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）畫出符合要求的圖形，求出，，相乘求出面積；（2）輔助輔助線，設，利用三角函數與相似表達出，表達出面積，利用判別式法求解最值.【詳解】(1)當為邊的中點時，因為M為邊的中點，所以MF∥AB，且，而始終垂直于，所以ME⊥AB，故，由勾股定理得：即線段的長為(2)過點E，F分別作EG⊥BC于點G，FH⊥BC于點H，設，則，，由勾股定理得：，因為ME⊥MF，所以∠BME+∠CMF=90°，因為∠MFH+∠CMF=90°，所以∠BME=∠MFH，所以，所以，即，所以，，因為，，所以，所以，所以的面積為，整理得：，∴，解得：或，因為，所以y的最小值為即面積的最小值為【點睛】根據題干條件求解面積最值問題，要設出某邊長，用次邊長表達出其他邊長，進而表達出面積，再結合式子特點，選擇合適的方法來求解最值，比如基本不等式，求導，對勾函數，三角函數有界性等.20．已知點分別為橢圓的左?右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析，定值為1(3)4【分析】（1）直線與橢圓聯立后用根的判別式等于0列出方程，求出；（2）利用點到直線距離公式得到，，結合∥，求出，結合第一問的結論證明出為定值1；（3）利用向量線性運算及點在直線的同側得到，結合第二問得到，再用投影向量的知識得出，其中為的夾角），結合第一問結論得到，利用基本不等式求出最值.【詳解】(1)聯立與得：，由直線與橢圓有一個公共點可知：，化簡得：；(2)由題意得：，因為，所以∥，故，其中，，所以，為定值，該定值為1；(3)，由題意得：點在直線的同側，所以，，（其中為的夾角），由此可知：，當且僅當即時，等號成立，所以的最大值為4.【點睛】對于圓錐曲線定值問題，要能夠利用題干信息用一個變量求解出要求的量，可以是直線的斜率，也可以是點的坐標，然后代入計算得到定點.21．對于定義域為的函數，若存在實數使得對任意恒成立，則稱函數具有性質.(1)判斷函數與是否具有性質，若具有性質，請寫出一個的值，若不具有性質，請說明理由；(2)若函數具有性質，且當時，，解不等式；(3)已知函數，對任意，恒成立，若由“具有性質”能推出“恒等于”，求正整數的取值的集合.【答案】(1)不具有性質，理由見解析；具有性質，（只要滿足即可）(2)(3)【分析】（1）根據可知不具有性質；當時，結合誘導公式可知，可得具有性質；（2）由可推導得到是以為周期的周期函數；分別在和的情況下，解不等式，根據周期性可得到結論；（3）由可知只需研究的情況；當、、和時，通過反例可知不合題意；當、和時，結合可推導得到，由此可得取值集合.【詳解】(1)不具有性質，理由如下：對于任意實數，，即，不具有性質；具有性質，若，則；的一個取值為（只要滿足即可）.(2)由得：，，是以為周期的周期函數；當時，，不等式無解；當時，，則，，解得：；綜上所述