2023屆甘肅省白銀市靖遠縣高三下學期第二次聯考數學（文）試題一、單選題1．若復數，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據復數的運算法則，即可求解.【詳解】由，可得，則.故選：D.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據并集概念運算即可.【詳解】因為，所以．故選:A.3．函數的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據函數的奇偶性以及時的函數值為正值，利用排除法即可得出答案.【詳解】因為，又函數的定義域為，故為奇函數，排除AC；根據指數函數的性質，在上單調遞增，當時，，故，則，排除D.故選：B4．已知兩個非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據向量的共線的坐標運算，求得，再結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】因為且，可得，解得或，又因為為非零向量，所以，即，故“”是“”的充要條件．故選：C.5．轉子發動機采用三角轉子旋轉運動來控制壓縮和排放．如圖1，三角轉子的外形是有三條側棱的曲面棱柱，且側棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓構成的曲面三角形（如圖2），正三角形的頂點稱為曲面三角形的頂點，側棱長為曲面棱柱的高，記該曲面棱柱的底面積為S，高為h．已知曲面棱柱的體積V=Sh，如圖1所示的曲面棱柱的體積為，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】把底面分為三個弓形和三角形面積之和，在根據題中體積和高可得.【詳解】由題意可知該曲面棱柱的底面積．設，則，解得.故選：B.6．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據指對數的性質判斷大小關系即可.【詳解】因為，所以．故選：D7．九連環是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環相連成串.在某種玩法中，用表示解下個圓環所需要移動的最少次數，數列滿足，且，則（

）A．287 B．272 C．158 D．143【答案】D【分析】根據已知遞推公式，利用代入法進行求解即可.【詳解】因為數列滿足，且，所以，,所以.故選：D.8．目前，全國所有省份已經開始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績由語文、數學、外語3門全國統一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成.已知某班甲、乙同學都選了物理和地理科目，且甲同學的另一科目會從化學、生物、政治這3科中選1科，乙同學的另一科目會從化學、生物這2科中選1科，則甲、乙所選科目相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所選科目相同的基本事件，求其比值即可.【詳解】甲、乙同學所選的科目情況有：（化學，化學），（化學，生物），（生物，化學），（生物，生物），（政治，化學），（政治，生物），共6種，其中甲、乙同學所選的科目相同的情況有（化學，化學），（生物，生物），共2種，故所求概率．故選：B.9．已知雙曲線的右頂點為M，以M為圓心，雙曲線C的半焦距為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于A，B兩點．若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】做交于點，點為弦的中點，可得圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，即，再利用可得答案.【詳解】因為，如圖，做交于點，點為弦的中點，，所以圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，則，則，即，解得，則雙曲線C的離心率為．故選：D.10．已知函數在和上都是單調的，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦函數的單調性可得且，求解即可.【詳解】解：當時，，因為在上單調遞增，所以，解得；當時，，因為在上單調遞減，則，解得．綜上，的取值范圍是．故選：D11．已知函數，直線，若直線與的圖象交于A點，與直線l交于B點，則A，B之間的最短距離是（

）A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】根據平行切線法，求函數圖象上的點A到直線l的最短距離，即為A，B之間的最短距離.【詳解】因為函數，直線，若直線與的圖象交于A點，與直線l交于B點，直線的斜率為1，直線的斜率為，所以兩直線垂直，所以函數圖象上的點A到直線的最短距離，即為A，B之間的最短距離由題意可得，．令，解得(舍去)．因為，取點A，所以點A到直線的距離，則A，B之間的最短距離是．故選：A.12．已知三棱錐的所有頂點都在球的表面上，是邊長為的等邊三角形，若三棱錐體積的最大值是，則球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設球O的半徑為R，的外心為，由題意可得外接圓的半徑及面積，高的最大值為，代入體積公式，結合題意可求得R值，代入球的表面積公式即可得答案.【詳解】設外接圓的半徑為，則，設球的半徑為，當三棱錐的高最大時，體積取最大值，高的最大值.所以，即，解得.故球的表面積是．故選：A.二、填空題13．某校高三年級進行了一次高考模擬測試，這次測試的數學成績，且，規定這次測試的數學成績高于120分為優秀．若該校有1200名高三學生參加測試，則數學成績為優秀的人數是______．【答案】120【分析】由已知結合正態分布曲線的對稱性得，乘以總人數即可得出答案．【詳解】由，得正態分布曲線的對稱軸為，因為，所以，則數學成績為優秀的人數是，故答案為：．14．已知實數，滿足約束條件則的最大值是______．【答案】7【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數即可得解.【詳解】如圖，畫出可行域，設則，直線經過點時，取得最大值，聯立可得，此時最大值是7．故答案為：7.15．設數列是首項為1的正項數列，且，則它的通項公式______.【答案】【分析】由條件有，由數列為正項數列，即得，然后利用累乘法可求出數列的通項公式.【詳解】由，則又數列為正項數列，即，所以，即所以故答案為：【點睛】本題考查由遞推關系求數列的通項公式，考查累乘法，屬于中檔題.16．已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，分別過A，B兩點作拋物線C的準線的垂線，垂足分別為D，E，若，則p=______．【答案】2【分析】利用三角形面積公式、梯形面積公式及面積關系得到，設直線方程，與拋物線聯立，韋達定理，求出，利用三角形面積求出即可.【詳解】由題意可知，設，則，，因為，所以.由題意可知直線l的斜率不為0，設直線l的方程為，聯立整理得，則，，從而，解得，故，即.因為，所以，解得.故答案為：2三、解答題17．通過市場調查，現得到某種產品的資金投入（單位：百萬元）與獲得的利潤（單位：百萬元）的數據，如下表所示：資金投入24568利潤34657(1)求樣本（）的相關系數（精確0.01）；(2)根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸直線方程；(3)現投入資金1千萬元，求獲得利潤的估計值．附：相關系數，，對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【答案】(2)(3)8.25百萬元．【分析】（1）根據相關系數的公式可求；（2）利用最小二乘法求得，即可得到線性回歸方程；（3）把代入線性回歸方程即可求解.【詳解】（1）由題意得，．因為，，所以，，所以．故樣本（）的相關系數約為（2），，故線性回歸直線方程為．（3）當時，百萬元．故現投入資金1千萬元，獲得利潤約為百萬元.18．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，底面ABCD．(1)證明：平面平面PCD．(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）由，，證得平面PAD，則有平面平面PCD．（2）由已知數據結合棱錐體積公式計算.【詳解】（1）證明：由四邊形ABCD為矩形，得．因為底面ABCD，平面ABCD，所以．因為，平面PAD，所以平面PAD．因為平面PCD，所以平面平面PCD．（2）因為，，所以，因為直角梯形ABCE的面積．所以．19．在中，角的對邊分別為，且.(1)求角；(2)若為銳角三角形，為邊的中點，求線段長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理和三角恒等變換的化簡可得，即可求解；（2）由向量的線性運算可得，等式兩邊同時平方可得，由正弦定理可得，結合角B的范圍可得，即可求解.【詳解】（1），由正弦定理，得，即.因為，所以，由，得，即.因為，所以.（2）因為為邊的中點，所以，所以.在中，由正弦定理，得.因為為銳角三角形，且，所以，則，故.所以，即線段長的取值范圍為.20．已知橢圓的離心率是，是橢圓C上一點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B（異于點P）兩點，直線PA，PB的斜率分別是，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）由已知橢圓的離心率是，又過點，可得，直接解得，，即可得到橢圓的標準方程；（2）由直線過點，可設直線方程為，，，聯立方程組，由韋達定理可得，，又，得，，再代入化簡即可求解.【詳解】（1）設橢圓C的焦距為2c，由題意可得，解得，，故橢圓C的標準方程為：.（2）由題意可知直線l的斜率不為0，設直線，，，聯立，整理得，則，，，因為，所以，，所以.故為定值，該定值為.21．已知函數.(1)比較與0的大小；(2)證明：對任意的，恒成立.【答案】(1)當時，；當時，；當時，(2)證明見解析【分析】（1）求出函數的定義域，根據導函數得出函數在定義域上單調性，結合，即可得出答案；（2）先證明，進而推得.根據二倍角的余弦公式得出，.原不等式可轉化為.構造，根據導函數以及二次求導，即可得出在上單調遞增，所以，即可得出證明.【詳解】（1）由已知可得，的定義域為，在上恒成立，所以，在上單調遞增.又，所以，當時，；當時，；當時，.（2）令，，則在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，即，所以，所以.因為，所以.令，則.令，則.因為，所以，所以，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，即，對任意的，恒成立.22．在直角坐標系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線M，N的極坐標方程；(2)若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解曲線和的極坐標方程；（2）將代入曲線和的方程，求得和，結合題意求得，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，即，又由，可得，所以曲線M的極坐標方程為．由，可得，即，即曲線N的極坐標方程為.（2）解：將代入，可得，將代入，可得，則，因為，所以，又因為，所以．