非平穩序列的隨機分析第1頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四本章結構差分運算ARIMA模型殘差自回歸模型異方差的性質方差齊性變化條件異方差模型2第2頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.1差分運算差分運算的實質差分方式的選擇過差分3第3頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.1.1差分運算的實質差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法離散序列的d階差分就相當于連續變量的d階求導。Cramer分解定理在理論上保證了適當階數的差分一定可以充分提取確定性信息4第4頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四Cramer分解定理（1961）任何一個時間序列都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項式決定的確定性趨勢成分，另一部分是平穩的零均值誤差成分，即確定性影響隨機性影響5第5頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四Cramer分解定理（1961）任何一個時間序列都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項式決定的確定性趨勢成分，另一部分是平穩的零均值誤差成分，即6第6頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分運算的實質

7第7頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分運算的實質差分運算的實質是使用自回歸的方式提取確定性信息

8第8頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.1.2差分方式的選擇序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現趨勢平穩現實中的經濟指標序列常常表現為指數增長趨勢，在分析時一般是對這些指標先取對數，這樣既可以方便用線性趨勢模型描述，又可以消除異方差[參見5.5方差齊性變換的介紹]9第9頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四現實經濟指標序列常常表現為指數增長

10第10頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分方式的選擇序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響

對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通常可以較好地提取周期信息

11第11頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.1

【例1.1】1964年——1999年中國紗年產量序列蘊含著一個近似線性的遞增趨勢。對該序列進行一階差分運算考察差分運算對該序列線性趨勢信息的提取作用

12第12頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分前后時序圖原序列時序圖差分后序列時序圖13第13頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.2嘗試提取1950年——1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息14第14頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分后序列時序圖一階差分二階差分15第15頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.3差分運算提取1962年1月——1975年12月平均每頭奶牛的月產奶量序列中的確定性信息

16第16頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分后序列時序圖一階差分1階－12步差分17第17頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.1.3過差分

足夠多次的差分運算可以充分地提取原序列中的非平穩確定性信息但過度的差分會造成有用信息的浪費樣本容量減小方差變大18第18頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.4假設序列如下

考察一階差分后序列和二階差分序列的平穩性與方差19第19頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四比較一階差分平穩方差小二階差分（過差分）平穩方差大20第20頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.2ARIMA模型ARIMA模型結構ARIMA模型性質ARIMA模型建模ARIMA模型預測疏系數模型季節模型21第21頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.2.1ARIMA模型結構使用場合差分平穩序列的擬合模型結構22第22頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)p=0ARIMA(p,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(p,d,q)=ARI(p,d)d=1,p=q=0ARIMA(p,d,q)=randomwalkmodel23第23頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四隨機游走模型(randomwalk)模型結構24第24頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.2.2ARIMA模型的性質ARIMA模型的平穩性ARIMA模型的方差齊性25第25頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA模型的平穩性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內，d個在單位圓上。所以當時ARIMA(p,d,q)模型非平穩。例5.5隨機游走序列ARIMA(0,1,0)時序圖26第26頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA模型的方差齊性時，原非平穩序列方差非齊性d階差分后，差分后的序列方差齊性27第27頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.2.3ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩性檢驗差分運算YN白噪聲檢驗Y分析結束N擬合ARMA模型28第28頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.6對1952年——1988年中國農業實際國民收入指數序列建模

29第29頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四一階差分序列時序圖30第30頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四一階差分序列自相關圖31第31頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四一階差分后序列白噪聲檢驗延遲階數

統計量P值615.330.01781218.330.10601824.660.134432第32頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四擬合ARMA模型偏自相關圖33第33頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA(1,1,0)34第34頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA(0,1,1)35第35頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四建模定階ARIMA(0,1,1)參數估計模型檢驗模型顯著參數顯著36第36頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.2.4ARIMA模型預測原則最小均方誤差預測原理

ARIMA模型表示成MA(∞)的形式37第37頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四回顧-ARMA模型的傳遞形式ARMA模型的傳遞形式38第38頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA模型預測ARIMA模型Green函數遞推公式39第39頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四回顧-最小均方誤差預測40第40頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四預測值41第41頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型為

且求的95％的置信區間

42第42頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四回顧-ARMA(p,q)序列預測預測值預測方差43第43頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四預測值等價形式計算預測值44第44頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四計算置信區間Green函數值方差95％置信區間45第45頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.6續：對中國農業實際國民收入指數序列做為期10年的預測

46第46頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.2.5疏系數模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關最高階數為p，移動平均最高階數為q的模型，通常它包含p+q個獨立的未知系數：如果該模型中有部分自相關系數或部分移動平滑系數為零，即原模型中有部分系數省缺了，那么該模型稱為疏系數模型。47第47頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四疏系數模型類型如果只是自相關部分有省缺系數，那么該疏系數模型可以簡記為為非零自相關系數的階數如果只是移動平滑部分有省缺系數，那么該疏系數模型可以簡記為為非零移動平均系數的階數如果自相關和移動平滑部分都有省缺，可以簡記為48第48頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.8對1917年－1975年美國23歲婦女每萬人生育率序列建模

49第49頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四一階差分50第50頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四自相關圖51第51頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四偏自相關圖52第52頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四53第53頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四建模定階ARIMA((1,4),1,0)參數估計模型檢驗模型顯著參數顯著54第54頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.2.6季節模型簡單季節模型乘積季節模型

55第55頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四簡單季節模型簡單季節模型是指序列中的季節效應和其它效應之間是加法關系簡單季節模型通過簡單的趨勢差分、季節差分之后序列即可轉化為平穩，它的模型結構通常如下

56第56頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.9擬合1962——1991年德國工人季度失業率序列

57第57頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分平穩對原序列作一階差分消除趨勢，再作4步差分消除季節效應的影響，差分后序列的時序圖如下

58第58頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四白噪聲檢驗延遲階數

統計量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.000159第59頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分后序列自相關圖60第60頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分后序列偏自相關圖61第61頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四62第62頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四模型擬合定階ARIMA((1,4),(1,4),0)參數估計63第63頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四擬合效果圖64第64頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四乘積季節模型使用場合序列的季節效應、長期趨勢效應和隨機波動之間有著復雜地相互關聯性，簡單的季節模型不能充分地提取其中的相關關系構造原理短期相關性用低階ARMA(p,q)模型提取季節相關性用以周期步長S為單位的ARMA(P,Q)模型提取序列具有季節效應，季節效應本身還具有相關性時，短期相關和季節效應之間具有乘積關系，模型結構如下

65第65頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四乘積季節模型ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)66第66頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.10:擬合1948——1981年美國女性月度失業率序列

67第67頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分平穩一階、12步差分68第68頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分后序列自相關圖69第69頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四差分后序列偏自相關圖70第70頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA((1,12),(1,12),0)71第71頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA(0,(1,12),(1,2,12))72第72頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA((1,12),(1,12),(1,12))73第73頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)1274第74頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四乘積季節模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12參數估計75第75頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四乘積季節模型擬合效果圖76第76頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.3殘差自回歸ARIMA模型是1970年Box和Jenkins提出來的，現在已經成為最經典的一種時間序列擬合模型。有時也稱ARIMA模型為Box-Jenkins模型。ARIMA模型是用差分方法提取確定性信息，差分方法的優點是方法簡單，并可以充分提取確定性信息；缺點是很難對差分過程進行直觀解釋。當序列具有非常顯著的確定性趨勢或季節效應時，人們會懷念確定性因素分解方法，因為確定性因素分解方法下對各種確定性效應的解釋變得容易，但這種方法不對殘差進行分析因而是一種信息的浪費。殘差自回歸模型就是在確定性因素分解的基礎上，同時還對隨機性殘差序列進行建模的一種方法。77第77頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.3殘差自回歸構造思想首先通過確定性因素分解方法提取序列中主要的確定性信息然后對殘差序列擬合自回歸模型，以便充分提取相關信息78第78頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四殘差自回歸結構79第79頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四對趨勢效應的常用擬合方法自變量為時間t的冪函數自變量為歷史觀察值80第80頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四對季節效應的常用擬合方法給定季節指數建立季節自回歸模型81第81頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.6續使用殘差自回歸模型分析1952年－1988年中國農業實際國民收入指數序列。時序圖顯示該序列有顯著的線性遞增趨勢，但沒有季節效應，所以考慮建立如下結構的殘差自回歸模型

82第82頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四趨勢擬合方法一：變量為時間t的冪函數方法二：變量為一階延遲序列值

注：這個模型不同于AR模型，不要求特征根在單位圓內。83第83頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四趨勢擬合效果圖84第84頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四殘差自相關(序列相關)檢驗檢驗原理回歸模型擬合充分，殘差的性質回歸模型擬合得不充分，殘差的性質85第85頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四Durbin-Waston檢驗(DW檢驗)

假設條件原假設：殘差序列不存在一階自相關性

備擇假設：殘差序列存在一階自相關性

86第86頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四DW統計量構造統計量DW統計量和自相關系數的關系87第87頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四DW統計量的判定結果正相關相關性待定不相關相關性待定負相關04288第88頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.6續

檢驗第一個確定性趨勢模型

殘差序列的自相關性。89第89頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四DW檢驗結果檢驗結果檢驗結論檢驗結果顯示殘差序列高度正自相關。DW統計量的值P值0.13781.421.530.000190第90頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四Durbinh檢驗

DW統計量的缺陷當回歸因子包含延遲因變量時，殘差序列的DW統計量是一個有偏統計量。在這種場合下使用DW統計量容易產生殘差序列正自相關性不顯著的誤判

Durbinh檢驗91第91頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.6續檢驗第二個確定性趨勢模型

殘差序列的自相關性。92第92頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四Dh檢驗結果檢驗結果檢驗結論檢驗結果顯示殘差序列高度正自相關。實際上也可以用Q統計量來檢驗。Dh統計量的值P值2.80380.002593第93頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四殘差序列擬合確定自回歸模型的階數參數估計模型檢驗94第94頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.6續對第一個確定性趨勢模型的殘差序列進行擬合95第95頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四殘差序列自相關圖96第96頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四殘差序列偏自相關圖97第97頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四模型擬合定階AR(2)參數估計方法極大似然估計最終擬合模型口徑98第98頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.6第二個殘差自回歸模型的擬合結果99第99頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四三個擬合模型的比較模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976殘差自回歸模型一：260.8454267.2891殘差自回歸模型二：250.6317253.7987100第100頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.4異方差的性質異方差的影響異方差的直觀診斷

1982年Engle在分析英國通貨膨脹序列時，發現經典的ARIMA模型始終無法取得理想的擬合效果。經過研究他發現問題出現在殘差序列具有異方差性。101第101頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四回顧-ARIMA模型結構使用場合差分平穩序列的擬合模型結構零均值方差齊性純隨機Q統計量、DW統計量PortmanteauQ檢驗LM檢驗102第102頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四異方差的影響異方差的定義如果隨機誤差序列的方差會隨著時間的變化而變化，這種情況被稱作為異方差異方差的影響忽視異方差的存在會導致殘差的方差會被嚴重低估，繼而參數顯著性檢驗容易犯納偽錯誤，這使得參數的顯著性檢驗失去意義，最終導致模型的擬合精度受影響。

103第103頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四異方差直觀診斷殘差圖殘差平方圖104第104頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四殘差圖方差齊性殘差圖遞增型異方差殘差圖105第105頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四殘差平方圖原理殘差序列的方差實際上就是它平方的期望。所以考察殘差序列是否方差齊性，主要是考察殘差平方序列的性質。可以借助殘差平方序列關于時間t變化的二維坐標，對殘差序列的方差齊性進行直觀診斷。如果滿足方差齊性，則意味著殘差平方序列應該在某個常數值附近隨機波動，而不應該表現出任何明顯的趨勢。106第106頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.11直觀考察美國1963年4月——1971年7月短期國庫券的月度收益率序列的方差齊性。

107第107頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四一階差分后殘差圖108第108頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四一階差分后殘差平方圖109第109頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四異方差處理方法假如已知異方差函數具體形式，進行方差齊性變化假如不知異方差函數的具體形式，擬合條件異方差模型110第110頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.5方差齊性變換使用場合序列顯示出顯著的異方差性，且方差與均值之間具有某種函數關系

其中：是某個已知函數處理思路嘗試尋找一個轉換函數，使得經轉換后的變量滿足方差齊性111第111頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四轉換函數的確定原理轉換函數在附近作一階泰勒展開求轉換函數的方差轉換函數的確定112第112頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四轉換函數的確定實踐中，很多金融時間序列都呈現出異方差的性質，比較常見的異方差表現形式是：序列水平低時，波動小；序列水平高時，波動大。即序列標準差與其水平之間具有某種正比關系。113第113頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四常用轉換函數的確定假定轉換函數的確定現實中的經濟序列通常都先對其進行對數變換然后才進行一系列的模型分析，其目的之一就是為了實現方差齊性。114第114頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四例5.11續對美國1963年4月——1971年7月短期國庫券的月度收益率序列使用方差齊性變換方法進行分析

假定函數變換115第115頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四對數序列時序圖116第116頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四一階差分后序列圖117第117頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四白噪聲檢驗延遲階數LB統計量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452118第118頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四擬合模型口徑及擬合效果圖119第119頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四5.6條件異方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的變體EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型120第120頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARCH模型當序列的標準差與其水平值之間具有某種正比關系時，對數變換就可以消除異方差性。但是，還有很多時間序列的異方差性即使通過對數變化也無法化解。為了更加精確的估計異方差函數，Engle于1982年提出了ARCH模型(autoregressiveconditionalheteroskedastic，自回歸條件異方差模型)。121第121頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARCH模型考慮殘差平方序列的自相關系數原理在殘差平方序列存在序列相關的條件下，可以通過構造殘差平方序列的自回歸模型來擬合異方差函數而對于殘差平方序列不存在序列相關的情況則還沒有有效的方法提取其中的異方差信息。122第122頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四ARCH模型ARCH(q)模型結構的異方差性通過下式得到了很好的刻畫即的條件方差取決于的已知值。123第123頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四GARCH模型結構使用場合ARCH模型實際上適用于異方差函數短期自相關過程

GARCH模型實際上適用于異方差函數長期自相關過程(Bollerslov于1985年提出廣義自回歸條件異方差模型)

GARCH(p,q)模型結構124第124頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四GARCH模型的約束條件為了保證的方差和條件方差為正數且有界，以及為純隨機序列，要求GARCH模型滿足：參數非負

參數有界

125第125頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四GARCH模型的約束條件Bollerslov(1986)證明GARCH過程是平穩的則126第126頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四EGARCH模型Nelson于1991年提出指數GARCH模型，放寬了參數非負的約束127第127頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四IGARCH模型128第128頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四GARCH-M模型序列均值與條件方差之間具有某種相關關系129第129頁，共143頁，2023年，2月20日，星期四AR-GARCH模型對殘差