2023屆北京市清華附中高三統(tǒng)練二數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x:B.2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，純虛數(shù)的定義即可求解.【詳解】依題意，，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，所以，解得.故選：D.3．已知為平面向量，若，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由，利用向量共線坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚遥裕獾?故選：A4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得拋物線的方程，從而可得坐標(biāo)，從而得到.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，則，所以拋物線方程為，設(shè)，不妨令，則可得，即，所以.故選:D5．若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線漸近線和離心率的公式即可.【詳解】漸近線方程為；；；故選：A.6．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，若對(duì)于任意的，總有恒成立，則（

）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列前項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由性質(zhì)知，則，且，則，令，得，即前項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，所以最小，所以.故選:D7．大氣壓強(qiáng)，它的單位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大氣壓強(qiáng)（Pa）隨海拔高度（m）的變化規(guī)律是（m-1），兩處測(cè)得的大氣壓強(qiáng)分別為，，那么兩處的海拔高度的差約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．550m B．1818m C．5500m D．8732m【答案】C【分析】根據(jù)以及指數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】在某高山兩處海拔高度為，所以，所以，所以（m）.故選：C8．已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，則“公比”是“對(duì)于任意，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，分別驗(yàn)證充分性以及必要性即可得到結(jié)果.【詳解】若，且公比，則，所以對(duì)于任意，成立，故充分性成立；若，且，則，所以由對(duì)于任意，，推不出，故必要性不成立；所以“公比”是“對(duì)于任意，”的充分不必要條件.故選:A9．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，若將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊成三棱錐則在折疊過程中，不可能出現(xiàn)（

）A． B．C．三棱錐的體積為 D．平面平面BCD【答案】A【分析】根據(jù)題意，由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷AB，由三棱錐的體積公式即可判斷C，由二面角的定義即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，因?yàn)椋鍭BC，所以，而，即直角邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)相等，顯然不對(duì)，故A錯(cuò)；對(duì)于B，取BD中點(diǎn)O，因?yàn)椋珹O所以面AOC，所以，故B對(duì)；對(duì)于C，當(dāng)折疊所成的二面角時(shí)，頂點(diǎn)A到底面BCD的距離為，此時(shí)，故C對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)沿對(duì)角線折疊成直二面角時(shí)，有平面平面，故D對(duì)；故選:A10．函數(shù)，.若存在，使得，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究的單調(diào)性．【詳解】方程變形為：，設(shè)，則，在上遞減，在上遞增，∴，∴的值域是，若存在，使得，則，，∴的最大值為8．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為“存在，使得”，這樣利用的值域就可以解決問題．二、填空題11．已知，則__________．【答案】9【分析】按照二項(xiàng)式定理展開，再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)確定和的值，代入計(jì)算即可.【詳解】故，，所以，故答案為9.12．不等式的解集為__________．【答案】【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解即可.【詳解】由，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)椋杂珊瘮?shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，有，故答案為：13．已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，那么常數(shù)的一個(gè)取值____．【答案】（答案不唯一）【分析】由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得,由此求得正數(shù)ω的范圍，任取此范圍內(nèi)常數(shù)即可.【詳解】在上單調(diào)遞增,則,，取一個(gè)該范圍內(nèi)的值即可，如．故答案為：.14．已知函數(shù)①函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________．②若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】

1

【分析】第一空，分類討論，無論，函數(shù)都一個(gè)零點(diǎn)；第二空，由第一空討論，，值的情況，從而可得滿足題意的的范圍.【詳解】第一空：當(dāng)時(shí)，可知有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可知有一個(gè)零點(diǎn)；綜上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).第二空：如圖所示，當(dāng)時(shí)，若要滿足題意需，得；當(dāng)時(shí)，不符題意；如圖所示，當(dāng)時(shí)，若要滿足題意需，得；綜上m的取值范圍是：故答案為：1；15．對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動(dòng)點(diǎn)，有下面四個(gè)結(jié)論①定義在R上的偶函數(shù)既不存在不動(dòng)點(diǎn)，也不存在次不動(dòng)點(diǎn)②定義在R上的奇函數(shù)既存在不動(dòng)點(diǎn)，也存在次不動(dòng)點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)．④不存在正整數(shù)m，使得函數(shù)在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，其中，正確結(jié)論的序號(hào)為__________．【答案】②③【分析】舉反例偶函數(shù)，利用“不動(dòng)點(diǎn)”、“次不動(dòng)點(diǎn)”的定義即可判斷①；對(duì)于②結(jié)合奇函數(shù)定義及性質(zhì)即可判斷；對(duì)于③首先利用“不動(dòng)點(diǎn)”定義得到及利用“次不動(dòng)點(diǎn)”的定義得，再分離變量，利用函數(shù)單調(diào)性即可求得a的取值范圍；對(duì)于④利用“不動(dòng)點(diǎn)”得到，分離變量后得到，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題即可求解.【詳解】對(duì)于①:取函數(shù)，，既是的不動(dòng)點(diǎn)，又是的次不動(dòng)點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②:定義在上的奇函數(shù)滿足，故②正確；對(duì)于③:當(dāng)時(shí)，，即.令，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，滿足有唯一解；當(dāng)時(shí)，即.令，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，滿足有唯一解；綜上時(shí)函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，故③正確;對(duì)于④:假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，則在上有解，即在上有解，令，則，再令，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，，所以實(shí)數(shù)滿足，存在正整數(shù)滿足條件，故④錯(cuò)誤：故答案為：②③【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)的新定義問題，試題以函數(shù)和方程的有關(guān)知識(shí)為背景設(shè)計(jì)問題，難度較大.已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解三、解答題16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一點(diǎn)，.（1）求證：平面平面PAC：（2）若E是PC的中點(diǎn)，求ED與平面EBC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）依題意可得，再由線面垂直的性質(zhì)得到，即可得到平面，從而得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；【詳解】解：（1）在四棱錐中，底面ABCD為菱形，所以，又因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫唬?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形且，所以為等邊三角形，所以，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以即，令則，，所以，設(shè)直線ED與平面EBC所成角為，則所以直線ED與平面EBC所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.17．在△中，，.(1)求證：△為等腰三角形；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△存在且唯一，求的值.條件①：；條件②：△的面積為；條件③：邊上的高為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析；(2)詳見解析.【分析】（1）把轉(zhuǎn)化為邊a、b之間的倍數(shù)關(guān)系，把轉(zhuǎn)化為三邊a、b、c之間的關(guān)系，綜合可得證；（2）條件①,與已知矛盾，三角形無解，不可選；條件②，通過三角形面積公式解得a，可使△存在且唯一；條件③，通過轉(zhuǎn)化條件，可使△存在且唯一.【詳解】（1）在△中，由，可得則由，可得即，故有故△為等腰三角形.（2）選擇條件①：時(shí)，由（1）知，則有，此時(shí)，與已知矛盾，三角形無解.不能選；選擇條件②：△的面積為時(shí)，由得，故有，解得，,.三角形存在且唯一，可選.選擇條件③：邊上的高為.由得，可得，則有,.三角形存在且唯一，可選.綜上可知:選擇條件②時(shí)，三角形存在且唯一，.選擇條件③時(shí)，三角形存在且唯一，.18．為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的美育教育，某校開展了為期5天的傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，從第1天至第5天依次開展“書畫”、“古琴”、“漢服”、“戲曲”、“面塑”共5項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，每名學(xué)生至少選擇其中一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，為了解該校上述活動(dòng)的開展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表：傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)第1天第2天第3天第4天第5天書畫古琴漢服戲曲面塑高一體驗(yàn)人數(shù)8045552045高二體驗(yàn)人數(shù)4060608040高三體驗(yàn)人數(shù)1550407530(1)從樣本中隨機(jī)選取1名學(xué)生，求這名學(xué)生體驗(yàn)戲曲活動(dòng)的概率；(2)從高一、高二、高三年級(jí)中各隨機(jī)選取1名學(xué)生，估計(jì)這三名學(xué)生中恰有一名參加戲曲體驗(yàn)的概率；(3)為了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)各項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的喜愛程度，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第天傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，寫出的值．（直接寫出答案即可）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）結(jié)合古典概型可直接求解；（2）先求出樣本中這三名學(xué)生中恰有一名參加戲曲體驗(yàn)的概率，再利用樣本估計(jì)總體概率；（3）結(jié)合相互獨(dú)立事件概率公式求出，即可求解.【詳解】（1）由題意知，樣本中學(xué)生共有人，其中體驗(yàn)戲曲活動(dòng)的學(xué)生共人，設(shè)事件為“從樣本學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，這名學(xué)生體驗(yàn)戲曲活動(dòng)”，故所求概率為.（2）從高一、高二、高三年級(jí)的體驗(yàn)學(xué)生中各隨機(jī)選取1名學(xué)生，這三名學(xué)生中恰有一名參加戲曲體驗(yàn)的概率為：，所以從高一、高二、高三年級(jí)中各隨機(jī)選取1名學(xué)生，估計(jì)這三名學(xué)生中恰有一名參加戲曲體驗(yàn)的概率為.（3）由題可知，，，，，，故．所以當(dāng)取得最大值時(shí)，.19．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與圓相切，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可表示出，結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由題意可得：，解得：.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）圓的方程為，圓心為，半徑為，①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為或，直線與橢圓交點(diǎn)為，的面積為，根據(jù)對(duì)稱性，直線時(shí)，的面積為；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由得，由，得，則，得.因?yàn)椋裕院愠闪ⅲO(shè)，則，所以，所以，令，則的面積為，令，令，,所以因?yàn)椋瑥亩拿娣e的最大值為為,綜上，的面積的最大值為.20．已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若方程有解，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有公共點(diǎn)問題，求導(dǎo)，利用單調(diào)性畫函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】（1）由題，，所以，，所以，又，所以曲線在處的切線方程為：，即；（2）令得，所以，令得，所以，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（3）因?yàn)榉匠逃薪猓捶匠逃薪猓睿瑒t方程有解，所以，有解，記，，則函數(shù)與直線有公共點(diǎn)，，令，，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，記，，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，作出圖象，如圖：由圖可知，函數(shù)與直線有公共點(diǎn)時(shí)，即實(shí)數(shù)a的范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.也可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問題.21．若無窮數(shù)列滿足，，則稱具有性質(zhì)．若無窮數(shù)列滿足，，則稱具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，且，請(qǐng)直接寫出的所有可能取值；(2)若等差數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的取值范圍；(3)已知無窮數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和性質(zhì)，，且不是數(shù)列的項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)的可能取值有：、、、(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題中定義可得出，，可依次求得、的取值；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)可求得的取值范圍，再利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍；（3）根據(jù)性質(zhì)可得出，根據(jù)可推導(dǎo)出、必同號(hào)，再利用性質(zhì)可得出，利用反證法可證得：，則，再