2022年普通高等學校招生全國統一考試北京卷數學試卷本試卷共5頁，150分，考試時長120分鐘，考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知全集，集合，則()A. B. C. D.2.若復數z滿足，則() 3.若直線是圓的一條對稱軸，則()A. B.4.已知函數，則對任意實數x，有()A. B. C. D.5.已知函數，則()A.在上單調遞減 B.在上單調遞增C.在上單調遞減 D.在上單調遞增6.設是公差不為0的無窮等差數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列結論中正確的是()A.當，時，二氧化碳處于液態B.當，時，二氧化碳處于氣態C.當，時，二氧化碳處于超臨界狀態D.當，時，二氧化碳處于超臨界狀態8.若，則()A.409.已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內部的點構成的集合，設集合，則T表示的區域的面積為()A. C. D.10.在中，，，.P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是()A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數的定義域是________.12.已知雙曲線的漸近線方程為，則_________.13.若函數的一個零點為，則_______；______.14.設函數若存在最小值，則a的一個取值為______；a的最大值為_________.15.已知數列的各項均為正數，其前n項和滿足.給出下列四個結論：

①的第2項小于3；

②為等比數列；

③為遞減數列；

④中存在小于的項.

其中所有正確結論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16.（13分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面積為，求的周長.17.（14分）如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點.

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：；

條件②：.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.18.（13分）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到m以上（含m）的同學將獲得優秀獎.為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：甲：，，，，，，，，，；

乙：，，，，，；

丙：，，，9.16.假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.（Ⅰ）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；（Ⅱ）設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望EX；（Ⅲ）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）19.（15分）已知橢圓的一個頂點為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N.當時，求k的值.20.（15分）已知函數.（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）設，討論函數在上的單調性；（Ⅲ）證明：對任意的s，，有.21.（15分）已知為有窮整數數列.給定正整數m，若對任意的，在Q中存在，，，…，，使得，則稱Q為m-連續可表數列.（Ⅰ）判斷Q：2，1，4是否為5-連續可表數列？是否為6-連續可表數列？說明理由；（Ⅱ）若為8-連續可表數列，求證：k的最小值為4；（Ⅲ）若為20-連續可表數列，且，求證：.

參考答案1.答案：D2.答案：B3.答案：A4.答案：C5.答案：C6.答案：C7.答案：D8.答案：B9.答案：B10.答案：D11.答案：12.答案：-313.答案：；14.答案：0（答案不唯一）；115.答案：①③④16.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）17.答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）解析：（Ⅰ）解法一：如圖，設點P為AB的中點，連接PN，PM，

因為N為AC的中點，所以PN為的中位線，所以.

又M為的中點，所以.

因為，，平面，平面MPN，所以平面平面MPN.

又平面MPN，所以平面.

解法二：如圖，取BC的中點D，連接，DN.

在三棱柱中，，.

因為M，N，D分別為，AC，BC的中點，

所以，，，，

則且，

所以四邊形為平行四邊形，因此.

又平面，平面，

所以平面.（Ⅱ）因為側面為正方形，所以，

又因為平面平面，且平面平面，

所以平面，而平面，所以.

選條件①：由（Ⅰ）得，因為，所以，

又，所以平面，

在三棱柱中，BA，BC，兩兩垂直，

故以B為坐標原點，分別以BC，BA，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，所以，，，，

所以，，.

設平面BMN的法向量為，

由得得令，得.

設直線AB與平面BMN所成角為，

則，

所以直線AB與平面BMN所成角的正弦值為.選條件②：由（Ⅰ）知，，而，故.

又因為，所以.

在和中，，，，則，

因此，即，故.

在三棱柱中，BA，BC，兩兩垂直，

故以B為坐標原點，分別以BC，BA，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，.

設平面BMN的法向量為，

由得令，得.

設直線AB與平面BMN所成角為，

則，

所以直線AB與平面BMN所成角的正弦值為.18.答案：（Ⅰ）0.4（Ⅱ）（Ⅲ）見解析解析：解：（Ⅰ）設甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎為事件A.

因為比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎，甲以往的比賽成績中達到以上（含）的有，，，，共4個，

所以甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率.（Ⅱ）X的所有可能取值為0,1,2,3.由（Ⅰ）知，甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率.

設乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎分別為事件B，C，則，.

，

，

，

，

所以.（Ⅲ）在校運動會鉛球比賽中，按以往比賽成績的平均數、方差來看，甲獲得冠軍的概率估計值最大；按以往比賽的最好成績來看，丙獲得冠軍的概率估計值最大.19.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）-4解析：（Ⅰ）依題意可知，

得，故橢圓E的方程為.（Ⅱ）由題可知直線BC的方程為，

設，，

聯立直線BC和橢圓E的方程，得，

整理得，

，，

由得，

易知直線AB的斜率，

直線AB的方程為，令，可得點M的橫坐標，同理可得點N的橫坐標.

，得.故k的值為-4.20.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）在上單調遞增（Ⅲ）見解析解析：（Ⅰ）由題，，

故，，

因此，曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）解法一：，

則，設，，

則，故在上單調遞增，故，

因此對任意的恒成立，

故在上單調遞增.解法二：，

則，

又，當時，，

故對任意的恒成立，

故在上單調遞增.（Ⅲ）設，

則，

由（Ⅱ）知在上單調遞增，

故當，時，，

因此，在上單調遞增，故，

因此，對任意的，有.21.答案：（Ⅰ）Q是5-連續可表數列，不是6-連續可表數列（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析解析：（Ⅰ）若，則對于任意，，，，，，所以Q是5-連續可表數列；由不存在任意連續若干項之和相加為6，所以Q不是6-連續可表數列；（Ⅱ）反證法：假設k的值為3，則，，最多能表示，，，，，共6個數字，與Q為8-連續可表數列矛盾，故；現構造Q：4，2，1，5可以表達出1，2，3，4，5，6，7，8這8個數字，即存在滿足題意，故k的最小值為4；（Ⅲ）證明：從5個正整數中，取一個數字只能表示自身，最多可表示5個數字，取連續兩個數字最多能表示4個數字，取連續三個數字最多能表示3數字，取連續四個數字最多能表示2數字，取連續五個數字最多能表示1數字，所以