溫州市普通高中2023屆高三第一次適應性考試數學試題卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.2.若復數z滿足，其中i為虛數單位，則復數z的虛部是（）A. B. C. D.23.浙江大學2022年部分專業普通類平行志愿（浙江）錄取分數線如下表所示，則這組數據的第85百分位數是（）專業名稱分數線專業名稱分數線人文科學試驗班663工科試驗班（材料）656新聞傳播學類664工科試驗班（信息）674外國語言文學類665工科試驗班（海洋）651社會科學試驗班668海洋科學653理科試驗班類671應用生物科學（農學）652工科試驗班664應用生物科學（生工食品）656A.652 B.668 C.671 D.6744.若，則（）A.5 B. C.3 D.5.一個袋子中裝有大小相同的5個小球，其中有3個白球，2個紅球，小明從中無放回地取出3個小球，摸到一個白球記1分，摸到一個紅球記2分，則小明總得分的數學期望等于（）A.分 B.4分 C.分 D.分6.某制藥企業為了響應并落實國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設備，在過濾過程中，污染物含量M（單位：）與時間t（單位：h）之間的關系為：（其中，k是正常數）．已知經過，設備可以過速掉20%的污染物，則過濾一半的污染物需要的時間最接近（）（參考數據：）A3h B.4h C.5h D.6h7.已知P為直線上一動點，過點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，則原點到直線距離的最大值為（）A.1 B. C. D.28.在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.一組樣本數據的平均數為，標準差為s．另一組樣本數據，的平均數為，標準差為s．兩組數據合成一組新數據，新數據的平均數為，標準差為，則（）A. B.C. D.10.已知向量，，，其中，則下列命題正確的是（）A.在上的投影向量為 B.的最小值是C.若，則 D.若，則11.已知實數a,b滿足:且,則（）A. B.C. D.12.若函數的圖象上存在兩個不同的點P，Q，使得在這兩點處的切線重合，則稱函數為“切線重合函數”，下列函數中是“切線重合函數”的是（）A B.C. D.三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13.在函數圖象與x軸的所有交點中，點離原點最近，則可以等于__________（寫出一個值即可）．14.在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段AB的中點，則直線FC到平面的距離為______．15.已知，是橢圓C的兩個焦點，點M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為__________．16.定義在R上的函數滿足，，若，則__________，__________．四、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數列是等差數列，，且，，成等比數列．給定，記集合元素個數為．（1）求，的值；（2）求最小自然數n的值，使得．18.記銳角的內角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）若，求的最大值．19.如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的內接正三角形，．（1）劣弧上是否存在點D，使得平面？若存在，求出劣弧的長度；若不存在，請說明理由．（2）求平面和平面夾角的余弦值．20.2021年11月10日，在英國舉辦的《聯合國氣候變化框架公約》第26次締約方大會上，100多個國家政府、城市、州和主要企業簽署了《關于零排放汽車和面包車的格拉斯哥宣言》，以在2035年前實現在主要市場、2040年前在全球范圍內結束內燃機銷售，電動汽車將成為汽車發展的大趨勢．電動汽車生產過程主要包括動力總成系統和整車制造及總裝．某企業計劃為某品牌電動汽車專門制造動力總成系統．（1）動力總成系統包括電動機系統、電池系統以及電控系統，而且這三個系統的制造互不影響．已知在生產過程中，電動機系統、電池系統以及電控系統產生次品的概率分別為，，．（ⅰ）求：在生產過程中，動力總成系統產生次品的概率；（ⅱ）動力總成系統制造完成之后還要經過檢測評估，此檢測程序需先經過智能自動化檢測，然后再進行人工檢測，經過兩輪檢測恰能檢測出所有次品，已知智能自動化檢測的合格率為95%，求：在智能自動化檢測為合格品的情況下，人工檢測一件產品為合格品的概率．（2）隨著電動汽車市場不斷擴大，該企業通過技術革新提升了動力總成系統的制造水平．現針對汽車續航能力的滿意度進行用戶回訪．統計了100名用戶的數據，如下表：對續航能能力否滿意產品批次合計技術革新之前技術革新之后滿意285785不滿意12315合計4060100試問是否有99.9%的把握可以認為用戶對續航能力的滿意度與該新款電動汽車動力總成系統的制造水平有關聯？參考公式：，1082821.已知雙曲線的左右焦點分別為，，P是直線上不同于原點O的一個動點，斜率為的直線與雙曲線交于A，B兩點，斜率為的直線與雙曲線交于C，D兩點．（1）求的值；（2）若直線，，，的斜率分別為，，，，問是否存在點P，滿足，若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．22.已知，函數的最小值為2，其中，．（1）求實數a的值；（2），有，求的最大值．溫州市普通高中2023屆高三第一次適應性考試數學試題卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合的補集，再求出即可.【詳解】因，所以，因為，所以，故選：B2.若復數z滿足，其中i為虛數單位，則復數z的虛部是（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據復數運算法則求得z即可求得虛部.【詳解】由已知，故，故z的虛部是2.故答案為：D3.浙江大學2022年部分專業普通類平行志愿（浙江）錄取分數線如下表所示，則這組數據的第85百分位數是（）專業名稱分數線專業名稱分數線人文科學試驗班663工科試驗班（材料）656新聞傳播學類664工科試驗班（信息）674外國語言文學類665工科試驗班（海洋）651社會科學試驗班668海洋科學653理科試驗班類671應用生物科學（農學）652工科試驗班664應用生物科學（生工食品）656A.652 B.668 C.671 D.674【答案】C【解析】【分析】先對這12個數排列，然后利用百分位數的定義求解即可.【詳解】這12個數從小到大依次為651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，因為，所以這組數據的第85百分位數是第11個數671，故選：C.4.若，則（）A.5 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由二項式定理展開左邊的多項式后可得．【詳解】，則．故選：B.5.一個袋子中裝有大小相同的5個小球，其中有3個白球，2個紅球，小明從中無放回地取出3個小球，摸到一個白球記1分，摸到一個紅球記2分，則小明總得分的數學期望等于（）A.分 B.4分 C.分 D.分【答案】C【解析】【分析】確定的取值，求出概率，由期望公式計算期望．【詳解】由題意的取值是3，4，5，，，，，故選：C．6.某制藥企業為了響應并落實國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設備，在過濾過程中，污染物含量M（單位：）與時間t（單位：h）之間的關系為：（其中，k是正常數）．已知經過，設備可以過速掉20%的污染物，則過濾一半的污染物需要的時間最接近（）（參考數據：）A.3h B.4h C.5h D.6h【答案】A【解析】【分析】由題意可得，進而利用指數與對數的關系可得，再用換底公式結合對數的運算性質求解即可【詳解】由題意可知，所以，又因為，所以，所以，比較接近3，故選：A7.已知P為直線上一動點，過點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，則原點到直線距離的最大值為（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】設，然后表示出兩條切線方程，從而可表示出直線的方程，再利用點到直線的距離公式表示出原點到直線距離，從而可求出其最大值.【詳解】設，切點為，由，得，則，所以在點處的切線方程為，即，因為，所以在點處的切線方程為，即，因為，所以因為兩切線都過點，所以，，所以直線的方程為，即，所以原點到直線距離為，當且僅當時取等號，所以原點到直線距離的最大值為，故選：B8.在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，在等腰中，求得，設的外心是，外接圓半徑是，由正弦定理得，設外接球球心是，可得是直角梯形，設可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半徑，利用三角恒等變換，換元法，變形后由基本不等式求得最小值，從而得球表面積的最小值．【詳解】設，在等腰中，，設的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當且僅當，時等號成立，所以的最小值是．故選：D.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關鍵是用一個變量表示出球的表面積，前提是選定一個參數，由已知設，其他量都用表示，并利用三角函數恒等變換，換元法，基本不等式等求得最小值．考查了學生的運算求解能力，邏輯思維能力，屬于難題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.一組樣本數據的平均數為，標準差為s．另一組樣本數據，的平均數為，標準差為s．兩組數據合成一組新數據，新數據的平均數為，標準差為，則（）A B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由平均數與標準差的定義求解判斷．【詳解】由題意，，同理兩式相加得，，所以，．故選：BC．10.已知向量，，，其中，則下列命題正確的是（）A.在上的投影向量為 B.的最小值是C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據投影向量的定義求得在上的投影向量判斷A，求出向量的模，由函數性質得最小值判斷B，計算，根據其正負確定的范圍，然后判斷的正負，從而判斷CD．【詳解】，在上的投影向量為，A正確；，，所以時，取得最小值，B正確；，，無法判斷的符號，C錯誤；，，則，D正確．故選：ABD．11.已知實數a,b滿足:且,則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】構造,求導判斷單調性來確定A,D選項的正誤,將特殊值代入確定選項B的正誤,根據分析確定取值范圍,確定選項C的正誤即可.【詳解】解:由題知,當且僅當時取等,故有:關于選項A,構造,所以在上單調遞增,,即,故選項A正確;關于選項B,不妨取代入,可得不成立,故選項B錯誤;關于選項C,,,故選項C正確;關于選項D,構造,令,在單調遞減,當時，,,即即單調遞減,,即,,,,故選項D正確.故選:ACD12.若函數的圖象上存在兩個不同的點P，Q，使得在這兩點處的切線重合，則稱函數為“切線重合函數”，下列函數中是“切線重合函數”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】求出導函數，確定切線斜率，選項AB，過圖象最高點（或最低點）處的切線是同一條直線，可判斷，選項C，由導函數斜率相等的點有無數組，結合函數單調性，確定斜率為1的切線，可判斷結論，百選項D，導函數是單調增函數，因此不存在斜率相等的兩點，這樣易判斷結論．【詳解】A，，，時，，取得最大值，直線是函數圖象的切線，且過點，函數是“切線重合函數”；B，，，時，，，，此時是函數的最大值，直線是函數圖象的切線，且過點，函數是“切線重合函數”；C，，，時，，，過點的切線方程是，即，因此該切線過圖象上的兩個以上的點，函數是“切線重合函數”；D，，，令，則，所以即是R增函數，因此函數圖象上不存在兩點，它們的切線斜率相等，也就不存在切線過圖象上的兩點，因此函數不是“切線重合函數”．故選：ABC．【點睛】本題考查導數的幾何意義，解題關鍵是理解新定義，實質仍然是求函數圖象上的切線方程，只是要考慮哪些切線重合，因此本題中含有三角函數，對三角函數來講，其最高點或最低點是首選，對其它與三角函數有關的函數，涉及到其中三角函數的最大值或最小值點也是我們首選考慮的．三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13.在函數圖象與x軸的所有交點中，點離原點最近，則可以等于__________（寫出一個值即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求出與x軸的所有交點，再結合題意得到恒成立，整理得，分類討論，與三種情況，結合恒成立可得到，從而得解.【詳解】因為，令，即，得，即，則圖象與x軸的所有交點為，因為其中點離原點最近，所以恒成立，不等式兩邊平方整理得，當時，，因為，故恒成立；當時，，即恒成立，因為，則，故；當，即時，顯然上述不等式恒成立，綜上，由于上述分類情況要同時成立，故，所以可以等于.故答案為：（答案不唯一）.14.在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段AB的中點，則直線FC到平面的距離為______．【答案】##【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量后可求線面距.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，故，而平面，平面，故平面，故直線FC到平面的距離為即為到平面的距離.設平面的法向量為，又，故，取，則，而，故到平面的距離為，故答案為：.15.已知，是橢圓C的兩個焦點，點M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為__________．【答案】##.【解析】【分析】先結合橢圓的定義表示出，化簡后結合的范圍可求出的最值，然后列方程可表示出的關系，從而可求出橢圓的離心率.【詳解】因為，所以，所以當時，取得最大值，因為，所以的最小值為，因為的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，所以橢圓的離心率為，故答案為：.16.定義在R上的函數滿足，，若，則__________，__________．【答案】①.②.【解析】【分析】依題意可得，即可得到是以為周期的周期函數，再由，可得，即可求出，從而得到且，再根據，即可求出，，，最后利用并項求和法計算可得.【詳解】解：因為，所以，所以，則，所以是以為周期的周期函數，所以，又，所以，又，所以，即且，由，所以，，，所以.故答案為：；四、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數列是等差數列，，且，，成等比數列．給定，記集合的元素個數為．（1）求，的值；（2）求最小自然數n的值，使得．【答案】（1），；（2）11【解析】【分析】（1）利用等比數列的性質求得公差，得通項公式，寫出時的集合可得元素個數，即；（2）由（1）可得，然后分組求和法求得和，用估值法得時和小于2022，時和大于2022，由數列的單調性得結論．【小問1詳解】設數列的公差為，由，，成等比數列，得，，解得，所以，時，集合中元素個數為，時，集合中元素個數為；【小問2詳解】由（1）知，，時，=2001<2022，時，=4039>2022，記，顯然數列是遞增數列，所以所求的最小值是11.18.記銳角的內角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）若，求的最大值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）運用兩角和與差正弦進行化簡即可；（2）根據（1）中結論運用正弦定理得，然后等量代換出，再運用降次公式化簡，結合內角取值范圍即可求解.【小問1詳解】證明：由題知，所以，所以,所以因為為銳角，即，所以，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知：，所以，因為，所以，因為由正弦定理得：，所以,所以，因為，所以，所以因為是銳角三角形，且，所以，所以，所以，當時，取最大值為，所以最大值為：.19.如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的內接正三角形，．（1）劣弧上是否存在點D，使得平面？若存在，求出劣弧的長度；若不存在，請說明理由．（2）求平面和平面夾角的余弦值．【答案】（1）存在，劣弧的長度為（2）【解析】【分析】（1）利用面面平行得到線面平行即可求得點位置，再根據是的內接正三角形及，即可求得以及的半徑，從而可得劣弧的長度；（2）分別求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】如圖過點作的平行線交劣弧于點D，連接，，因為∥，平面，平面，則∥平面同理可證∥平面，，且平面，平面所以平面∥平面，又因為平面，所以∥平面故存在點滿足題意.因為為底面的內接正三角形，所以，即，又因為，所以的半徑為，所以劣弧的長度為.【小問2詳解】如圖取的中點為，連接，以為軸，為軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標系，又因為，設中點為.故，，，，，，，易知平面的法向量設平面的法向量為，又因為，故即，令得易知平面和平面夾角為銳角，所以平面和平面夾角的余弦值為20.2021年11月10日，在英國舉辦的《聯合國氣候變化框架公約》第26次締約方大會上，100多個國家政府、城市、州和主要企業簽署了《關于零排放汽車和面包車的格拉斯哥宣言》，以在2035年前實現在主要市場、2040年前在全球范圍內結束內燃機銷售，電動汽車將成為汽車發展的大趨勢．電動汽車生產過程主要包括動力總成系統和整車制造及總裝．某企業計劃為某品牌電動汽車專門制造動力總成系統．（1）動力總成系統包括電動機系統、電池系統以及電控系統，而且這三個系統的制造互不影響．已知在生產過程中，電動機系統、電池系統以及電控系統產生次品的概率分別為，，．（ⅰ）求：在生產過程中，動力總成系統產生次品的概率；（ⅱ）動力總成系統制造完成之后還要經過檢測評估，此檢測程序需先經過智能自動化檢測，然后再進行人工檢測，經過兩輪檢測恰能檢測出所有次品，已知智能自動化檢測的合格率為95%，求：在智能自動化檢測為合格品的情況下，人工檢測一件產品為合格品的概率．（2）隨著電動汽車市場不斷擴大，該企業通過技術革新提升了動力總成系統的制造水平．現針對汽車續航能力的滿意度進行用戶回訪．統計了100名用戶的數據，如下表：對續航能能力是否滿意產品批次合計技術革新之前技術革新之后滿意285785不滿意12315合計4060100試問是否有99.9%的把握可以認為用戶對續航能力的滿意度與該新款電動汽車動力總成系統的制造水平有關聯？參考公式：，【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）有99.9%的把握可以認為用戶對續航能力的滿意度與該新款電動汽車動力總成系統的制造水平有關聯.【解析】【分析】（1）（ⅰ）根據獨立事件的概率公求出三個系統不產生次品的概率，再利用對立事件的概率公式可求得結果；（ⅱ）根據題意利用條件概率公式求解即可；（2）利用公式求解，然后由臨界值表判斷即可.【小問1詳解】（ⅰ）由題意得在生產過程中，動力總成系統產生次品的概率為；（ⅱ）設自動化檢測合格為事件，人工檢測為合格品為事件，則，所以；【小問2詳解】根據題意得，所以有有99.9%的把握可以認為用戶對續航能力的滿意度與該新款電動汽車動力總成系統的制造水平有關聯.21.已知雙曲線的左右焦點分別為，，P是直線上不同于原點O的一個動點，斜率為的直線與雙曲線交于A，B兩點，斜率為的直線與雙曲線交于C，D兩點．（1）求的值；（2）若直線，，，的斜率分別為，，，，問是否存在點P，滿足，若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在或滿