2019年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）

數學試題（文史類）

本試題卷共4頁，三大題21小題。全卷滿分150分，考試用時120分鐘。

★祝考試順利★

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上。并將準考證號條形碼

粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案標號涂黑，

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試題卷、草稿紙上無效。

3.填空題和解答題的作答：用0.5毫米黑色黑水簽字筆直接在答題卡上對應的答題區域內。

答在試題卷、草稿紙上無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

A.{6,8}B.{5,7)

C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8}

2.若向量則2a+b與a-b的夾角等于

III）I

A.--B.C.D.—

4III

3.若定義在R上的偶函數/（I）和奇函數滿足七氐?=0.，則".[）二

A.ex-eB.—（ex+e*）C.—（e-ex）D.—（ex-e'）

222

4.將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數記為。，

則

A."=0B.?=1

C.n=2D.n>3

5.有一個容量為200的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，

根據樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數據落在區間

[10,12）內的頻數為

A.18B.36

C.54D.72

6.已知函數.軟》若/（X）>1,則x的取值范圍為

7.設球的體積為I,它的內接正方體的體積為I',下列說法中最合適的是

A.C比1大約多一半B.I比I大約多兩倍半

C.I比I大約多一倍D.比I‘大約多一倍半

fI>0

'y>0

8.直線2V?4O=C與不等式組「表示的平面區域的公共點有

?I-y>-2

141+3j<20

A.0個B.1個C.2個D.無數個

9.《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節

的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為

A.1升B.升C.升D.—升

1111!!

10.若實數a,b滿足且=0,則稱a與b互補，記分N今=7那

么以"〃）=0是a與b互補的

A.必要而不充分的條件B.充分而不必要的條件

C.充要條件D.既不充分也不必要的條件

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，請將答案填在答題卡對應題號的位置上，一

題兩空的題，其答案按先后次序填寫，答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分。

11.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。為掌握各類超市的營業情況，現

按分層抽樣方法抽取一個容量為100的樣本，應抽取中型超市家。

12.x--的展開式中含/的項的系數為。（結果用數值表示）

13.在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期，從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質

期飲料的概率為。（結果用最簡分數表示）

14.過點（一1,—2）的直線I被圓在截得的弦長為J5,則直線/的斜率為

15.里氏震級M的計算公式為：M=lgA-lg4.其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅,

4是相應的標準地震的振幅。假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是woo,此時標準地

震的振幅為0.001,則此次地震的震級為級；9級地震的最大振幅是5級地震最

大振幅的倍。

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。

16.(本小題滿分12分)

設△A8C的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c＞已知

4

(I)求AABC的周長；

(ID求cos(a—。的值。

17.(本小題滿分12分)

成等差數列的三個正數的和等于15,并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列｛1｝中

的I.,I,,

(I)求數列的通項公式；

(II)數列共』的前n項和為!,,求證：數列在”+,是等比數列。

18.(本小題滿分12分)

如圖，已知正三棱柱ABC的底面邊長為2,側棱長為

3JT,點E在側棱A八上，點F在側棱B81上，且

AE=2y/2,BF=y[2.

(I)求證：CF±QE；

(II)求二面角石」的大小。

19.(本小題滿分12分)

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度

v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數，當橋上的車流密度達到200輛

/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千

米/小時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度x的一次函數。

(I)當時，求函數v(x)的表達式；

(II)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)

尺)今90可以達到最大，并求出最大值。(精確到1輛/小時)。

20.(本小題滿分13分)

設函數人上&423&-1^匕，其中xeR,a、b為常數，已知曲線

y=/(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線/。

(I)求a、b的值，并寫出切線/的方程；

(II)若方程，次有三個互不相同的實根0、L、＞,其中再＜I,,且對任意的

xe[%，毛],恒成立，求實數m的取值范圍。

21.(本小題滿分14分)

平面內與兩定點A(rz,O)、A(a,0)(a＞0)連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡,

加上1,、4兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。

(I)求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；

(II)當初=一1時，對應的曲線為C)；對給定的mG(-l,0)U(0,+oo),對應的曲線為，設￡、

人是。2的兩個焦點。試問：在G上，是否存在點N,使得△耳N居的面積Shmia?。若

存在，求tan耳N8的值；若不存在，請說明理由。

參考答案

一、選擇題：本題主要考查基礎知識和基本運算。每小題5分，滿分50分。

A卷：1—5ACDCB6—10ADBBC

B卷：1—5DCABC6—10ADBBC

二、填空題：本題主要考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分25分。

2817

11.2012.1713.—14.1或一15.6,10000

1457

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.本小題主要考查三角函數的基本公式和解斜三角形的基礎知識，同時考查基本運算能力。（滿分

12分）

解：（I）c2=a2+b~-labcosC=l+4-4x—=4

4

c=2.

AA3C的周長為a+b+c=l+2+2=5.

(II)cosCsinC-Vl-cos2C-

4

,asinC4V15

sinA=------='=----

c28

a<c,.\A<C,故A為銳角，

/.cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=—x—+——x——=——.

848816

17.本小題主要考查等差數列，等比數列及其求和公式等基礎知識，同時考查基本運算能力。（滿分

12分）

解：（I）設成等差數列的三個正數分別為a—+4

依題意，得a—d+a+a+d=15,解得a=5.

所以也,｝中的包,勿,々依次為7—d,10,18+d.

依題意，有（7—2）（18+"）=100,解得4=2或2=—13（舍去）

故的第3項為5,公比為2。

由4-22,即5=4.2?,解得偽=(.

所以｛〃｝是以I5為首項，2為以比的等比數列，其通項公式為勿=彳5-2"7=5-2”一3

§5

(II)數列也,｝的前n項和S“二己-------=5-2"-2即S,+：=5?2"-2

所以￡+*=5S“+i+“_5.2"T

2.

14

因此｛S“+j是以|為首項，公比為2的等比數列。

18.本小題主要考查空間直線與平面的位置關系和二面角的求法，同時考查空間想象能力和推理論

證能力。(滿分12分)

解法1：(I)由已知可得CG=3叵,CE=CXF="2+(2揚2=2后

22222

EF=AB+(AE-BF),EF=CiE=72+(V2)=>/6

22

于是有砂2+G?2=C|F25CE+C,E=cq2

所以C]E上EF,C]EJ_CE

又cCE=E，所以GE，平面CEF

由CFu平面CE￡故CT±C、E.

(II)在ACEF中，由(I)可得所=CE=#,C￡=2j§

于是有EF2+CF2=CE2,所以CF，EF.

又由(I)知CF1C,E,且EFcC]E=E,所以CF_L平面C|EF,

又G^u平面C|EF,故CF_LC|F。

于是NEFC；即為二面角E—CF—G的平面角。

由(I)知是等腰直角三角形，所以NBFG=45°,即所求二面角E—CF—G的大小

為45。。

解法2：建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知可得

40,0,0),3(a,1,0),c(。,2,0),G(0,2,30),￡(0,0,2夜),F(g,1,揚

(I)C,￡=(0,-2,-x/2),CF=(y/3,-l,V2)

ClE-CF=0+2-2=0

:.CF工GE.

(II)CE=(Or2虛，設平面CEF的一個法向量為

m=(x,y,z)

z?fm-CE=0,

由加_LCE,mJ_C￡得《

m-CF=0,

即-?+2A/2Z=0,可取利=&厄i)

y/3x—y+y/2z-0

設側面BC,的一個法向量為

〃，由〃_LBC,nJ_CCt,及CB=(A/3,—1,0)

CC}=(0,0,3揚，可眥=(1,6,0)

設二面角E—CF—G的大小為9,于是由。為銳角可得

cos6="〃川=^1_=也,所以。=45°

\m\-\n\6x22

即所求二面角E—CF—G的大小為45°。

19.本小題主要考查函數、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力。(滿分

12分)

解：(I)由題意：當0<xW200寸,v(x)=60；當20<xW20(時，設以x)=ar+Z?

1

(1-----,

200a+8=0,

再由已知得，解得3

20。+。=60,,200

b--------

3

60,0<x<20,

故函數v(x)的表達式為v(x)=<i(200-x),20<x<200

60x,0<x<20,

(II)依題意并由(I)可得/(x)=<1.r(200-x),20<x<200

當0<x<20H寸,7(x)為增函數，故當x=20時，其最大值為60X20=1200；

當20WxV200時，/(x)=1x(200-x)<1[%+(2^0~^]2=

當且僅當x=2()()-x,即x=l()()時，等號成立。

所以，當x=100時,/(幻在區間［20,200］上取得最大值年”.

綜上，當x=l(X)時，/(x)在區間［0,200］上取得最大值筆四。3333。

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時。

20.本題主要考查函數、導數、不等式等基礎知識，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能

力，以及函數與方程和特殊與一般的思想，(滿分13分)

解：(I)/'(x)=3%2+4ar+Z?,g<x)=2x—3.

由于曲線y=/(工)與>=g(x)在點(2,0)處有相同的切線,

故有f⑵=g(2)=0,八2)=g'(2)=1.

8+8。+2b+ci-2,

由此得4。解得

12+8。+/?=1,fb5.

所以。=—22=5,切線/的方程為x-y—2=0

(II)由(I)得/(x)=x3-4x2+5x-2,所以/(x)+g(x)=x3-3x2+2x.

依題意，方程x(d-3%+2-6)=0有三個互不相同的實數0,%,%，

故％,當是方程f-3x+2—根=0的兩相異的實根。

所以A=9-4(2—m)>0,即機>.

4

又對任意的工￡［%,工2］，/(幻+8。)〈風工一1)成立，

特別地，取工=%時，/(尤1)+8(e)一加2〈一機成立，得加<0.

由韋達定理，可得％+馬=3>0,xxx2=2—機>0,故0<玉v

對任意的工￡［%,%2］，有*一*2<0,X-Xj>0,x>0

則/(-^)+(g(x)-mr=x(x-x,)(x-^)<0,Xf(^i)+^(-^i)^=。

所以函數/0)+8(幻一例￥&￡［%,工2］的最大值為。。

于是當機<0時，對任意的X￡［X］,X2］，/(X)+g(X)V根(％-1)恒成立，

綜上，加的取值范圍是(-L,0).

4

20.本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整

合和數形結合的思想。(滿分14分)

解：(I)設動點為M,其坐標為(x,y),

當XK士。時，由條件可得kMA?女MA,=---------=-7^~~7=機，

x-ax+ax-a

即nvC-y2=mcr^x*+d),

又A(-?,0),&(A,0)的坐標滿足mx2-y2=ma2,

故依題意，曲線C的方程為/m：2—y2=2.

22

當〃?<—1吐曲線C的方程為=+—J=1,C是焦點在y軸上的橢圓；

a-ma

當機=一1時，曲線C的方程為f+y2=。2,C是圓心在原點的圓；

22

當-1<加<0時，曲線C的方程為=+上方=1,C是焦點在X軸上的橢圓;

a-ma~

fv2

當初>0時，曲線C的方程為二—-=1,C是焦點在x軸上的雙曲線。