高考數學真題分類—雙曲線的性質及幾何意義

一、選擇題（本大題共20小題，共100.0分）

1.設雙曲線C的方程為1-旨=l（a>0/>0）,過拋物線必=4尤的焦點和點（0,b）的直線為，若

c的一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，則雙曲線C的方程為（）

A.正一巨=1B.x2-^=lC.^-y2=lD.x2-y2=l

4444z,

2.設。為坐標原點，直線x=a與雙曲線C:捺一《=1（。>0/>0）的兩條漸近線分別交于。、E兩

點，若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

3.設F1，尸2是雙曲線。/一號=1的兩個焦點，。為坐標原點，點P在C上且|0P|=2,則/PF1F2

的面積為（）

A.\B.3C.\D.2

22

4.設。為坐標原點，直線x=a與雙曲線C:條—卷=19>0/>0）的兩條漸近線分別交于。、E兩

點，若△OOE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

5.設雙曲線。二一1=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為Fi,民，離心率為g,P是C上一點,

a2lr

且F|P_LRP.若△PFi6的面積為4,則a=（）

A.1B.2C.4D.8

6.漸近線方程為y=±gx的雙曲線方程是（）

A.^-^=lB.正一日=1C.左一叱=D.立一片1

1699163443

7.設F為雙曲線C：會2=l（a>0,6>0）的右焦點，0為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓/+

、2=￡12交于「、。兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

8.已知F是雙曲線C：史一些=1的一個焦點，點尸在C上,。為坐標原點，若|0P|=|OF|,KUOPF

45

的面積為（）

A.1B.jC.|D.|

9.已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.若/與雙曲線捺-總=1（a>0,b>0）的兩條漸近線

分別交于點A和點8,且|48|=4|。「|（。為原點），則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

10.雙曲線C：9一3=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上，。為坐標原點，若|PO|=|PF|,

則APF。的面積為（）

A型B這C.2V2D.3V2

4.2

11.已知雙曲線會y2=i（a>0）的離心率是6，則a=（）

A.V6B.4C.2D.~

12.漸近線方程為x土y=0的雙曲線的離心率是（）

A.立B.1C.V2D.2

2

13.已知雙曲線C：捻一3=19>（）/>0）的離心率為企，則點（4,0）到C的漸近線的距離為（)

A.V2B.2CW2D.2V2

?2

14.己知雙曲線捺―5=1（。>0/>0）的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于

A,8兩點.設4,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為四和d2,且di+d?=6,則雙曲線

的方程為（）

A.亡一生=1B.亡一日=1C.^-^=l?.空一e=1

4121243993

15.雙曲線提一2=19>0/>0）的離心率為6，則其漸近線方程為（）

A.y=+V2xB.y=+V3xC.y=土華xD.y=土苧%

16.已知雙曲線捺-，=1（。>03>（））的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于

4B兩點.設4,8到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為刈和d2,且di+dz=6,則雙曲線的方

程為（）

A.^-^=lB.立一生=1-1

3993

17.雙曲線白2—y2=1的焦點坐標是（）

A.（-V2,0）,（V2,0）B.(-2,0),。0)

C.（0.-V2）,（0,V2）D.

18.設Fi，F2是雙曲線C：胃一、=l（a>0,b>0）的左，右焦點，O是坐標原點.過F2作C的一條

漸近線的垂線，垂足為P.若|P&|=遍|02|,則C的離心率為（）

A.V5B.2C.V3D.V2

19.己知雙曲線C：q_y2=i,o為坐標原點，P為c的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線

的交點分別為M,N.若AOMN為直角三角形，則|MN|=（）

A.~B.3C.2>/3D.4

20.雙曲線/—?=1的漸近線方程是（）

第2頁，共21頁

A.y=i~xB.y=±—xC.y=±V3xD.y=±3x

33

二、填空題(本大題共10小題，共50.0分)

21.己知雙曲線C：蘭-日=1,則C的右焦點的坐標為______；C的焦點到其漸近線的距離是______.

63

22.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線l(a>0)的一條漸近線方程為y=當曲則該雙曲

線的離心率是.

23.己知F為雙曲線。:[-￡=1(<1>0方>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點且BF

a2br

垂直于X軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為.

24.設雙曲線(?$-\=1(￡1>0/>0)的一條漸近線為丫=缶，則C的離心率為.

25.已知雙曲線C：圣一，=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為&,F2,過&的直線與C的兩條漸

近線分別交于A，B兩點.若無?=南，福=0,則C的離心率為

26.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線》2—，=1(6>0)經過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程

是.

27.已知橢圓M：l(a>b>0),雙曲線N：三-馬=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓

a2bz''nz

例的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,則橢圓M的離心率為;

雙曲線N的離心率為

28.若雙曲線《一?=l(a>0)的離心率為多則。=

29

29.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線l(u>().b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的

a2lr

距離為立C,則其離心率的值是.

2

30.雙曲線立-y2=i的漸近線方程為.

三、解答題(本大題共2小題，共24.0分)

31.已知雙曲線G：9-1與圓心+y2=4+/S>0)交于點4(馬,%)(第一象限)，曲線「為

/1、心上取滿足x>|馬|的部分.

(1)若/1=V6>求b的值；

(2)當。=遍，弓與x軸交點記作點Fi、F2,尸是曲線「上一點，且在第一象限，且|PR|=8,求

“止?2；

(3)過點0(0,J+2)斜率為一^的直線/與曲線廠只有兩個交點，記為M、N,用6表示麗?麗,

并求而?麗的取值范圍.

32.雙曲線0、尸2為其左右焦點，C是以尸2為圓心且過原點的圓.

(1)求C的軌跡方程；

(2)動點P在C上運動，M滿足物=2和，求M的軌跡方程.

第4頁，共21頁

答案與解析

1.答案：D

解析：

本題考查了雙曲線的漸近線方程，拋物線的焦點坐標，直線的平行和垂直，屬于中檔題.

先求出直線/的方程和雙曲線的漸近線方程，根據直線平行和垂直即可求出4,。的值，可得雙曲線

的方程.

解：拋物線y2=4x的焦點坐標為(1,0)，

則直線I的方程為y=—b(x—1),

???雙曲線C的方程為l(a>o,b>0)的漸近線方程為丫=土如

???C的一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，

T…?)=-1，

a=1,b=1,

雙曲線C的方程為/—y2=],

故選：D.

2.答案：B

解析：

本題主要考查雙曲線的幾何性質及雙曲線的漸近線，屬于中檔題.

解：雙曲線C的兩條漸近線分別為y=±gx,

由于直線x=a與雙曲線的兩條漸近線分別交于D、E兩點,

則易得到|DE|=2b,

222

則S00DE=ab=8,c=a+b>2ab=16,即c>4,

焦距2c>8.

故選B.

3.答案：B

解析：

本題主要考查雙曲線的定義、雙曲線的簡單幾何性質、圓的性質，屬一般題.

根據雙曲線的標準方程得到其焦點坐標，結合|0P|=2,可確定點P在以F1F2為直徑的圓上，得到

2

|Pa|2+|PF2|=16,結合雙曲線的定義可得|PFi|?|PFzl的值，從而得到答案.

解：由雙曲線的標準方程可得a=1/=b，c=2,所以焦點坐標為居（一2,0）,尸2（2,0），

因為|0P|=2,所以點P在以F1F2為直徑的圓上，:IPF/2+伊尸2產=16,

22

"ll^il-\PF2\\=2a=2,所以||PF/—|PF2/=\PFr\+\PF2\-2\PFt\■\PF2\=4，

所以|Pa|?IPF2I=6,所以三角形P&F2面積為；|PFi|-\PF2\=3,

故選B.

4.答案：B

解析：

本題主要考查雙曲線的幾何性質及雙曲線的漸近線，屬于中檔題.

解：雙曲線C的兩條漸近線分別為y=±3%，

由于直線x=a與雙曲線的兩條漸近線分別交于。、E兩點，

則易得到|DE|=2b,

222

則S^OOE=ab=8,c=a+b>2ab=16,即c>4,

所以焦距2c>8.

第6頁，共21頁

故選B.

5.答案：A

解析：

本題考查雙曲線的定義，簡單幾何性質，考查運算求解能力，難度一般.

根據雙曲線的性質及已知條件，列出相應的式子即可解出a.

解：設|PFi|=m,|PF2|=n,則|m-n|=2a

2

由題意知團RPFz為直角三角形，則/+n2=(2c),

即(m—n)2+2mn—4c2(*),

又日F1PF2的面積為4，貝吟nm=4,mn=8,①

由已知I,雙曲線的離心率6=(=花，(2)

將①、②分別代入(*)可得4。2+2x8=4x5a2,

又a>0,故a=1.

故選A.

6.答案：B

解析：

本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基本知識的考查.

求出雙曲線的漸近線方程，即可得到選項.

解：選項A的漸近線方程為：y=±1x,

選項B的漸近線方程為：y=+1x,正確;

選項C的漸近線方程：y=土詈X；

選項。的漸近線方程為：y=±^x;

故選8.

7.答案：A

解析:

本題考查雙曲線的簡單性質，考查數形結合的解題思想方法，屬于中檔題.

方法一：根據題意畫圖，由圖形的對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與。的關系，可求雙

曲線的離心率.

方法二：由題意畫出圖形，先求出P。，再由|PQ|=|。尸|列式求C的離心率.

方法一:

解：設尸。與x軸交于點A,由對稱性可知PQlx軸

又???|PQ|=\0F\=c,???\PA\=f,勿為以。尸為直徑的圓的半

徑，

???力為圓心，|。*=]

???P(f)|)'又尸點在圓/+y2=上，

=a2,即J=a2>???e2==2

442a2

:.e=V2?故選A.

方法二：

如圖，以。尸為直徑的圓的方程為x2+y2—cx=0,

又圓。的方程為/+'2=。2,

2

PQ所在直線方程為x4.

C

2

把X=-代入/+y2=。2,得PQ=2ab,

cc

再由|PQ|=|OF|,得上也=c，BP4a2(c2-a2)=c4,

c

??.e2=2,解得e=^/2-

故選A.

第8頁，共21頁

8.答案：B

解析:

本題考查雙曲線的簡單性質，考查數形結合的解題思想方法，屬于基礎題.

由題意畫出圖形，不妨設尸為雙曲線C式一g=1的右焦點，P為第一象限點，求出P點坐標，再

45

由三角形面積公式求解.

解：如圖，不妨設尸為雙曲線C：三一的右焦點，P為第一象限點.

45

由雙曲線方程可得，a2=4,b2=5,則C=V^TP=3,

則以。為圓心，以3為半徑的圓的方程為％2+y2=9.

x24-y2=9、.

聯上過_藝=1，解得

45~

c1c55

SAOPF=2X^X3=2,

故選：B.

9.答案：D

解析：

本題考查雙曲線的離心率的求法，考查運算求解能力，是中檔題.

推導出F(l,0),準線/的方程為x=-1,\AB\=B，|0F|=1,從而b=2a,進而c=Va2+b2=-75a>

由此能求出雙曲線的離心率.

解：?.?拋物線產=軌的焦點為F,準線為/.

.??F(l,0),準線/的方程為％=-1,

?；Z與雙曲線捻一、=l(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點8,且=4|0/|(。為原點),

A\AB\=—,\0F\=1,=4,Ab=2a.

???c=Va24-b2=V5a，

???雙曲線的離心率為e=￡=6.

a

故選。.

10.答案：A

解析：

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是基本知識的考查.

求出雙曲線的漸近線方程，求出三角形POF的頂點P的坐標，然后求解面積即可.

解：雙曲線C：?一?=1的右焦點為尸（后,0）,漸近線方程為：y=±號％,不妨設尸在第一象限,

可得tanzPOF=孝，因為|P0|=|PF|，則P除務

所以APFO的面積為：[x乃x3=越.

224

故選A.

11.答案：D

解析：

本題考查雙曲線的簡單性質，雙曲線的標準方程，屬于基礎題.

由雙曲線方程求得再由雙曲線的離心率及隱含條件a?+墳=聯立求得。值.

解：由雙曲線攝-y2=1?>0）,得反=1,

又e=￡=V5,得號=5.

aa2

rina.2@2+]

即——=——=5,

a2a2

解得@2=；,a=

故選：D.

12.答案：C

解析：

本題主要考查雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題.

第10頁，共21頁

由漸近線方程，轉化求解雙曲線的離心率即可.

解：根據漸進線方程為久士y=0的雙曲線，可得a=b,所以c=&a，

則該雙曲線的離心率為e="&,

故選：C.

13.答案：D

解析:

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題.

利用雙曲線的離心率求出4,〃的關系，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離求解即可.

解：雙曲線C：捺一，=l(a>0,b>0)的離心率為迎，

可得;=企，即：貯孚=2,解得a=b,

雙曲線C：^-2=l(a>b>0)的漸近線方程為：y=±x,

點(4,0)到C的漸近線的距離為：號=2A/2.

故選。.

14.答案：C

解析:

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，屬于中檔題.

畫出圖形，利用已知條件，求出b的值，再通過雙曲線離心率以及a2+F=c2求解”，即可得到雙

曲線方程.

解：由題意可得圖象如圖，是雙曲線的一條漸近線，

其方程為y=(x,即bx—ay=O,F(c,0),

AC1CD,BDLCD,作FEJ.C。交C￡>于點E,顯然AC￡>8是直角梯形,

又F是A8的中點，EF=W受=3,

所以b=3,雙曲線搐一，=l(a>0,b>0)的離心率為2,可得2=2,

可得：。=4,解得a=遮.

則雙曲線的方程為：--^=1.

39

故選C.

15.答案：A

解析:

根據雙曲線離心率的定義求出。，。的關系，結合雙曲線a,b,c的關系進行求解即可.

本題主要考查雙曲線漸近線的求解，結合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決本題的關鍵.

解：???雙曲線的離心率為e=￡=B,

a

1

則:后=后^=J鏟-1=乒=也

即雙曲線的漸近線方程為y=土衣=±V2x,

故選：A.

16.答案：A

解析:

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，考查計算能力，屬于中檔題.

畫出圖形，利用已知條件，列出方程組轉化求解即可.

解：由題意可得圖象如圖，

第12頁，共21頁

CD是雙曲線的一條漸近線y=BRbx-ay=0,F(c,O),

AC±CD,BD1CD,FE1CD,

則四邊形ACC8是梯形，

因為尸是48的中點，所以EF="%=3,

即EF=/^5=b，

\/a2+b2

所以b=3,雙曲線，?一，=l(a>0,b>0)的離心率為2,

可得：=2,即邛=%解得a=g.

aaz

則雙曲線的方程為：--^=1.

39

故選A.

17.答案：B

解析：解：???雙曲線方程可得雙曲線的焦點在x軸上，且a2=3,b2=1,

由此可得c=Va2+b2=2>

???該雙曲線的焦點坐標為(±2,0)

故選：B.

根據雙曲線方程，可得該雙曲線的焦點在x軸上，由平方關系算出c=la2+廬=2,即可得到雙曲

線的焦點坐標.

本題考查雙曲線焦點坐標，著重考查了雙曲線的標準方程和焦點坐標求法等知識，屬于基礎題.

18.答案：C

解析：

本題考查了雙曲線的簡單性質，點到直線的距離公式，余弦定理，離心率，屬于中檔題.

先根據點到直線的距離求出|PFz|=b,再求出|OP|=a,在AFiP。中，由余弦定理可得

cxwNPOB=+D2=_cosZPC>F>=，，代值化簡整理可得3a2=。2,問題得以解決.

2ad"c

解：不妨設雙曲線C：/卷=19>0/>0)的一條漸近線方程為丁=%,

則尸2到y=《x的距離d=灌%=b,

在RtZkaP。中，伊2。|=(:,所以|PO|=a,

所以仍&|=逐￡1,又|KO|=c,

所以在AFiPO與Rt^FzP。中，根據余弦定理得

MOB=2一加

Zac

=—coesZPOFy=—(l,

即3Q2+c2—(V6a)2=0,得34=c2.

所以e=￡=遍.

a

故選c.

19.答案：B

解析:

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，兩條直線的交點坐標，考查計算能力，屬于中檔題.

求出雙曲線的漸近線方程，求出直線方程，求出M、N的坐標，然后求解|MN|.

解：雙曲線C：9—y2=1的漸近線方程為：y=±gx，兩條漸近線的夾角為60。,

不妨設MV與y=—浮刀垂直，則%N=遍，

設過F(2,0)的直線MN為：y=V3(x-2),

V3

y=--x

則：聯立73，解得M(|,—日),

y=V3(x-2)

=叵

聯立y~~X,解得N(3,a),

y=V3(x-2)

則|MN|=J(3_|)2+(W+,尸=3.

故選民

20.答案：C

第14頁，共21頁

解析:

本題考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的兒何意義，特別是雙曲線的漸近線方程，解題時要注意先

定位，再定量的解題思想.

先確定雙曲線的焦點所在坐標軸，再確定雙曲線的實半軸長和虛半軸長，最后確定雙曲線的漸近線

方程.

解：,?,雙曲線/一3=1中，。=1,b=V3?焦點在x軸上，

???雙曲線的漸近線方程為y=±如=±V3x,

故選C.

21.答案：(3,0)；V3

解析:解:雙曲線C：--^=1,則c2=+乂=6+3=9,貝ijc=3,則C的右焦點的坐標為(3,0),

63

其漸近線方程為曠=土得x,即％±奩)/=0,

則點(3,0)到漸近線的距離d=焉=遍，

故答案為：(3,0),V3.

根據雙曲線的方程可得焦點，再根據點到直線的距離可得.

本題考查了雙曲線的方程和其性質，以及點到直線的距離公式，屬于基礎題.

22.答案：|

解析：解：雙曲線捻-?=l(a>0)的一條漸近線方程為y=苧x，可得?=爭所以a=2,

所以雙曲線的離心率為：e=￡=3至=三，

a22

故答案為：|.

利用雙曲線的漸近線方程，求出a,然后求解雙曲線的離心率即可.

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是基本知識的考查.

23.答案：2

解析：

本題考查雙曲線的幾何性質，屬于中檔題.

分別求出A、B點坐標，再根據條件列方程即可求解.

解：由題意可知，B在雙曲線C的右支上，且在x軸上方,

???BF垂直于x軸，

把x=c代入W-^1=1,得y--,

a1b2a

???8點坐標為(c,?),

又A點坐標為(a,0),

化簡得垓=3ac—3a2=c2—a2,

即2a2—3ac4-c2=0,

解得c=2a或c=a(舍)，

故。=￡=2.

a

故答案為2.

24.答案：V3

解析：

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題。

根據漸近線方程，可得?=夜，再利用離心率公式即可求得結果。

解：???雙曲線的漸近線為'=或格???5=魚

第16頁，共21頁

二離心率e=(=Jl+%=Jl+(V2)2=V3

故答案為：V3

25.答案：2

解析:

本題考查雙曲線的簡單性質，是中檔題.

由題意畫出圖形，結合已知可得招81。4從而可得t;m僅）瓜,進而求出離心率.

a

???F]BJ_F2B,F^A=AB9

???OA1FiB,

則△力OFi^LAOB,

則Z.AOFi=￡A()B—￡B()F2=60°,

所以一條漸近線的斜率為9tan儀)瓜,

a

所以e=￡=不需=2，

a7a2

故答案為：2.

26.答案：y=±y/2x

解析：

把已知點的坐標代入雙曲線方程，求得6,則雙曲線的漸近線方程可求.

本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的簡單性質，是基礎題.

解：，；雙曲線/一，=1(/,>0)經過點(3,4),

???32—=1,解得爐=2,即b-V2.

又a=1,???該雙曲線的漸近線方程是y=±V2x,

故答案為：y=+V2x.

27.答案：V3—1:2

解析:

本題考查橢圓和雙曲線的簡單性質，考查計算能力，屬于中檔題.

根據題意，可得正六邊形的一個頂點c，亨)，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率：再根據雙曲線漸

近線斜率求出雙曲線離心率即可..

解：橢圓M：三+4=l(a>b>0),雙曲線N：4-4=1-

a2b2'm2n2

若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點,

又橢圓的一個焦點為(c,0),可得正六邊形的一個頂點(|,字)，

可得：條+券=1'可得We4-8e2+4=0,e6(0,1),

解得e=V3-1.

同時，雙曲線的漸近線的斜率為V5,艮哈=也

可得：鳥=3,即友竽=4,

可得雙曲線的離心率為J^l=2.

故答案為：V3—1:2.

28.答案：4

解析：

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力.

利用雙曲線的簡單性質，直接求解即可.

解：雙曲線盤一q=l(a>0)的離心率為爭

可得：號=三，解得Q=4.

a24

第18頁，共21頁

故答案為：4.

29.答案：2

解析：

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力.

利用雙曲線的簡單性質，以及點到直線的距離列出方程，轉化求解即可.

解：雙曲線5一'=1缶>0,b>0)的右焦點F(c,O)到一條漸近線y="的距離為與c,

be廠

可得：兩…季，

可得c2-a2=-c2,即c=2a,

4

所以雙曲線的離心率為：e=￡=2.

a

故答案為：2.

30.答案：y=±[x

解析：

本題考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎題.

由漸近線方程直接求解即可.

2

解：二?雙曲線上一y2=1中的Q=2,b=1,焦點在x軸上，

4

雙曲線至—y2=1的漸近線方程為y=±1.

42X

故答案為：y=±1x.

yA2_i

31.答案：解：(1)由/=述，點A為曲線G與曲線心的交點，聯立4-，解得為=企,

+y/=4+爐

b=2；

(2)由題意可得&,尸2為曲線G的兩個焦點，

由雙曲線的定義可得|Pa|-IPF2I=2a,又|P&|=8,2a=4,

所以IPF2I=8—4=4,因為b=6，則。=7￥不虧=3,

所以I&F2I=6,

在APFiFz中，由余弦定理可得C0SNF/F2=叫喘需等