第一節空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三

根據下列對幾何體結構特征的描述，說出幾何體的名稱．

(1)由八個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形，其他各面都是矩形；

(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉180°形成的封閉曲面所圍成的幾何體；

(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體．

畫幾何體的三視圖第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三分析

要判斷幾何體的類型，從各類幾何體的結構特征入手，以柱、錐、臺的定義為依據，把復雜的幾何體分割成幾個簡單的幾何體．第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三

解

(1)如圖1所示，該幾何體滿足有兩個面平行，其余六個面都是矩形，可知每相鄰兩個面的公共邊都互相平行，故該幾何體是正六棱柱．

(2)如圖2所示，等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形，每個直角梯形旋轉180°形成半個圓臺，故該幾何體為圓臺．

(3)如圖3所示，由梯形ABCD的頂點A引AO⊥CD于O點，將直角梯形分為一個Rt△AOD和矩形AOCB，繞CD旋轉一周形成一個組合體，該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成．第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三

圖1圖2圖3

第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三規律總結

空間幾何體的概念和特征，是研究幾何體及其點、線、面位置關系的基礎，要在大量觀察綜合的基礎上，準確記憶．判斷空間幾何體的特征，需要緊緊依據相關概念進行．第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三變式訓練1

下面描述中，不是棱錐的幾何結構特征的

是(

)

A．三棱錐有四個面是三角形

B．棱錐的側棱長都相等

C．棱錐的側面都是三角形

D．棱錐的側棱交于一點

第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三【解析】

根據棱錐的幾何特征，可以判斷選項B錯誤．【答案】B

第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三畫幾何體的三視圖

畫出如圖所示幾何體的三視圖．

第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三分析圖(1)為正六棱柱，可按棱柱畫法畫出；圖(2)為一個圓錐和圓臺的組合體，按圓錐、圓臺的三視圖畫出它們的組合形狀．

解

三視圖如下：

第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三規律總結

正視圖、側視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影，它們都是平面圖形．同一個幾何體，若放置的方法不同，所觀察到的形狀也會不同．一般地，側視圖放在正視圖的右邊，俯視圖放在正視圖的下邊．

第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三變式訓練2

(2010·廣東高考)如圖，△ABC為正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，則多面體ABC-A′B′C′的正視圖(也稱主視圖)是(

)

第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三【解析】

由題意知AA′<BB′<CC′，正視圖為選項D所示的圖形．【答案】D第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三

三視圖的應用

用小立方體搭成一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，搭建這樣的幾何體，最多要幾個小立方體？最少要幾個小立方體？

第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三分析

由于正視圖每列的層數即是俯視圖中該列的最大數字，因此，用的方塊數最多的情況是每個方框都用該列的最大數字，即如圖①所示．而搭建這樣的幾何體用方塊最少的情況是每列只要有一個最大數字，其他方框內的數字可減少到最少的1，即如圖②所示．

第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三解

如圖①，②所示，每個小正方形內所標數字為該列所放小立方體的個數．①為用立方體最多的搭建法，共用小立方體17塊．②為用立方體最少的搭建法，這樣的擺法只需要立方體11塊．

第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三規律總結

由三視圖推測幾何圖形的形狀，需要依據三視圖的畫法原理和空間想象能力．正視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現物體的長和高，不反映物體的寬．而俯視圖和正視圖共同反映物體的長，要相等．側視圖和俯視圖共同反映物體的寬要相等．據此就不難得出該幾何體的形狀．由正視圖和俯視圖只能決定幾何體的部分特征．

第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三變式訓練3(2010·天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為________．

第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三【解析】

由三視圖可知，本題的幾何體是：下面是一個正四棱柱，上面是一個正四棱錐．于是可以得到體積是

.【答案】第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三

(12分)

用斜二測畫法作出長為4cm、寬為3cm的矩形的直觀圖．幾何體的直觀圖幾何體的直觀圖

第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三分析

按斜二測畫法的規則，在已知圖形所在的平面中作平面直角坐標系，再作斜坐標系，設兩坐標軸為x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°，然后依據規則逐一作圖．

第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三解

(1)在已知矩形ABCD中，取AB、AD所在邊為x軸與y軸，相交于O點(O

與A重合)，畫對應的x′軸與y′軸，使∠x′O′y′＝45°.………………4分

(2)在x′軸上取A′，B′，使A′B′＝AB，在y′軸上取D′，使A′D′＝AD，過D′作平行于x′軸的線段D′C′，且D′C′＝A′B′.…………8分

(3)連接C′B′，所得四邊形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直觀圖．

第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三………………12分第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三規律總結

斜二測畫法規則中，直觀圖中在橫軸方向上的線段長度不變；在縱軸方向上的線段長度變為原來的一半．在有些平面圖形中，沒有在坐標軸上和與坐標軸平行的線段，需要過一些特殊點作兩軸的平行線．

第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三變式訓練4

如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是________．

第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三【解析】

∵直觀圖中，平行于x軸的邊的長度不變，平行于y軸的邊的長度變為原來的1/2，

∴原圖中，OA＝6cm，OD＝4cm，

∴OC＝6cm，BC＝AB＝6cm，∴原圖形為菱形．【答案】

菱形

第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三1．幾種特殊四棱柱的特殊性質

名稱特殊性質

平行六面體底面和側面都是平行四邊形；四條對角線交于一點，且被該點平分直平行六面體側棱垂直于底面，各側面都是矩形；四條對角線交于一點，且被該點平分長方體底面和側面都是矩形；四條對角線相等，交于一點，且被該點平分正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等，交于一點，且被該點平分第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三2.三視圖畫法規則

高平齊：正視圖與側視圖的高要保持平齊．

長對正：正視圖與俯視圖的長應對正．

寬相等：俯視圖與側視圖的寬應相等．

第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三3．關于直觀圖的畫法

畫水平放置的多邊形的直觀圖的一般方法是斜二測畫法，其關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連接這些頂點就可畫出多邊形來．第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三

4．關于投影

(1)在中心投影下，投影線交于一點；在平行投影下，投影線是互相平行的．

(2)在中心投影下，平行于投影面的物體的大小與原物體大小不同．在平行投影下，平行于投影面的平面圖形的形狀和大小完全相同．

第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三

已知四棱錐P－ABCD水平放置如圖，且底面ABCD是邊長

為2cm的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB.試畫出

該幾何體的三視圖．

第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三錯解

錯解分析

本題錯