二次函數與二次方程(輔導5)二次函數與二次方程、二次不等式知識補充二次方程根的分布

根的位置圖象位置等價條件

ax2＋bx＋c＝0(a＞0)

（1）若有二根x1＞1，x2＜1，則f⑴0（2）若有二根x1，x2∈(2，3)，則選擇題①f(x)＝x2＋bx＋c對任意實數t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么()

A.f⑵＜f⑴＜f⑷ B.f⑴＜f⑵＜f⑷C.f⑵＜f⑷＜f⑴ D.f⑷＜f⑵＜f⑴

②已知y＝log(x2－2x)在區間(－∞，0)上單調遞增，則a的取值范圍是()

A.a＞1 B.－1＜a＜1C.a∈R且a≠0 D.a＜－1或a＞1

③已知函數y＝log(x2－6x＋7)，則y()

A.有最大值沒有最小值B.有最小值沒有最大值C.有最大值也有最小值D.沒有最大值也沒有最小值

2.填空題

①方程x2－2|x|＝a(a∈R)有且僅有兩個不同的實數根，則實數a的取值范圍是_______.

思考：a為何(范圍)值時，方程無實數根？有四個實數根？有三個實數根？

②關于x的方程x2－2ax＋9＝0的兩個實數根分別為α、β，則(α－1)2＋(β－1)2的最小值是_______________.

3.已知函數y＝x2－4ax＋2a＋30的圖象與x軸無交點，求關于x的方程

＝|a－1|＋1的根的范圍.二次函數與二次方程、二次不等式1.知識補充二次方程根的分布

根的位置圖象位置等價條件

ax2＋bx＋c＝0(a＞0)

（1）若有二根x1＞1，x2＜1，則f⑴＜0（2）若有二根x1，x2∈(2，3)，則0x1選擇題0x①f(x)＝x2＋bx＋c對任意實數t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么()

A.f⑵＜f⑴＜f⑷ B.f⑴＜f⑵＜f⑷C.f⑵＜f⑷＜f⑴ D.f⑷＜f⑵＜f⑴

解：由題意，f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，且圖象開口向上，畫出示意圖，由圖象知f⑷＞f⑴＞f⑵，選A②已知y＝log(x2－2x)在區間(－∞，0)上單調遞增，則a的取值范圍是()

A.a＞1 B.－1＜a＜1C.a∈R且a≠0 D.a＜－1或a＞1

解：由函數的單調性的定義知：

x在(－∞，0)上增大時，函數值y隨之增大，故必有0＜a③已知函數y＝log(x2－6x＋7)，則y()

A.有最大值沒有最小值B.有最小值沒有最大值C.有最大值也有最小值D.沒有最大值也沒有最小值

解：∵u＝x2－6x＋7∈[－2，＋∞)

而定義域要求u＞0，即u∈(0，＋∞)

∴b＝log0.5u∴b∈(－∞，＋∞).選D

2.填空題

①方程x2－2|x|＝a(a∈R)有且僅有兩個不同的實數根，則實數a的取值范圍是_______.

解：令y1＝x2－2|x|，y2＝a

則y1＝，

思考：a為何(范圍)值時，方程無實數根？有四個實數根？有三個實數根？

②關于x的方程x2－2ax＋9＝0的兩個實數根分別為α、β，則(α－1)2＋(β－1)2的最小值是_______________.

解：方程有實數根，

故△＝4a2－4×9≥0,∴a≤－3或a≥3

又α＋β＝2a，αβ＝9,∴y＝(α－1)2＋(β－1)2

＝(α＋β)2－2(α＋β)－2αβ＋2

＝4a2－4a－16

∵a≤－3或a≥3,∴y≥8(a＝3時取等號),∴ymin＝8

3.已知函數y＝x2－4ax＋2a＋30的圖象與x軸無交點，求關于x的方程

＝|a－1|＋1的根的范圍.分析：由于圖象與x軸沒有交點，

所以△＜0，解得a的取值范圍

又對于每一個a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是變化的，可知，x是a的二次函數，又再轉化為二次函數在有限制的區間內的值域問題.解：∵y＝x2－4ax＋2a＋30的圖象與x軸無交點，所以△＝(－4a)2－4(2a＋30)＜0

解得：－2.5＜a＜3

⑴當a∈(－2.5，1]時，方程化為

x＝(a＋3)(2－a)＝－a2－a＋6∈(]

⑵當a∈(1，3)時，方程化為x＝(a＋3)a＝a2＋3a∈(4，18)

綜上所述：x∈(，18)4.設a，b為實常數，k取任意實數時，函數y＝(k2＋k＋1)x2－2(a＋k)2x＋(k2＋3ak＋b)的圖象與x軸都交于點A(1，0).

①求a、b的值；

②若函數與x軸的另一個交點為B，當k變化時，求|AB|的最大值.分析：由A在曲線上，得k的多項式對k恒成立，即可求的a，b的值.解：⑴由已知條件，點A(1，0)在函數圖象上，

故(k2＋k＋1)－2(a＋k)2＋(k2＋3ak＋b)＝0

整理得：(1－a)k＋(b＋1－2a2)＝0

∵對k∈R，上式恒成立

∴1－a＝0且b＋1－2a2＝0

從而a＝1，b＝1

y＝(k2＋k＋1)x2－2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)

⑵設B(α，0)，則|AB|＝|α－1|

∵(k2＋k＋1)x2-2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)＝0

的兩個根為1、α，由韋達定理

1?α＝

整理得：(1－α)k2＋(3－α)k＋(1－α)＝0

α＝1時，得2k＝0k＝0

α≠1時，∵k∈R，∴△≥0，即(3－α)2－4(1－α)2≥0

得：－1≤α≤且α≠1，綜合得：－1≤α≤

∴－2≤α－1≤，∴|AB|＝|α－1|∈[0，2]，即|AB|的最大值為2.5.設實數a、b、c滿足a2－bc－8a＋7＝0…①，b2＋c2＋bc－6a＋6＝0…②

求a的取值范圍.分析：如何將含有三個變量的兩個方程組成的方程組問題，轉化為只含有a的不等式，是解決本題的關鍵，仔細分析觀察方程組的特點，發現可以利用a來表示bc及b＋c，從而用韋達定理構造出a為變量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式.解：由①得：bc＝a2－8a＋7…………③

由①②得：(b＋c)2＝a2－2a＋1

即b＋c＝±(a－1)…………④

由③④得b，c為方程

x2±(a－1)x＋(a2－8a＋7)＝0

的兩個實數根，

由于b，c∈R，所以△≥0，即：[±(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0，即：a2－10a＋9≤0

得：1≤a≤9

6.設二次函數，方程的兩個根x1、x2滿足

0＜x1＜x2＜.

Ⅰ.當x∈(0，x1)時，證明x＜f(x)＜x1；

Ⅱ.設函數f(x)的圖象關于直線x＝x0對稱，證明:x0＜.分析：由于涉及方程根的問題，故需用韋達定理來分析和解決.證明:Ⅰ.令F(x)＝f(x)－x.

因為x1、x2是方程f(x)－x＝0的根，得

F(x)＝a(x－x1)(x－x2)

當x∈(0，x1)時，由于x1＜x2，

x－x1＜0，x－x2＜0

得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0

即x＜f(x).

而x1－f(x)＝x1－[x－F(x)]＝x1－x＋a(x－x1)(x－x2)＝(x1－x)[1－a(x－x2)]

因為0＜x＜x1＜x2＜，所以x1－x＞0，

1－a(x－x2)＞1－a·＞0

得x1－f(x)＞0，即f(x)＜x1.

Ⅱ.依題意知x0＝－.

因為x1，x2是方程f(x)－x＝0的根，即x1，x2是方程ax