巖土工程數值法授課教師：劉加才1第三章有限元法模擬滲流3.1引言：一、有限元方法（FiniteElementMethod）將研究的問題劃分為若干區域即單元，而單元通過節點來確定。單元內的水頭值由節點水頭值用插值函數來表示。二、推導方法1）、變分法2）、迦遼金方法23.2迦遼金方法一、迦遼金方法解拉普拉斯方程步驟1、確定一個近似解2、以NNODE個基函數為權重，在全域積分時等于033.2迦遼金方法一、迦遼金方法解拉普拉斯方程步驟3、分部積分由于基函數是分段定義的，在全域上連續，但一次導數不一定連續，導致二階導數在一階導數間斷處不易確定。

43.2迦遼金方法一、迦遼金方法解拉普拉斯方程步驟3、分部積分

廣義變量，表示沿邊界的距離，逆時針為正nx和ny邊界外法線方向單位矢量的分量。

53.2迦遼金方法二、三角形單元1、有限元網格

63.2迦遼金方法二、三角形單元2、基本單元1）節點用編號及其坐標確定（而差分用行列確）定每個三角形單元有三個節點號i,j,m按逆時針編號，如單元1，節點編號為1,6,5或6,5,1等73.2迦遼金方法二、三角形單元2、基本單元2）單元水頭近似解可以用下式表示：系數通過下式求解83.2迦遼金方法二、三角形單元2、基本單元2）將單元水頭近似解用節點水頭值表示：式中93.2迦遼金方法二、三角形單元2、基本單元，Ae是三角形面積103.2迦遼金方法二、三角形單元2、基本單元3）特點：1、在節點L上是1，其它兩個節點為02、沿每一條邊都隨距離線性變化3、在三角形形心點是1/34、在節點L的對邊是0113.2迦遼金方法二、三角形單元3、單元的拼接123.2迦遼金方法三、傳導矩陣的組合1、有限元方程的矩陣表示133.2迦遼金方法三、傳導矩陣的組合1、有限元方程的矩陣表示143.2迦遼金方法三、傳導矩陣的組合1、有限元方程的矩陣表示153.2迦遼金方法三、傳導矩陣的組合1、有限元方程的矩陣表示163.2迦遼金方法三、傳導矩陣的組合2、單元傳導矩陣單元e僅貢獻給與單元本身的三節點，i,j,m173.2迦遼金方法三、傳導矩陣的組合2、單元傳導矩陣183.2迦遼金方法三、傳導矩陣的組合2、單元傳導矩陣193.2迦遼金方法三、傳導矩陣的組合2、單元傳導矩陣可見單元傳導矩陣具有對稱性203.2問迦遼缺金方法三、傳導般矩陣的組擁合3、總屬傳導矩膽陣213.2廉迦遼金柔方法四、邊界拘條件1、如劃果節點育所在單做元沒有校外部邊惕界223.2伯迦遼條金方法四、邊踏界條件2、如果涼節點所在玩單元外部脖邊界，但非節點不在退邊界上233.2些迦遼唐金方法四、邊界儀條件3、如果負節點是外礎部邊界節速點1）給定寶流量243.2囑迦遼嗓金方法四、邊瓜界條件3、如木果節點半是外部高邊界節久點2）給定益水頭a、矩暗陣解法253.2火迦遼文金方法四、邊界欺條件3、如墻果節點衰是外部暖邊界節笨點2）給定愉水頭b、迭潑代解法263.2劈燕迦遼菠金方法b、迭票代解法273.2敗迦遼金貴方法五、四魂邊形單牧元1、有散限元網蕩格283.2羽迦遼貿金方法五、四承邊形單耀元2、基本斬單元1）節點燥用編號及通其坐標確攻定（而差皂分用行列蕉確）定每個三角違形單元有盜三個節點頓號i,j樸,m,n按逆時車針編號闖，如單扯元1，旱節點編辣號為1被,2,淋6,5拿或6,墨5,1挪,2等293.2撤迦遼金牙方法五、四現邊形單明元2、基部本單元2）單粒元水頭耐近似解護可以用客下式表兇示：系數通過軟下式求解303.2粥迦遼金踐方法五、四扯邊形單稍元2、基本介單元2）將單緒元水頭近喝似解用節魂點水頭值蓄表示：313.2慨迦遼茫金方法五、四邊毫形單元2、基喝本單元323.2夾迦遼金危方法五、四邊僚形單元2、基炒本單元3）止特點：1、在日節點L非上是1禮，其它扛三個節巧點為02、沿每蔑一條邊都挺隨距離線屬性變化3、在四努邊形形心莖點是1/頭4333.2宜迦遼興金方法六、等錫參單元1、采道用等參暮單元的閉意義1）隨惱著單元全基函數藏中變量狹冪次的如增加則辛單元內兇水頭的周計算精燃度提高東，所以黑就需要摟找一些乒高階的猾多項式賣作為單調元的位費移模式決建立新紗的單元史。2)適總傳導熱矩陣的熄積分越場來越不它方便343.2術迦遼畝金方法六、等撓參單元2、等采參單元泰的概念共及特征等參元爽又稱曲疤邊單元譯，它可貿以減少粒用直線堪代替曲愈線邊界拋造成的綁離散誤豪差，同上時又可請采用高遲階插值打函數，爸是一種湊高效率倉單元。先在局歇部坐標嚇系里對育簡單幾奏何形狀伏單元(乏稱為母青單元)悼構造形內函數，緩然后通告過坐標桐變換將渴簡單形告狀的母掉單元轉堤化為在氣直角坐愧標系中己的實際奴網格單蔑元(稱梨為子單濤元)，率同時得下到曲邊草子單元宴的形函偉數。所津謂“等掉參”是乒因為確阿定子單磚元形狀診的坐標兔變換所省采用的碼插值函妥數與確提定單元蠻場函數悲采用的腰插值函羊數相同很而得來誼。353.2武迦遼債金方法六、等宜參單元2、等參漸單元的概掠念及特征363.2柴迦遼副金方法六、等參助單元2、等參日單元的概鐵念及特征373.2流迦遼金肅方法六、等烏參單元3、高乳斯積分舒法高斯數值洞積分法是聰優化選擇著積分點(錫xi)和積分排權函數(Wi)，使積悶分計算公蛾式為:一維高舌斯積分汽:一般若猜取n個計積分點幼就有n歡個xi和n個Wi,的值窄，共2舟n個值刷，因此光若是f婆(x)宇是2n慕-1次胸的多項柱式，那缸末該積漸分式就游可得到靜完全精掘確的數謀值，關蠟鍵是如兆何選取碼xi和騎Wi。宣現以n責=2為哈例，即醫取2個艘積分點批，則可廚使f(戰x)具冤有2n夏-1次匠的多項利式的積含分取得爭精確解震，我們規就需找李出x1滴,x2邁,W1練,W2旋四個數蓄。f紛(x)責是一個狗三次式383.2筆迦遼金森方法六、等參堅單元3、高儲斯積分挺法高斯數值洞積分法是鎮優化選擇奪積分點(本xi)和積分爬權函數(Wi)，使加積分計露算公式伸為:一維高持斯積分素:一般若逼取n個急積分點槽就有n闊個xi和n個Wi,的值次，共2陳n個值渡，因此技若是f舒(x)粱是2n宵-1次繼的多項價式，那效末該積蜜分式就乎可得到墳完全精巷確的數部值，關隱鍵是如警何選取低xi和記Wi。算現以n兼=2為濟例，即夾取2個泊積分點體，則可急使f(劣x)具豬有2n鉗-1次升的多項維式的積斥分取得休精確解括，我們腫就需找選出x1慰,x2盆,W1泉,W2碧四個數尖。f箭(x)地是一個亦三次式39f(x擱)可取則利用多脈項式系頂數相同猾可列出吵方程求饅解x1,x2,W1,W2根據系簽數相同貓可得四稍個方程啦,求出聾x1,x2,W1,W2W1+W2=2,黑W1x1+W2x2=0W1x12+W2x22