換多目標函數優化設計有關離散變量優化設計問題優化方第一頁，共39頁。優化數學模型總體包含：設計變量，目標函數，約束條件7.1.1關于設計變量的確定工程設計中總是包含許多各種設計參數。在確定設計變量時，要對各種參數加以分析，以進行取舍。設計變量必須是獨立變量。要從優互相依賴關系的變量中剔除非獨立變量。7.1建立優化數學模型的有關問題第二頁，共39頁。下圖所示為汽車前輪轉向梯形機構。等腰梯形機構ABCD中，給定機架長度LAD=a（常數）。當汽車轉彎時，為了保證所有車輪都處于純滾動，要求從動件CD轉角與主動件AB轉角保持某確定關系該四桿機構的參數有各桿長度：l1,l2,l3,l4，和初始角其中l4=a為已知，是設計常量；又l1=l3，l3為非獨立變量；又，l2是l1與的函數，故l2也為非獨立變量。所以只有兩個參數是獨立變量第三頁，共39頁。設計變量愈多維數愈高，設計的自由度越大，容易得到較理想的優化結果；但維數越高，會使目標函數，約束函數所包含的變量增多，導致計算量增大，并使優化過程更為復雜及降低解題的效率。所以，在建立目標函數時，確定設計變量的原則是在滿足設計要求得前提下，將盡可能減少設計變量的個數，即降低維數。按設計問題維數的大小，通常把優化設計問題規模分為三類：小型優化問題：維數2-10中型優化問題：維數10-50大型優化問題：維數50以上第四頁，共39頁。7.1.2關于目標函數的建立優化設計數學模型中的目標函數F（x），是以設計變量表示設計問題所追求的某一種或幾種性能指標的解析表達式，用它來評價設計方案的優劣程度。通常，設計所追求的性能指標較多，建立目標函數，要針對影響質量和性能最為重要的，最顯著的指標作為設計追求的根本目標寫入目標函數。所建立的目標函數一般分為：單目標函數，多目標函數一般的，所包含的分目標函數越多，設計結果越完善，但設計求解的難度增大。因此，在實際設計中，在滿足設計性能要求的前提下，應盡量減少分目標函數的個數。第五頁，共39頁。7.1.3關于約束條件問題設計約束是在設計中對設計變量所提出的種種限制來確定的。約束條件表達式同常有顯性約束與隱性約束；不等式約數與等式約束；邊界約束與性能約束等。在設計中應盡量減少約束條件的個數。在眾多約束條件中，可能存在消極約束，所謂消極約束是指在某些約束得到滿足時，而有另一個或幾個約束必然得到滿足，其作用被覆蓋，被覆蓋了作用的約束稱為消極約束。如果經分析能確認是消極約束，在建立數學模型時，應將其除掉。在一般情況下，消極約束是不容易識別出來的。所以，在很多時候，仍是將全部約束都列出來，不加區別的代進算法程序中求解計算。第六頁，共39頁。7.2.1數學模型中的尺度變換數學模型中的尺度變換問題，是指用過改變在設計空間中個坐標分量的比例，以改善數學性態的一種辦法。7.2.1設計變量的尺度變換7.2.2約束條件的尺度變換7.2.3目標函數的尺度變換第七頁，共39頁。7.3多目標函數優化問題在設計中，優化設計方案的好壞僅依賴于一項設計指標，即所建立的目標函數僅含一個目標的函數，這樣的目標函數稱為單目標函數，屬于單目標優化設計問題。在許多實際設計中，一個設計方案又企望有幾項設計指標同時都達到最優值，這種在優化設計中同時要求兩項極其以上設計指標達到最優值得問題，成為多目標優化設計，目標函數稱為多目標函數。第八頁，共39頁。7.3.1多目標優化設計數學模型優化設計中，若有m個設計指標表達的目標函數要求同時達到最優，則表示為上式稱為向量目標函數，是多目標函數；式中的f1(x),f2(x),……，fm(x)稱為目標函數中的各分目標函數。第九頁，共39頁。數學模型的一般表達式gu(x)≥0(u=1,2,……，p)hv(x)=0(v=1,2……，q<n)為了與單目標優化問題相區別，在目標函數前加V，即表示為第十頁，共39頁。7.3.2多目標優化設計的概念在單目標優化設計中，對于各種性態函數，總可以通過對迭代點函數值的比較，找出全局最優解，對任意兩個解都能判斷其優劣。而多目標函數問題與單目標則有根本區別，任意兩個解之間，就不一定能判斷出優劣。1絕對最優解定義一：一般表達式多目標設計優化問題，若包括所有的J=1，2，……m對于任意的設計點x∈D都有fj(x)≥fj(x*)成立，則點x*是多目標優化問題的絕對最優解。第十一頁，共39頁。無約束一維多目標優化設計問題(維數n=1，分目標m=2)x*為絕對最優解得迭代點，絕對最優解（x*，F*）約束一維多目標優化設計解的情況。在可行域[0，1]中，絕對最優解發生在x*=1處。存在絕對最優解（x*，F*）n=2m=2約束多目標優化設計解的情況，點x*為最優點。第十二頁，共39頁。2有效解（非裂解）與劣解定義二：對于一般表達式，若有設計點x∈D，不存在任意的x∈D，使F(x)≤F(x*)成立，或fj(x)≥fj(x*)，對于所有的j=1，2，……m成立。則稱x*為有效解或非劣解。例7.1一個二維分目標（n=1，m=2）的多目標優化問題為D：第十三頁，共39頁。見右下圖。取x=b，該點是有效解。因為在可行域D內，任取另一點X，不存在F(x)≤F(b)，即f1(x)≤f1(b)，又同時有f2(x)≤f2(b)。x=b點滿足有效解定義。同理，區間[1，2]中的任意一點都滿足有效解定義。所以，區間[1，2]組成了有效解（非劣解）集。第十四頁，共39頁。定義三：在可行域D內，除絕對最優解與有效解集以外，部分的設計點均稱劣解點，劣解點的全部稱為劣解集。例7.2一個二維分目標的多目標優化設計問題。D：見右圖，在可行域[0，4]內，區間[1，3]為有效解集；[0，1]，[3，4]為劣解集。第十五頁，共39頁。例7.3二維（n=2）兩個分目標（m=2）優化問題。分目標函數為f1(x),f2(x)，可行域D目標函數等值線見右下圖。該優化問題不存在絕對最優解，可行域D邊界上一段曲線A1至A2為有效解集，在可行域的其余部分全部構成劣解集。將其映射到目標函數構成空間圖(b)，曲線A1A2與Q1Q2對應，一些目標函數值比較小的解集在曲線Q1Q2上，為有效集。第十六頁，共39頁。3最終解（選好解）從有效解中選出最終解或稱選好解。如無某種要求，一般從有效解集（A1A2曲線或Q1Q2曲線）中任選一點，都可作為最終解；有時，設計者要根據設計問題的不同要求與意愿，從中選出一個符合某種要求“滿意”的解作為最終解。第十七頁，共39頁。7.3.3多目標優化問題的求解方法多目標優化求解方法大體分為兩大類。其一是將多目標優化問題化為一系列單目標優化問題求解；另一是將多目標優化問題重新構造成一個新的函數，即評價函數，從而將多目標優化求解轉變為求評價目標函數的最優解。一，寬容分層序列法該方法的基本思想是將第十八頁，共39頁。中的m個目標函數按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊，重要的目標函數排在前面，然后依次對分目標函數求各自的最優解，只是最后一個目標函數求優應在前一個目標最優解的集合域內求優。但由于分目標函數的最優解常常是唯一的，其最優解域的集合只有一個設計點那么求下一個目標函數的最優解就無意義了。為了使分層序列法不是去在有效解中秋最終解（選好解）的功能，則將各目標函數的最優值給與放寬，使在后一個分目標函數求優時，能在前一個最優值附近的某一范圍內求優。具體做法如下：第十九頁，共39頁。對一般表達式的多目標優化設計問題，給各分目標函數最優值的寬容量分別是……則寬容分層序列法的步驟如下①②③m求解得到最優解…………第二十頁，共39頁。上式也可寫為①②求解得到最優解i=1，2，……，m-1取最后一個目標函數的最優點作為多目標優化問題的最優點x*。即第二十一頁，共39頁。二，線形加權法線形加權法又稱線形組合法，它是處理多目標優化問題常用的較簡單的一種方法。按各分函數的重要程度，對應的選擇一組加權系數λ1，Λ2，……，λm。其界線為（j=1，2，……m）用fj(x)與λj(x)（j=1，2，……m）的線形組合構成一個評價函數第二十二頁，共39頁。求新的評價函數最優解，即gu(x)≥0hv(x)=0D：x*即將一般式的單多目標優化問題轉化成求上式的單目標優化問題第二十三頁，共39頁。關于確定一組合理的加權系數λj（j=1，2……，m），希望能準確的反映各目標函數在整個多目標優化問題中的重要程度，它是一個困難且較負雜的問題，如果取得合理，則可以達到預期優化的目的，否則有可能造成計算謬誤而失敗。目前，確定加權系數有的是設計者評設計經驗直接給定，也有用試算統計計算。（j=1，2，……m）其中，（j=1，2……，m）即分目標在可行域內的最優目標函數值。式中的反映了各分目標函數離開各自最優值得程度。第二十四頁，共39頁。三，理想點法多目標優化問題的一般式中，先求出各分目標函數在可行域D內的最優解（j=1，2……，m）最有函數值向量上式稱為理想解。如果在本問題不存在絕對最優解的情況下，對于向量目標函數來說理想解似得不到的；但要力求使各分目標僅可能接近各自的理想值，則可以認為達到有效解中的選好解。第二十五頁，共39頁。在實際的設計中，也常常按照設計者的經驗與期望制定出一個合理的各分目標函數值構成理想解將與在寫法上統一為，在構造設計方案與理想解之間的離差函數U(x),U(x)函數可取以下形式相對離差加權相對離差第二十六頁，共39頁。平方和加權離差絕對值離差將式中的多目標函數構造出以上幾式的單目標函數作為評價函數，用評價目標函數的解作為原多目標優化問題的最終解。其表達式為gu(x)≥0hv(x)=0D：第二十七頁，共39頁。四，乘除法該方法適于處理下面問題。按分目標函數的性質可分為兩類，兩類的期望相反。其中的一類是表現目標函數值越小越好，如追求體重輕，結構緊湊，原材料消耗少，加工成本和加工費低，磨損量和應力小等；另外一類表現為目標函數值越大越好，如產品產量，機械效率，零件強度及剛度，利潤，承載能力等。建議如下構造評價函數：其中，s(s<m)為第一類函數，(分目標函數期望取小)第二十八頁，共39頁。如果有兩個分目標函數f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如下圖所示過域Df內的任一通過原點o的直線oA，它的斜率為當時，即直線oA移到與域Df邊界的左方相切，切點為Q，點Q對應的函數值即為乘除法求得的選好解第二十九頁，共39頁。五，協調曲線法這種方法是用來解決設計目標互相矛盾的多目標設計優化問題，為求最終解須對一般式個分目標函數加以協調，以求在有效解集中求出選好解，作為多目標優化問題的最終解。現以兩個分目標函數組成的多目標優化問題為例。第三十頁，共39頁。兩分目標的最優點分別在A1及A2，它們的分目標函數值為A1點A2點在可行域D內任取一點B，其分目標函數值為當固定，極小化f1(x)的可行域邊界點C，C點的分目標函數值為當固定，極小化f2(x)的可行域邊界點C，C點的分目標函數值為第三十一頁，共39頁。可見，C，D兩點都優于B點，在CD曲線上任選一點代表的方案至少有一個目標函數值的到改善，所以CD曲線上任一點都優于B點。曲線A1CDA2代表著有效解的解集，故稱此曲線為協調曲線。選好解（最終解）應從協調曲線上選取。為從協調曲線上確定選好解，再以f1(x),f2(x)為坐標建立一個新的坐標系，見前面圖2。將圖1的協調曲線轉換到新的坐標系中，對應關系為A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，則將A1CDA2曲線轉換到2圖中的Q1GHQ2曲線。為在協調曲線上確定一個選好解，一般需另外一項指標，為此在2圖中畫出滿意曲線，隨著滿意程度的增加可使分目標函數值均有所下降，直到o點，此點是從協調曲線上得出的最滿意設計方案。分目標函數值為第三十二頁，共39頁。如何確定滿意函數或滿意曲線，要按工程實際情況，很多時候是依設計者的實踐經驗而設置；也可以根據實驗數據而定。必要時對分目標函數實行線形加權。協調曲線法適合分目標追求出現矛盾情況。要在有效解集中找出最滿意的設計方案。在優化過程中，有時為了某個具有較差值的分目標也能達到較為理想，則要增大其他分目標函數值為代價，其主要思想是對各分目標函數進行協調，互相之間做出讓步，最終取得一個工程實際能認可的滿意方案。對于兩個以上的分目標的多目標優化問題，所畫的協調曲線就變成多維抽象空間的超曲面，不可能用圖形來表示，則只能按數學模型由計算機自動處理。第三十三頁，共39頁。7.4關于離散變量的優化設計問題7.4.1離散變量優化設計的基本概念7.4.2離散變量優化方法簡介①湊整法②網格法③離散復合型法④離散型懲罰函數法第三十四頁，共39頁。7.5優化方法的選擇及評價準則7.5.1選擇優化方法需考慮的問題對優化設計問題，在建立了數學模型之后，就要選擇一個恰當的方法，來進行最優解得求解。目前，一般的做法是由設計者根據實際優化設計問題的特點，在對各種優化方法按評價準則所作的優缺點介紹，結合已有的一些經驗來適當的選取算法。根據優化問題的特點，恰當的選擇優化方法是一個很重要的問題。下面就優化問題數學模型方面要考慮的一些因素分述如下：第三十五頁，共39頁。⑴數學模型的類型

包括以下幾個方面：是有約束還是無約束，如有約束是等式約束還是不等式約束或是兩者兼有；設計變量是