第一講圓的方程宋體三號加粗宋體三號加粗一、知識清單一級標題宋體四號加粗一級標題宋體四號加粗（一）圓的定義及方程二級標題宋體小四加粗二級標題宋體小四加粗定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)正文宋體五號正文宋體五號標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)1、圓的標準方程與一般方程的互化三級標題宋體五號加粗三級標題宋體五號加粗（1）將圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F(xiàn)＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.（2）將圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通過配方后得到的方程為：(x＋eq\f(D,2))2＋(y＋eq\f(E,2))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)=1\*GB3①當D2＋E2－4F>0時，該方程表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))為圓心，eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)為半徑的圓；=2\*GB3②當D2＋E2－4F＝0時，方程只有實數(shù)解x＝－eq\f(D,2)，y＝－eq\f(E,2)，即只表示一個點(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))；=3\*GB3③當D2＋E2－4F<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．2、圓的一般方程的特征是：x2和y2項的系數(shù)都為1，沒有xy的二次項.3、圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了．（二）點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系：（1）若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.（2）若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.（3）若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.本處標題級數(shù)錯誤，應為1、2、3本處標題級數(shù)錯誤，應為1、2、3三級標題方法一：方法二：（四）圓與圓的位置關系1外離2外切3相交4內(nèi)切5內(nèi)含（五）圓的參數(shù)方程（六）溫馨提示1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是：（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.2、求圓的方程時，要注意應用圓的幾何性質(zhì)簡化運算．（1）圓心在過切點且與切線垂直的直線上．（2）圓心在任一弦的中垂線上．（3）兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線．3、中點坐標公式：已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，則x＝，y＝.【變式4】如果三角形三個頂點分別是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，則它的內(nèi)切圓方程為________________．方法總結：1．利用待定系數(shù)法求圓的方程關鍵是建立關于D，E，F(xiàn)的方程組．2．熟練掌握圓的一般方程向標準方程的轉(zhuǎn)化考點三、與圓有關的軌跡問題【例1】動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16【例2】方程表示的曲線是（）A.一條射線B.一個圓C.兩條射線D.半個圓【例3】在中，若點的坐標分別是（-2,0）和（2,0），中線AD的長度是3，則點A的軌跡方程是（）A.B.C.D.【例4】已知一曲線是與兩個定點O(0,0)，A(3,0)距離的比為eq\f(1,2)的點的軌跡．求這個曲線的方程，并畫出曲線．【變式1】方程所表示的曲線是（）A.一個圓B.兩個圓C.一個半圓D.兩個半圓【變式2】動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16【變式3】如右圖，過點M(－6,0)作圓C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割線，交圓C于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡．【變式4】如圖，已知點A(－1,0)與點B(1,0)，C是圓x2＋y2＝1上的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|＝|BC|，求AC與OD的交點P的軌跡方程．方法總結：求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡．(2)定義法：根據(jù)直線、圓等定義列方程．(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．考點四：與圓有關的最值問題【例1】已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是________【例2】已知x，y滿足x2＋y2＝1，則eq\f(y－2,x－1)的最小值為________．【例3】已知點M是直線3x＋4y－2＝0上的動點，點N為圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的動點，則|MN|的最小值是()A.eq\f(9,5) B．1C.eq\f(4,5) D.eq\f(13,5)【例4】已知實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋(y＋1)2＝1則2x－y的最大值為________，最小值為________．【變式1】P(x，y)在圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移動，則x2＋y2的最小值為________．【變式2】由直線y＝x＋2上的點P向圓C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切線PT(T為切點)，當|PT|最小時，點P的坐標是()A．(－1,1) B．(0,2)C．(－2,0) D．(1,3)【變式3】已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點，則△ABC面積的最小值是________．【變式4】已知圓M過兩點C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．（1）求圓M的方程；（2）設P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值．方法總結：解決與圓有關的最值問題的常用方法（1）形如u＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題