《函數的概念和圖象》隨堂練習一、選擇題1．（2010·天津南開區調研）已知ab＝1，函數f（x）＝ax與函數g（x）＝－logbx的圖象可能是（）解析：∵ab＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，0<b<1，ax為增函數，－logbx為增函數,0<a<1，b>1，ax為減函數，－logbx為減函數)).答案：B2．函數y＝lncosx（－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2)）的圖象是（）解析：本小題主要考查復合函數的圖像識別．y＝lncosx（－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2)）是偶函數，可排除B、D，由cosx≤1?lncosx≤0排除C，選 A.答案：A3．（2009·安徽）設a＜b，函數y＝（x－a）2（x－b）的圖象可能是（）解析：由已知條件可知：x（－∞，a）a（a，b）b（b，＋∞）y－0－0＋答案：C4．（2010·山東煙臺調研）已知函數y＝f（x）（x∈R）滿足f（x＋2）＝f（x），且x∈（－1,1]時，f（x）＝|x|，則y＝f（x）與y＝log7x的交點的個數為（）A．4B．5C．6D．7解析：y＝f（x）與y＝log7x的交點即為圖象的交點如圖，由圖象可知有6個交點．答案：C二、填空題5．（2009·湖南十二校聯考）已知函數f（x）＝eq\f(x－5,2x＋m)的圖象關于直線y＝x對稱，那么m＝________.解析：f（x）＝eq\f(x－5,2x＋m)的反函數為f－1（x）＝eq\f(－mx－5,2x－1).因為函數圖象關于直線y＝x對稱，所以f（x）＝f－1（x），即eq\f(x－5,2x＋m)＝eq\f(－mx－5,2x－1)，對一切x≠eq\f(1,2)的實數恒成立．∴m＝－1.答案：－16．（2010·江蘇揚州調研）若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．解析：曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示．由圖象可得|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[-1,1]．答案：[-1,1]7．（情景題）一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如下圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如下圖丙所示．（至少打開一個水口）給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水不出水；則一定能確定正確的論斷序號是________．解析：由題中圖丙，可知0點到3點時水增加速度等于2個進水口的進水速度，則①正確；3點到4點時“一進一出”，所以②錯誤；③與已知（至少打開一個水口）不符．答案：①三、解答題8．已知函數f（x）＝eq\f(x,1＋x).（1）畫出f（x）的草圖；（2）指出f（x）的單調區間．解：（1）f（x）=eq\f(x,1＋x)=1-eq\f(x,x＋1)，函數f（x）的圖象是由反比例函數y=-eq\f(1,x)的圖象向左平移1個單位后，再向上平移1個單位得到，圖象如圖所示．（2）由圖象可以看出，函數f（x）有兩個單調遞增區間：（-∞，-1），（-1，+∞）．9．（2010·福建廈門模擬）設函數f（x）＝x＋eq\f(1,x)的圖象為C1，C1關于點A（2,1）對稱的圖象為C2，C2對應的函數為g（x）．（1）求g（x）的解析式；（2）若直線y＝m與C2只有一個交點，求m的值和交點坐標．解：（1）設點P（x，y）是C2上的任意一點，則P（x，y）關于點A（2,1）對稱的點為P′（4－x,2－y），代入f（x）＝x＋eq\f(1,x)，可得2－y＝4－x＋eq\f(1,4－x)，即y＝x－2＋eq\f(1,x－4)，∴g（x）＝x－2＋eq\f(1,x－4).（2）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝m，,y＝x－2＋\f(1,x－4)，))消去y得x2－（m＋6）x＋4m＋9＝0Δ＝（m＋6）2－4（4m＋9）∵直線y＝m與C2只有一個交點，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.當m＝0時，經檢驗合理，交點為（3,0）；當m＝4時，經檢驗合理，交點為（5,4）．10．已知函數y＝f（x）的定義域為R，并對一切實數x，都滿足f（2＋x）＝f（2－x）．（1）證明：函數y＝f（x）的圖象關于直線x＝2對稱；（2）若f（x）是偶函數，且x∈[0,2]時，f（x）＝2x－1，求x∈[－4,0]時的f（x）的表達式．證明：（1）設P（x0，y0）是函數y＝f（x）圖象上任一點，則y0＝f（x0），點P關于直線x＝2的對稱點為P′（4－x0，y0）．因為f（4－x0）＝f[2＋（2－x0）]＝f[2－（2－x0）]＝f（x0）＝y0，所以P′也在y＝f（x）的圖象上，所以函數y＝f（x）的圖象關于直線x＝2對稱．（2）解：當x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]，所以f（－x）＝－2x－1.又因為f（x）為偶函數，所以f（x）＝f（－x）＝－2x－1，x∈[－2,0]．當x∈[－4，－2]時，4＋x∈[0,2]，所以f（4＋x）＝2（4＋x）－1＝2x＋7，而f（4＋x）＝f（－x）＝f（x），所以f（x）＝2x＋7，x∈[－ 4，－2]．所以f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋7，x∈[－4，－2]，,－2x－1，x∈－2，0].))1．某地一年內的氣溫Q（t）（單位：℃）與時間t（月份）之間的關系如右圖所示，已知該年的平均氣溫為10℃.令C（t）表示時間段[0，t]的平均氣溫，C（t）與t圖象表示，則正確的應該是（）,解析：由圖可以發現當t＝6時，C（t）＝0，排除C；t＝12時，C（t）＝10，排除D項； 在大于6的某一段氣溫超于10，所以排除B項，故選A項． 答案：A2.（★★★★★）不等式eq\r(1－x2)<x＋a在x∈[－1,1]上恒成立，則實數a的取值范圍是（）A．（－∞，－eq\r(2)） B．（－1，eq\r(2)）C．[eq\r(2)，＋∞）