目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章函數與極限 1第二節數列的極限 1第三節函數的極限 1第四節無窮小與無窮大 2第五節極限運算法則 2第六節極限存在準則兩個重要極限 3第七節無窮小的比較 4第八節函數的連續性與間斷點 4第九節連續函數的運算與初等函數的連續性 5第十節閉區間上連續函數的性質 5第二章導數與積分 6第一節導數概念 6第二節函數求導法則 7第三節高階導數 7第四節隱函數及由參數方程所決定的函數的導數相關變化率 8第五節函數的微分 8第三章微分中值定理與導數的應用 9第一節微分中值定理 9第二節羅必達法則 9第三節泰勒公式 10第四節函數的單調性與曲線的凹凸性 11第五節函數的極值與最大值和最小值 12第七節曲率 13第四章不定積分 13第一節不定積分的概念和性質 13第二節換元積分法 14第三節分部積分法 15第四節有理函數的積分 15第五章定積分 16第一節定積分的概念與性質 16第二節微積分基本公式 17第三節定積分的換元法和分部積分法 17第四節反常積分 18第六章定積分的應用 19第二節定積分在幾何學上的應用 19第三節定積分在物理學上的應用 20第七章微分方程 21第一節微分方程的基本概念 21第二節可分離變量的微分方程 21第三節齊次方程 21第四節一階線性微分方程 22第五節可降階的高階微分方程 22第六節高階線性微分方程 22第七節常系數齊次線性微分方程 23第八節常系數非齊次線性微分方程 24第九章多元函數微分法及其應用 24第一節多元函數的基本概念 24第二節偏導數 25第三節全微分 26第四節多元復合函數的求導法則 26第五節隱函數的求導法則 27第八節多元函數的極值及其求法 28第十章重積分 29第一節二重積分的概念與性質 29第二節二重積分的計算法 29第四節重積分的應用 30第一章行列式 32第一節二階與三階行列式 32第三節n階行列式的定義 32第五節行列式的性質 32第六節行列式按行（列）展開 33第七節克拉默法則 34第二章矩陣及其運算 34第一節矩陣 34第二節矩陣的運算 35第三節逆矩陣 37第四節矩陣分塊法 37第三章矩陣的初等變換與線性方程組 38第一節矩陣的初等變換 38第二節矩陣的秩 39第三節線性方程組的解 39第四章向量組的線性相關性 40第一節向量組及其線性組合 40第二節向量組的線性相關性 41第三節向量組的秩 41第四節線性方程組解的結構 41第五節向量空間 42第五章相似矩陣及二次型 42第一節向量的內積、長度及正交性 42第二節方陣的特征值與特征向量 44第三節相似矩陣 44第四節對稱矩陣的對角化 45第五節二次型及其標準形 45第七節正定二次型 45常用公式 47——Tg 49第一章函數與極限第二節數列的極限數列的極限：設為一數列，如果存在常數，對于任意給定的正數（不論它多么小），總存在正數N，使得當時，不等式都成立，那么就稱常數是數列的極限，或者稱數列收斂于，記為，或。引入記號“”表示“對于任意給定的”或“對于每一個”，記號“”表示“存在”。收斂數列的性質：1（極限的唯一性）如果數列收斂，那么他的極限唯一。2（收斂數列的有界性）如果數列收斂，那么數列一定有界。但有界函數卻不一定收斂。3（收斂數列的保號性）如果，且（或），那么存在正數，當時，都有（或）。推論：如果數列從某項起有（或），且，那么（或）。4（收斂數列與其子數列間的關系）如果數列收斂于，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是。如果數列有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數列是發散的。定律：（1）如果，則。（2）如果數列有極限，但數列不一定有極限。第三節函數的極限自變量趨于有限值時函數的極限：設函數在點的某一去心鄰域內有定義。如果存在常數A，對于任意給定的正數（不論它多么小），總存在正數，使得當滿足不等式時，對應的函數值滿足不等式，那么常數A就叫做函數當時的極限，記作或（當）。左極限：x從的左側趨于（記作）。右極限：x從的右側趨于（記作）。時有沒有極限，與在點是否有定義并無關系。函數當時極限存在的充分必要條件是左極限有極限各自存在并且相等，即。自變量趨于無窮大時函數的極限：設當大于某一正數時有定義。如果存在常數A，對于任意給定的正數（不論它多么小），總存在著正數X，使得當滿足不等式，那么常數A就叫做函數當時的極限，記作或（當）。函數極限的性質：1（函數極限的唯一性）如果存在，那么這極限唯一。2（函數極限的局部有界性）如果，那么存在常數和，使得當時，有。3（函數極限的局部保號性）如果，且（或），那么存在常數，使得當時，有（或）。推論：如果在的某一去心鄰域內（或），且，那么（或）。如果（），那么就存在的某一去心鄰域，當時，就有。第四節無窮小與無窮大無窮小：如果函數當（或）時的極限為零，那么稱函數為當（或）時的無窮小。定理：在自變量的同一變化過程（或）中，函數具有極值A的充分必要條件是，其中是無窮小。無窮大：設函數在點的某一去心鄰域內有定義（或大于某一正數時有意義）。如果對于任意給定的正數M（不論它多么大），總存在正數（或正數X），只要適合不等式（或），對應的函數值總滿足不等式，那么稱函數為當（或）時的無窮大。定理：在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大。第五節極限運算法則1有限個無窮小的和也是無窮小。2有界函數與無窮小的乘積也是無窮小。推論：常數與無窮小的乘積是無窮小。有限個無窮小的乘積也是無窮小。3如果，那么（1）；（2）；（3）若，則。推論：如果存在，而是整數，則4設有數列和。如果，那么①②③當且時，。5如果，而，那么。若，則。若，則復合函數的極限運算法則：函數是由函數與函數復合而成，在點的去心鄰域內有定義，若，且存在，當時，有，則。第六節極限存在準則兩個重要極限數列夾逼準則：如果數列，及滿足下列條件：（1）從某項起，即，當時，有（2），那么數列的極限存在，且。函數夾逼準則：如果（1）當（或）時，（2），那么存在，且等于A。定理：單調有界數列必有極限。定理：設函數在點的某個左鄰域內單調并且有界，則在的左極限必定存在。柯西極限存在準則：數列收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數，存在著這樣的正整數N，使得當時，就有。兩個重要極限：，。第七節無窮小的比較兩個無窮小之間的比較：如果，就說是比高階的無窮小，記作；如果，就說是比低階的無窮小；如果，就說與是同階無窮小；如果，就說是關于的階無窮小；如果，就說是的等價無窮小，記作。定理：與是等價無窮小的充分必要條件為。定理：設，且存在，則。常用等價無窮小（當時）：以下所有的x都可以替換為：第八節函數的連續性與間斷點函數的增量：函數的連續性：設函數在點的某一鄰域內有定義，如果或，那么函數在點連續。左連續：如果存在且等于，即，就說函數再點左連續。右連續：如果存在且等于，即，就說函數再點右連續。區間上的連續函數：在區間上每一點都連續的函數，叫做在該區間上的連續函數，或者說函數在該區間上連續。函數的間斷點：如果函數有下列三種情形之一：（1）在沒有定義；（2）雖在有定義，但不存在；（3）雖在定義，且存在，但，則函數在點為不連續，而點稱為函數的不連續點或間斷點。第一類間斷點：.如果是函數的間斷點，但左極限和右極限都存在，那么稱為函數的第一列間斷點。左右極限相等者稱為可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點。第二類間斷點：左右極限有一個不存在，或兩個都不存在。無窮間斷點和跳躍間斷點。注意：間斷點為。第九節連續函數的運算與初等函數的連續性連續函數的和、差、積、商的連續性：設函數和在點連續，則它們的和（差）、積及商（當時）都在點連續。反函數的連續性：如果函數在區間上單調增加（或單調減少）且連續，那么他的反函數也在對應的區間上單調增加（或單調減少）且連續。復合函數的連續性：設函數由函數與函數復合而成，。若，而函數在連續，則或，其中，。復合函數的連續性：設函數由函數與函數復合而成，。若函數在連續，且，而函數在連續，則復合函數在也連續。定理：一切初等函數在其定義區間都是連續的。定律：對于形如的函數（通常稱為冪指數函數），如果，，那么。第十節閉區間上連續函數的性質在閉區間上連續：如果函數在開區間內連續，在右端點b左連續，在左端點a右連續，那么函數就是在閉區間上連續的。有界性與最大值最小值定理：在閉區間上連續的函數在該區間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。零點定理：設函數在閉區間上連續，且與異號（即），那么在開區間內至少有一點，使。介值定理：設函數在閉區間上連續，且在這區間的端點取不同的函數值及，那么，對于A與B之間的任意一個數C，在開區間內至少有一點，使得。推論：在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。求的漸近線的方法：（1）垂直漸近線：是垂直漸近線或。（2）水平漸近線：時是水平漸近線。（3）斜漸近線：時是斜漸近線，。（2）若是連續的周期函數，周期為T，則，，即在任何長度為T的區間上的積分值是相等的。（3）以T為周期的充要條件是。（4）設連續函數以T為周期，則的全體原函數以T為周期的充要條件是。（6）。（7）假定在為連續函數，則當為奇函數時，在的全體原函數均為偶函數；當為偶函數時，在只有唯一原函數為奇函數。第二章導數與積分第一節導數概念導數的定義：設函數在點的某個鄰域內有定義，當自變量x在處取得增量（點仍在該鄰域內）時，相應的函數取得增量；如果與之比當時的極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限為函數在點處的導數，記為，即，也可記作，或。導函數定義式：或。顯然，函數在點處的導數就是導函數在點處的函數值，即。函數在點處可導的充分必要條件是左導數和右導數都存在并相等。如果函數在開區間內可導，且及都存在，就說在閉區間上可導。導數的幾何意義：函數在點處的導數在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率，即，其中是切線的頃角（切線和x軸正方向的夾角）。切線方程：曲線在點處的切線方程為。法線方程：曲線在點處的法線方程為。定律：函數在點x處可導，則函數在該點必連續；反之，一個函數在某點連續卻不一定在該點可導。定律：（1）設在I上可導，若在I上為奇函數在I上為偶函數；若在I上為偶函數在I上為奇函數。（2）設在X上可導，以T為周期在X上也以T為周期。（3）設在可導，在連續而不可導，則（）在處。（4），則先考察的點，這些點可能是不可導點，再考察這些點中的點，這些點一定是不可導點。第二節函數求導法則函數的和、差、積、商的求導法則：設，都可導，則反函數的求導法則：設在區間內單調、可導且，則它的反函數在內也可導，且或。反函數的導數等于直接函數導數的倒數。復合函數求導法則：設，而且及都可導，則復合函數的導數為或。常用初等函數導數公式： 第三節高階導數二階導數：函數的導數仍然是x的導數。把的導數叫做函數的二階導數，記作或，即或。n階導數。常用高階導數： 萊布尼茨公式：二項式定理：第四節隱函數及由參數方程所決定的函數的導數相關變化率隱函數的求導方法：方程兩邊分別對x求導，并注意。冪指函數的求導方法：對于一般形式的冪指函數，則可以對方程兩邊取對數，即，然后再求導；或將函數關系式表示為。由參數方程所決定的函數的導數：若參數方程確定y與x之間的關系，則。第五節函數的微分微分：設函數在某區間內有定義，及在這區間內，如果增量可表示為，其中A是不依賴于的常數，那么稱函數在點是可微的，而叫做函數在點相應于自變增量的微分，記作，即。函數在點可微的充分必要條件是函數在點可導。函數的微分：函數在任意點x的微分，稱為函數的微分，記作或，即。自變量的微分：自變量x的增量稱為自變量的微分，記作，即。于是函數的微分又可記作。從而有。微分的幾何意義：對于可微函數而言，當是曲線上的點的縱坐標的增量時，就是曲線上的點的切線上點的縱坐標的相應增量。函數和、差、積、商的求導法則：復合函數求導法則：設和都可導，則復合函數的微分為。第三章微分中值定理與導數的應用第一節微分中值定理費馬引理：設函數在點的某領域內有定義，并且在處可導，如果對任意的，有（或），那么。駐點：導數等于零的點為函數的駐點（駐點為）。羅而定理：如果函數滿足（1）在閉區間上連續（2）在開區間內可導（3）在區間斷點處的函數值相等，即，那么在內至少有一點，使得。拉格朗日中值定理：如果函數滿足（1）在閉區間上連續（2）在開區間內可導，那么在內至少有一點，使等式成立。幾何意義：如果連續曲線的弧上除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點C，使曲線在C點處的切線平行于弦AB。定理：如果函數在區間I上的導數恒為零，那么在區間I上是一個常數。柯西中值定理：如果函數及滿足（1）在閉區間上連續（2）在開區間內可導（3）對于任一，，那么在內至少有一點，使等式成立。定理：（1）設在連續，在n階可導，若在中有個不同的點取相同的函數值，則，使得。（2）設在連續，在n階可導，在無零點，則在至多有n個不同的根。第二節羅必達法則未定式：如果當（或）時，兩個函數與都趨于零或趨于無窮大，即或，那么極限可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式。羅必達法則Ⅰ：設（1）當時，函數及都趨于零或都趨于無窮（2）在點a的某去心鄰域內，及都存在，且（3）存在（或為無窮大），那么。羅必達法則Ⅱ：設（1）當時，函數及都趨于零或都趨于無窮（2）當時時，及都存在，且（3）存在（或為無窮大），那么。注意：如果不是未定式，就不能用羅必達法則。當存在或為無窮大時，也存在或為無窮大，且等于；但反之不存在時，可能存在。對于的形式，，則。第三節泰勒公式泰勒中值定理：如果函數在含有的某個開區間內具有直到階的導數，則對任意，有 這里是與x之間的某個值。其中稱為函數按的冪展開的n階泰勒多項式，式稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式，稱為拉格朗日余項。上式為按的冪展開的帶佩亞諾型余項的n階泰勒公式，稱為佩亞諾余項。邁克勞林公式（在泰勒公式中，取）：令，得到帶有拉格朗日型余項的邁克勞林公式：帶有佩亞諾余項的邁克勞林公式：常用泰勒公式：①②③④⑤無窮小階的運算：（1）（2）（3）（4），其中在有界。第四節函數的單調性與曲線的凹凸性定理：設函數在上連續，在內可導，那么（1）如果在內，那么函數在上單調增加（2）如果在內，那么函數在上單調減少。曲線凹凸性：設在區間I上連續如英國對I上任意的兩點，恒有，那么稱在I上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有，那么稱在I上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）。定理：設在上連續，在內具有一階和二階導數，那么（1）若在內，則在上的圖形是凹的（2）若在內，則在上的圖形是凸的。拐點：如果曲線在經過點時，曲線的凹凸性改變了，或的符號改變了，那么就稱點為這曲線的拐點。注意：拐點是（間斷點和極值點為）。的點和不存在的點都可能是的拐點，對于這兩種情況都要分別判斷在左右兩側的符號，符號不同時，才是的拐點，符號相同，則不是的拐點。第五節函數的極值與最大值和最小值極大值（極小值）：設函數在點的某鄰域內有定義，如果對于去心鄰域內的任一x，有（或），那么就稱是函數的一個極大值（或極小值）。定理：設函數在可導，且在處取得極值，那么。但的地方，不一定取得極值。定理：設函數在處連續，且在的某去心鄰域內可導，那么（1）若時，，而時，，則在處取得極大值（2）若時，，而時，，則在處取得極小值（3）若時，的符號保持不變，則在處沒有極值。定理：設函數在處具有二階導數且，，那么（1）當時，函數在處取得極大值（2）當時，函數在處取得極小值。注意：閉區間上的最大值或最小值可能是駐點，不可導點或端點值。第七節曲率弧s與x的關系：。s的絕對值等于這段弧的長度。弧微分公式：曲率：，表示弧的彎曲程度。對于圓來說，半徑越小，曲率越大，彎曲得越厲害。直角坐標方程的曲率：參數方程的曲率：曲率半徑：第四章不定積分第一節不定積分的概念和性質原函數：如果在區間I上，可導函數的導數為，即對任意，都有或，那么函數就稱為（或）在區間I上的原函數。原函數存在定理：如果函數在區間I上連續，那么在區間I上存在可導函數，對任一都有。簡單的說，就是連續函數一定有原函數。注意：如果I上有第一類間斷點，則在I上一定不存在原函數；如果I上有第二類間斷點，則在I上可能存在原函數，比如，在存在間斷點。不定積分：在區間I上，函數的帶有任意常數項的原函數稱為（或）在區間I上的不定積分，記作。其中記號稱為積分號，稱為被積函數，稱為被積表達式，x稱為積分變量。定律：不定積分可以表示的任意一個原函數：。積分曲線：函數的原函數的圖形稱為的積分曲線。記號與d連在一起時，或者抵消，或者抵消后差一個常數。基本積分表： 不定積分的性質：第二節換元積分法第一類換元法：設具有原函數，可導，則有換元公式。對于積分，總可作變換，把它化為。對于或型函數的積分，總可依次作變換或，求得結果。對于型函數，總可利用三角恒等式：，化成的多項式，然后求解。第二類換元法：設是單調的、可導的函數，并且。又設具有原函數，則有換元公式，其中是的反函數。三角替換：（1），則，（2），則，（3），則，，（4），則可配方成上述形式，再進行替換。第三節分部積分法分部積分法：或選取u和dv要注意：（1）v要容易求出（2）要比容易求出分部積分常見形式：①，，，進行n次分部積分，每次均取，，為，多項式部分為。②，，，取為，，，等為，分部積分一次后被積函數的形式發生變化。③，，兩部分都可做，但是最好用做。第四節有理函數的積分有理函數：兩個多項式的商稱為有理函數。當分子多項式的次數小于分母多項式的次數時，稱這有理函數為真分式，否則稱為假分式。把真分式化為部分分式之和：對于真分式，如果分母可分解為兩個多項式的乘積，且與沒有公因式，那么它可拆分為兩個真分式之和，這個步驟叫做把真分式或為部分分式之和。利用多項式的除法總可以將一個假分式化成一個多項式與一個真分式之和的形式。如果被積函數中含有簡單根式或，可以令這個簡單根式為u。第五章定積分第一節定積分的概念與性質在上的定積分：其中叫做被積函數，叫做被積表達式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，叫做積分區間。定積分幾何意義：定積分在幾何上表示曲線、兩條直線、與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。在上即取得正直又取得負值時，定積分表示在x軸上方圖形面積減去x軸下方圖形面積所得之差。定理：（1）設在區間上連續，則在上可積。（2）設在區間上有界，且只有有限個間斷點，則在上可積。（3）若在上有界，則在上有定積分，若在上無界，則在上沒有定積分。（4）在上有積分，但是不一定有原函數，只有當在上連續時才有原函數。定積分的性質：（1）當時，；當時，。（2）（3）（4）設，則。（5）如果在區間上，則。（6）如果在區間上，則。（7）如果在區間上，，則。（8）（6）設M及m分別是函數在區間上的最大值和最小值，則，即。（7）定積分中值定理：如果函數在積分區間上連續，則在上至少存在一個點，使下式成立：。其中稱為在區間上的平均值。（8）定理：（1）若在上連續且為偶函數，則；若在上連續且為奇函數，則。（2）若是連續的周期函數，周期為T，則，，即在任何長度為T的區間上的積分值是相等的。（3）以T為周期的充要條件是。（4）設連續函數以T為周期，則的全體原函數以T為周期的充要條件是。（5），，其中。（6）。（7）假定在為連續函數，則當為奇函數時，在的全體原函數均為偶函數；當為偶函數時，在只有唯一原函數為奇函數。第二節微積分基本公式定理：如果函數在區間上連續，則積分上限函數在上可導，并且它的導數。注意：定積分是連續函數的一個原函數，而不定積分是的任意一個原函數。定理：如果函數在區間上連續，則函數就是在區間上的一個原函數。牛頓-萊布尼茨公式：如果函數是連續函數在區間上的一個原函數，則（這個公式也叫微分基本公式）。變限積分的求導方法：若，則第三節定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法：假設函數在區間上連續，函數滿足條件（1），（2）在（或）上具有連續導數，且其值域，則有（定積分的換元公式）。應用換元公式時應注意：（1）用把原來變量x代換成新變量t時，積分限也要換成相應于新變量t的積分限（2）求出的一個原函數后，不必像計算不定積分那樣再把變換成原來變量x的函數，而只要把新變量t的上下限分別代入中然后相減就行了。定積分的分部積分公式：，或。第四節反常積分無窮限的反常積分：（1）函數在無窮區間上的反常積分：設函數在區間上連續，取，如果極限存在，則稱此極限為函數在無窮區間上的反常積分，記作，即，這時也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，則稱函數在無窮區間上的反常積分沒有意義，習慣上稱為反常積分發散，這時記號就不再表示數值了。（2）函數在無窮區間上的反常積分：設函數在區間上連續，取，如果極限存在，則稱此極限為函數在無窮區間上的反常積分，記作，即，這時也稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，則稱反常積分發散。（3）函數在無窮區間上的反常積分：設函數在區間上連續，如果反常積分和都收斂，則稱上述兩反常積分之和為函數在無窮區間上的反常積分，記作，即，這時也稱反常積分收斂，否則就稱反常積分發散。注意：當和之中有一個不存在時，發散。無界函數的反常積分：暇點：如果函數在點a的任意鄰域內都無界，那么點a稱為函數的暇點。（1）函數在上的反常積分：設函數在上連續，點a為的暇點。取，如果極限存在，則稱此極限為函數在上的反常積分，仍然記作，即。這時也稱反常積分收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分發散。（2）函數在上的反常積分：設函數在上連續，點b為的暇點。取，如果極限存在，則稱此極限為函數在上的反常積分，仍然記作，即。這時也稱反常積分收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分發散。（3）函數在上的反常積分:設函數在上除點c外連續，點c為的暇點，如果兩個反常積分與都收斂，則定義；否則，就稱反常積分發散。注意：只要與其中一個發散，則發散。第六章定積分的應用第二節定積分在幾何學上的應用平面圖形的面積：直角坐標情形：直角坐標面積元素，直角坐標面積：。極坐標的情形：極坐標面積元素：（扇形面積），極坐標下的面積：旋轉體的體積：繞x軸旋轉：體積元素；面積繞y軸旋轉：體積平行截面面積為已知的立體的體積：表示過點x且垂直于x軸的截面面積，且為連續函數，則體積元素，所求立體體積為。平面曲線的弧長：（1）弧由參數方程表示，則弧長元素，弧長。（2）弧由直角坐標方程（）表示，則弧長元素，弧長。（3）弧由極坐標方程：（）表示，則弧長元素，弧長。旋轉面的（側）面積：在x軸上方有一平面曲線繞x軸旋轉一周得旋轉曲面，其面積為：（1）若為直線段，則，其中l為的長度，，分別為點A，B的縱坐標。（2）設以弧長為參數的方程，，則。（3）設的參數方程為，，則，其中，在有連續的導數。（4）設的方程為，則，其中在上有連續的導數。（5）設的極坐標方程為，則，其中在有連續的導數。第三節定積分在物理學上的應用電場力：把一個帶電荷量的點電荷放在r軸上坐標原點O處，它產生一個電場，把一個單位正電荷放在距O點為r的地方，則它所受到的電場力為，把正電荷從移動到，則功元素為，功為。活塞中氣體膨脹：功元素為，功為，其中。推導，，，。把容器中的水抽出：。水壓力：（水深為h處的壓強為）。引力：，（是線密度）。第七章微分方程第一節微分方程的基本概念微分方程：表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程，叫做微分方程。微分方程的階：微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，叫做微分方程的階。微分方程的一般形式：。微分方程的解：滿足微分方程的函數，就是說把這函數代入微分方程能使該方程稱為恒等式，這個函數就叫做微分方程的解。微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解叫做微分方程的通解。初始條件的一般形式：一階微分方程時，；二階微分方程時，，。微分方程的特解：確定了通解中的任意常數，就得到微分方程的通解，特解不含任意常數。第二節可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程：如果以一個一階微分方程能寫成的形式，即能把微分方程寫成一端只含y的函數和，另一端只含x的函數和，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。可通過兩邊求積分來求得方程的解。放射性元素的衰變速度：，放射性元素衰變速度與當時未衰變的元素含量M成正比。水從孔口流出的流量：第三節齊次方程齊次方程：如果一階方程可化成的形式，那么就稱這方程為齊次方程。推導：，，，，。第四節一階線性微分方程一階線性微分方程：方程叫做一階線性微分方程，因為它對于未知函數y及其導數是一次方程。如果，則方程稱為齊次的；如果，則方程稱為非齊次的。方程叫做對應于非齊次線性方程的齊次線性方程。非齊次一階線性微分方程的通解：或。上式右端第一項是齊次方程的通解，第二項是非齊次方程的一個特解。由此可知，一階非其次線性方程的通解等于對應的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。第五節可降階的高階微分方程（1），經一次積分，得，同理經n次積分得。（2）不顯含y的二階微分方程，令，原方程化為p的一階方程。（3）不顯含x的二階微分方程，令，原方程可化為以p為未知函數，y為自變量的一階方程（）第六節高階線性微分方程二階線性微分方程：叫做二階線性微分方程。當方程右端時，方程叫做齊次的，當時，方程叫做非齊次的。線性相關：設，，…，為定義在I區間上的n個函數，如果存在n個不全為零的常數，，…，，使得當時有恒等式成立，那么稱這n個函數在區間I上線性相關，否則稱線性無關。對于兩個函數，如果兩函數之比為常數，那么它們線性相關，否則線性無關。定理：如果函數和是方程的兩個解，那么也是的解，但不一定是通解。定理：如果函數和是方程的兩個線性無關的特解，那么就是的通解。定理：如果，，…，是n階齊次線性方程的n個線性無關的解，此方程的通解為，其中，，…，為任意常數。定理：設是二階非齊次線性方程的一個特解，是對應的齊次方程的通解，那么是二階非齊次線性微分方程的通解。定理：（疊加原理）設非齊次線性方程的右端是兩個函數之和，即，而與分別是方程與的特解，那么就是的特解。第七節常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程：，其中p，q是常數。特征方程：是二階常系數齊次線性微分方程的特征方程。的通解：（1）當時，特征方程有兩個不相等的實根，。其通解為。（2）當時，特征方程有兩個相等的實根。其通解為。（3）當時，特征方程有一對共軛復根，，其中，。其通解為。n階常系數齊次線性微分方程：，它的特征方程為。（1）特征方程的根中有單實根r，則它在微分方程通解中的對應項為。（2）特征方程的根中有一對單復根，則它在微分方程通解中的對應項為。（3）特征方程的根中有k重實根r，則它在微分方程通解中的對應項為。（4）特征方程的根中有一對k重復根，則它在微分方程通解中的對應項為。第八節常系數非齊次線性微分方程二階常系數非齊次線性微分方程的一般形式：（1），是x的一個m次多項式，，則的特解為其中是與相同次數（m次）的多項式，而k按不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0，1，2。（2），其中，分別是x的l次、n次多項式，且有一個可為零，則微分方程的特解為其中，是m次多項式，，而k按（或）不是特征方程的根，或是特征方程的單根依次取0或1。第九章多元函數微分法及其應用第一節多元函數的基本概念二元函數：設D是的一個非空子集，稱映射為定義在D上的二元函數，通常記為，或，，其中點集D稱為該函數的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量。二重極限：二重極限存在，是指以任何方式趨于時，都無限趨于一個數。反過來，如果當以不同方式趨于時，趨于不同的值，那么就可以斷定這函數的極限不存在。多元函數的連續性：設二元函數的定義域為D，為D的聚點，且。如果，則稱函數在點連續。連續函數：如果函數在D的每一點都連續，則稱函數在D上連續。間斷點：設函數的定義域為D，為D的聚點。如果函數在點不連續，則稱為函數的間斷點。定律：一切多元初等函數在其定義域內是連續的。有界性與最大值最小值定理：在有界閉區域D上的多元連續函數，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。介值定理：在有界閉區域D上的多元連續函數必定取得介于最大值和最小值之間的任何值。第二節偏導數某點偏導數：設函數在點的某一鄰域內有定義，當y固定在而x在處有增量時，相應的函數有增量，如果存在，則稱此極限為函數在點處對x的偏導數，記作，，。同理可得在點處對y的偏導數定義。偏導函數：如果函數在區域D內的每一點處對x的偏導數都存在，那么這個偏導數就是x、y的函數，它就稱為函數對自變量x的偏導函數，記作，，或。注意：（1）對一元函數來說，可看做函數的微分與自變量的微分之商；而偏導數的記號，不能看做分子與分母之商。（2）如果一元函數在某點具有導數，則它在該點必連續；但對多元函數來說，即使偏導數在某點都存在，也不能保證函數在該點連續。的二階偏導數：，叫做混合偏導數。定理：如果函數的兩個二階混合偏導數及在區域D內連續，那么該區域內這兩個二階混合偏導數必相等。第三節全微分全增量：定理：（1）如果函數在點可微分，則該函數在點的偏導數、必定存在；但是偏導數存在卻不一定可微分。（2）函數的偏導數、在點存在但不一定可微分，只有偏導數、在點連續，才能保證函數在該點可微分。（3）多元函數在某點的偏導數存在，并不能保證函數在該點連續，且函數連續也不一定能保證偏導數存在。（4）函數在某點可微分，那么它在該點必連續；但是函數在某點連續，但它在該點卻不一定可微分。（5）。全微分：函數在點的全微分為。對于三元函數，它的全微分。第四節多元復合函數的求導法則一元函數與多元函數復合的情形：如果函數及都在點t可導，函數在對應點具有連續偏導數，則復合函數在點t可導，且。推廣：設，，，，則的全導數為。多元函數與多元函數復合的情形：如果函數及都在點具有對x及對y的偏導數，函數在對應點具有連續偏導數，則復合函數在點的兩個偏導數都存在，且有，。其他情形：（1）如果函數在點具有對x及對y的偏導數，函數在點y可導，函數在對應點具有連續偏導數，則復合函數在點的兩個偏導數都存在，且有，。（2）設具有連續偏導數，而具有偏導數，則復合函數具有對自變量x及y的偏導數，且有，。注意：與是不同的，是把復合函數中的y看做不變而對x的偏導數，是把中的u及y看做不變的而對x的偏導數。全微分形式的不變性：設函數，，，則的全微分為。第五節隱函數的求導法則隱函數存在定理1：設函數在點的某一鄰域內具有連續偏導數，且，，則方程在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數，它滿足條件，并有。隱函數存在定理2：設函數在點的某一鄰域內具有連續偏導數，且，，則方程在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數，它滿足條件，并有，。隱函數存在定理3：設函數，在點的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數，又，，且偏導數所組成的函數行列式（或稱雅可比式）在點不等于零，則方程組，在點的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續且具有連續偏導數的函數，，它們滿足條件，，并有，，，。第八節多元函數的極值及其求法極大、極小值點：使函數得到極大、極小值的點叫做函數的極大、極小值點。二元函數的駐點：凡是能使，同時成立的點叫做函數的駐點。定理：設函數在點具有偏導數，且在點處有極值，則有，。定理：設函數在點的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又，，令，，，則在處是否取得極值的條件如下：（1）時具有極值，且當是有極大值，當時有極小值；（2）時沒有極值；（3）時可能有極值，也可能沒有極值，需另作考慮。注意：如果函數在個別點的偏導數不存在，這些點不是駐點，但也可能是極值點，所以求偏導數時應該考慮偏導數不存在的點。定義在有界閉區域D上的函數最大最小值的求法：將函數在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。拉格朗日乘數法：要找函數在附加條件下的可能極值點，可以先做拉格朗日函數，其中為參數，求其對x與y的一階偏導數，并使之為零，然后與方程聯立起來，由這方程組解出x，y及，這樣得到的就是函數在附加條件下可能的極值點。推廣：函數在附加條件，下的極值，可以先做拉格朗日函數。第十章重積分第一節二重積分的概念與性質二重積分：函數在閉區域D上的二重積分，記作或，其中叫做被積函數，或叫做被積表達式，或叫做面積元素，x與y叫做積分變量，D叫做積分區域。二重積分的性質：（1）設、為常數，則。（2）如果閉區域D被有限條曲線分為有限個部分閉區域，則在D上的二重積分等于在各部分區域的二重積分的和。（3）如果在D上，，為D的面積，則。（4）如果在D上，，則有。推論。（5）設M、m分別是在閉區域D上的最大值和最小值，是D的面積，則有，所以。（6）二重積分中值定理：設函數在閉區域D上連續，是D的面積，則在D上至少存在一點，使得。第二節二重積分的計算法X型區域D：設積分區域D可以用不等式，來表示，從而二重積分可表示為。Y型區域D：設積分區域D可以用不等式，來表示，從而二重積分可表示為。利用極坐標計算二重積分：。要把二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標，只要把被積函數中的x、y分別換成，，并把直角坐標系中的面積元素換成極坐標中的面積元素。設積分區域D可以用不等式，，則二重積分可以表示為：。定律：如果二重積分的被積函數，積分區域，則這個二重積分等于兩個單積分的乘積。對稱區域上奇偶函數的積分性質：設在有界區域D上連續：（1）若D關于x軸對稱，則，其中為D中x軸上方的部分。（2）若D關于y軸對稱，則，其中為D中y軸右邊的部分。（3）若D關于原點對稱（且），則，其中為D的x軸上方的部分或D中y軸右邊的部分。（4）若D關于直線對稱（且），且被積函數關于對稱，即，則，，，其中為D中直線上方或下方的部分。第四節重積分的應用曲面的面積：設曲面S由方程給出，D為曲面S在面上的投影區域，函數在D上具有偏導數和，則曲面S的面積為。推廣：若曲面的方程為，則可把曲面投影到面上，。若曲面的方程為，則可把曲面投影到面上，。質心：有一平面薄片，占有面上的閉區域D，在點處的面密度為，假定在D上連續，則薄片的質心坐標為，。均勻平面質心的坐標或平面圖形的形心:,,其中為閉區域D的面積。轉動慣量：設有一薄片，占有面上的閉區域D，在點處的面密度為，假定在D上連續，則薄片對x軸以及對y軸的轉動慣量為，。對軸的轉動慣量。對軸的轉動慣量。

第一章行列式第一節二階與三階行列式主對角線：副對角線：第三節n階行列式的定義n階行列式：記作，簡記作，其中為行列式D的元。定律：,其中為自然數1,2，…，n的一個排列，t為這個排列的逆序數，共有項。對角行列式：。（不是對角行列式）上（下）三角形行列式：主對角線以下（上）的元素都為零的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值與對角行列式一樣。第五節行列式的性質轉置行列式：，，行列式稱為行列式D的轉置行列式。（1）行列式與它的轉置行列式相等。（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號。（3）如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k，等于用k乘此行列式。（5）行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面。（6）行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。（7）若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，例如第i列的元素都是兩數之和，則D等于下列兩個行列式之和:（8）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數然后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式不變。例如k乘第j列加到i列上，記作。注意：不能寫成，在行列式中變化的永遠是加號前面的行或列。，。第六節行列式按行（列）展開代數余子式：在n階行列式中，把元所在的第i行和第j列劃去后，留下來的階行列式叫做元的余子式，記作，記，叫做元的代數余子式。引理：一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除元外都為零，那么這行列式等于與它的代數余子式的乘積，即。定理：（行列式按行（列）展開法則）行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即范德蒙德行列式：推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零。即或。定律：在行列式按第i行展開的展開式中，用，，…，依次代替，，…，，可得。同樣，在行列式按第j列展開的展開式中，用，，…，代替中的第j列，可得第七節克拉默法則克拉默法則：如果線性方程組的系數行列式不等于零，那么方程組有唯一解，，…，，其中是把系數行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的n階行列式。定理：（1）如果線性方程組的系數行列式，則一定有解，且解是唯一的。（2）如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零。（3）如果齊次線性方程組的系數行列式，則齊次方程組沒有非零解。（4）如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數行列式必為零。以上定理可簡化為：（1）），。（2）必有零解，。第二章矩陣及其運算第一節矩陣定義：有個數排成的m行n列的數表稱為m行n列矩陣，簡稱矩陣，記作。行矩陣（行向量）：列矩陣（列向量）：同型矩陣：兩個矩陣的行數相等、列數相等時，就稱它們是同型矩陣。零矩陣：元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O。線性變換：n個變量，，…，與m個變量，，…，之間的關系式表示從變量，，…，到變量，，…，的線性變換。A叫做線性變化的系數矩陣。n階單位矩陣：對角矩陣：，簡記作第二節矩陣的運算（一）矩陣A與B的和：設有兩個矩陣和，那么矩陣A與B的和記作，規定為。加法運算規律：（二）數與矩陣相乘：數與矩陣A的乘積記作或，規定為。數與矩陣相乘運算規律：（三）矩陣與矩陣相乘：設是一個矩陣，是一個矩陣，那么規定矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣，其中，并把此乘積記作。乘積矩陣的元就是A的第i行與B的第j列的乘積。可交換的：若，則稱方陣A與B是可交換的。注意：下列公式一般情況下不成立，只有矩陣A與B可交換時才成立：，，，。一般情況下。注意：（1）不能得出或的結論。（2），也不能得出的結論。（3），則，。矩陣相乘運算規律：（四）矩陣的冪：（五）矩陣的轉置：把矩陣A的行換成同序數的列得到一個新的矩陣，叫做A的轉置矩陣，記作。矩陣轉置的運算規律：對稱矩陣：如果，那么A就稱為對稱矩陣，它的元素以對角線為對稱軸對應相等。反對稱矩陣：。（六）方陣的行列式：有n階方陣A的元素所構成的行列式，稱為方陣A的行列式，記作或。注意：n階方陣是個數按一定方式排成的數表，而n階行列式則是這些數按一定的運算法則所確定的一個數。方陣行列式的運算法則：注意：（1）沒有。（2）對于n階矩陣A，B，一般來說，但總有。伴隨矩陣：，，其中是行列式的各個元素的代數余子式。第三節逆矩陣逆矩陣：對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B，使，則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱作A的逆矩陣。A的逆矩陣記作，即若，則。定理：（1）若矩陣A可逆，則。（2）若，則矩陣A可逆，且，其中為矩陣A的伴隨矩陣。（3）矩陣A可逆的充分必要條件就是。逆矩陣運算規律：（1）若A可逆，則亦可逆，且。（2）若A可逆，則可逆，且。（3）若A，B為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且。（4），。矩陣A的m次多項式：定律：（1）若，則（2）若，則第四節矩陣分塊法（1），，則。（2），則。（3），，則，其中。（4），則。（5），則，，其中A和都是方陣。（6），則。第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一節矩陣的初等變換矩陣的初等行變換：（1）對調兩行（）。（2）以數乘某一行中的所有元素（）。（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行對應的元素上去（）。矩陣A與B行等價：如果矩陣A經有限次初等行變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B行等價。矩陣A與B列等價：如果矩陣A經有限次初等列變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B列等價。矩陣A與B等價：如果矩陣A經有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價。矩陣之間的等價關系具有下列性質：（1）反身性（2）對稱性，若，則（3）傳遞性，若，，則行階梯形矩陣：階梯形，每個臺階只有一行。行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0。一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的。標準型：矩陣的左上角是一個單位矩陣，其余元素全為零。任何矩陣都可以變為標準型。定理：設A與B為矩陣，那么（1）A與B行等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使。（2）A于B列等價的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，是。（3）A與B等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使。初等矩陣：單位矩陣經過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣。定理：（1）用初等矩陣P左乘A，所得就是對矩陣A做了一次與P同樣的行初等變換。（2）用初等矩陣P右乘A，所得就是對矩陣A做了一次與P同樣的列初等變換。（3）初等矩陣均可逆，且其逆矩陣是同類型的初等矩陣，例如，。推論：方陣A可逆的充分必要條件是A與E行等價。，F為行最簡形，則，，。，，所以。，則，，。第二節矩陣的秩矩陣A的k階子式：在矩陣A中，任取k行與k列，位于這些行這些行列交叉處的個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。矩陣的秩：設在A中有一個不等于0的r階子式D，且所有階子式全等于零，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數r稱為矩陣A的秩，記作。矩陣秩的性質：（1） （2）（3）若，則 （4）若P、Q可逆，則（5），特別的，當為非零向量時，有（6） （7）（8）若，則 （9）設，若A為列滿秩矩陣，則（10）第三節線性方程組的解定理：n元線性方程組（1）無解的充分必要條件是（2）有唯一解的充分必要條件是（3）有無限多解的充分必要條件是定理：（1）n元齊次方程組有非零解的充分必要條件是。（2）線性方程組有解的充分必要條件是。（3）矩陣方程有解的充分必要條件是。（4）設，則。第四章向量組的線性相關性第一節向量組及其線性組合n維向量：n個有次序的數，，…，所組成的數組稱為n維向量。注意：列向量一般用，，，表示，行向量一般用，，，表示。向量組：若干個同維數的列向量（或同維數的行向量）所組成的集合叫做向量組。線性組合：給定向量組A：，，…，，對于任何一組實數，，…，，表達式稱為向量組A的一個線性組合，，，…，稱為這個線性組合的系數。向量b能由向量組A線性表示：給定向量組A：，，…，和向量b，如果存在一組數，，…，使，則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組A線性表示。（1）向量b能由向量組A線性表示的充分必要條件是。（2）向量b能由向量組A線性表示，也就是方程組有解。向量組等價：設有兩個向量組A和B，若B中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。（1）若矩陣A與B行等價，則A的行向量組與B的行向量組等價。（2）若矩陣A與B列等價，則A的列向量組與B的列向量組等價。（3）向量組B能由向量組A線性表示，其含義是矩陣方程有解。定理：（1）向量組B能由向量組A線性表示的充分必要條件是。（2）向量組A與向量組B等價的充分必要條件是。（3）向量組B能由向量組A線性表示，則。第二節向量組的線性相關性定義：給定向量組A：，，…，，如果存在不全為零的數，，…，，使，則稱向量組A是線性相關的，否則稱它線性無關。定律：向量組A線性相關，也就是在向量組A中至少有一個向量能由其余個向量線性表示。定理：（1）向量組，，…，線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣的秩小于向量個數m，向量組線性無關的充分必要條件是。（2）若向量組A：，，…，線性相關，則向量組B：，，…，，也線性相關。反言之，若向量組B線性無關，則向量組A也線性無關。（3）m個n維向量組成的向量組，當維數n小于向量個數m時一定線性相關，特別地，個n維向量一定線性相關。（4）設向量組A：，，…，線性無關，而向量組B：，，…，，線性相關，則向量b必能由向量組A線性表示，且表達式是唯一的。（5）若向量組，，…，線性無關，則它的任一個延伸組，，…，必線性無關。第三節向量組的秩定義：設有向量組A，如果在A中能選出r個向量，，…，，滿足①向量組：，，…，線性無關；②向量組A中任意個向量都線性相關，那么稱向量組是向量組A的一個最大線性無關組；最大無關組所含向量的個數r稱為向量組A的秩，記作。定理：（1）矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。（2）若是矩陣A的一個最高階非零子式，則所在的r列即是A的列向量組的一個最大無關組，所在的r行即是A的行向量組的一個最大無關組。（3）向量組B能由向量組A線性表示的充分必要條件是。（4）若向量組B能由向量組A線性表示，則。（5）如果矩陣與的行向量組等價，則方程組與同解，從而A的列向量組各向量之間與B的列向量組之間有相同的線性關系。最大無關組的等價定義：設向量組：，，…，是向量組A的一個部分組，且滿足①向量組線性無關；②向量組A的任何一個向量都能由向量組線性表示，那么向量組便是向量組A的一個最大無關組。行最簡型取自由變量的原則：先由最簡型看出自由變量的個數，然后按照自由變量所在的列去掉后不改變矩陣的秩這一原則取自由變量。第四節線性方程組解的結構定理：（1）若，為的解，則也是的解。（2）若為的解，則也是的解。方程的通解：方程的全體解所組成的集合叫做S，如果能求得解集S的一個最大無關組：，，…，，那么方程的任意解都可由最大無關組線性表示，所以最大無關組的任何線性組合都是方程的通解。基礎解系：齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系。定理：設矩陣A的秩，則n元齊次線性方程組的解集S的秩。注意：齊次線性方程組的基礎解系并不是唯一的，它的通解的形式也不是唯一的。定理：（1）設及都是的解，則為對應的齊次線性方程組的解。（2）設是方程的解，是方程的解，則仍是方程的解。方程的通解的求法：（1）先求出方程的基礎解系，則的通解是。（2）再求出一個的特解。（3）方程的通解為。第五節向量空間向量空間：設V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于向量的加法及乘法兩種運算封閉，那么就稱集合V為向量空間。所謂封閉，是指在集合V中可以進行向量的加法及乘法兩種運算，具體就是：若，，則，若，，則。一般的，由向量，，…，所生成的向量空間為。定義：設V為向量空間，如果r個向量，，…，，且滿足①，，…，線性無關；②V中任一向量都可以由，，…，線性表示，那么向量組，，…，就稱為向量空間的一個基，r稱為向量空間V的維數，并稱V為r維向量空間。若把向量空間V看做向量組，則V的基就是向量組的最大無關組，V的維數就是向量組的秩。若向量組，，…，是向量空間V的一個基，則V可表示為。定義：如果在向量空間V中取定一個基，，…，，那么V中任一向量x可唯一表示為，數組，，…，稱為向量x在基，，…，中的坐標。若選單位坐標向量，，…，為基，則以，，…，為分量的向量的向量x，可表示為。第五章相似矩陣及二次型第一節向量的內積、長度及正交性內積：設，，令，則稱為向量與的內積。內積是兩個向量之間的一種運算，其結果是一個實數，當x與y都是列向量時，有。內積的性質：（1） （2） （3）（4）當時，；當時，。（5）施瓦茨不等