復變函數(shù)泰勒級數(shù)1第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一一、問題的引入問題:任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？.內(nèi)任意點如圖:.K.2第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一由柯西積分公式,有其中K取正方向.則3第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一4第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一由高階導數(shù)公式,上式又可寫成其中可知在K內(nèi)5第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一令則在K上連續(xù),6第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一即存在一個正常數(shù)M,7第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一在內(nèi)成立,從而在K內(nèi)圓周的半徑可以任意增大,只要內(nèi)成立.在的泰勒展開式,在泰勒級數(shù)8第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一如果到的邊界上各點的最短距離為那末在的泰勒展開式在內(nèi)成立．因為凡滿足的必能使由上討論得重要定理——泰勒展開定理在的泰勒級數(shù)的收斂半徑至少等于，但9第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一二、泰勒定理其中泰勒級數(shù)泰勒展開式定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一為到的邊界上各點的最短距離,那末點,時,成立,當泰勒介紹10第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一說明:1.復變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實函數(shù)時弱得多;(想一想,為什么?)4.任何解析函數(shù)在一點的泰勒級數(shù)是唯一的.(為什么?)11第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一因為解析，可以保證無限次可各階導數(shù)的連續(xù)性;所以復變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實用范圍就要比實變函數(shù)廣闊的多.注意問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)，展開式是否唯一？12第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一那末即因此,任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),因而是唯一的.13第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計算系數(shù)14第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例如，故有15第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一仿照上例,16第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一2.間接展開法:借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算性質(zhì)(逐項求導,積分等)和其它數(shù)學技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點:不需要求各階導數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.17第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例如，18第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一附:常見函數(shù)的泰勒展開式19第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一20第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例1解四、典型例題21第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一上式兩邊逐項求導,22第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例2分析如圖,23第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一即將展開式兩端沿C逐項積分,得解24第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例3

解25第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例4解26第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例5解27第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一例6解即微分方程對微分方程逐次求導得:28第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一29第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一五、小結(jié)與思考通過本課的學習,應理解泰勒展開定理,熟記五個基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法,能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù).30第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一奇、偶函數(shù)的泰勒級數(shù)有什么特點?思考題31第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一奇函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z的奇次冪項,偶函數(shù)的泰勒級數(shù)只含z的偶次冪項.思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.32第32頁，共34頁，2023年，2月20日，星期一泰勒資料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,London