一、銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)若不變，請求出AD?AE的值；若變化，請說明理由.(2)AD.AE=10；(3)證明見解析.【分析】(1)過A作AF⊥BC，垂足為F，交⊙O于G，由垂徑定理可得BF=1，再根據(jù)已(2)連接DG，則可得AG為⊙O的直徑，繼而可證明△DAG∽△FAE，根據(jù)相似三角形的13(3)連接CD，延長BD至點(diǎn)N，使DN=CD，連接AN，通過證明△ADC≌△ADN，可得CDAAFBCF，交⊙O于G，1∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=BC=1，2BF1==10sB(2)連接DG，E∴AD?AE=AF?AG，∵AF=AB2BF2=3，13∴AD?AE=AF?AG=AF?(AF+FG)=3×=10；3(3)連接CD，延長BD至點(diǎn)N，使DN=CD，連接AN，ADBACBABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.(1)如圖1，請直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)∠ABC=90°時，請判斷線段OE與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明(3)若|CF﹣AE|=2，EF=23，當(dāng)△POF為等腰三角形時，請直接寫出線段OP的長．【答案】(1)OF=OE；(2)OF⊥EK，OF=OE，理由見解析；(3)OP的長為62或223.3【解析】【分析】(1)如圖1中，延長EO交CF于K，證明△AOE≌△COK，從而可得OE=OK，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE；(2)如圖2中，延長EO交CF于K，由已知證明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，繼而可證得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得OF⊥EK，OF=OE；(3)分點(diǎn)P在AO上與CO上兩種情況分別畫圖進(jìn)行解答即可得.【詳解】(1)如圖1中，延長EO交CF于K，OAOCAOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，1∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；2(2)如圖2中，延長EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，BEBAEABECBFBAECBFABBCABE△BCF，∴BE=CF，AE=BF，AOECOKAECK，OE=OK，∴FK=EF，3在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，31∴EK=2FK=4，OF=EK=2，2∵△OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2，1在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=3，OH=2﹣2∴∠BOP=90°，323∴OP=OE=，3323綜上所述：OP的長為62或【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.A位于B港口南偏東75°方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長(結(jié)果保留根號)．：：【答案】【答案】【解析】，考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．DEm,EN,DM,CB為三根垂直于AB的支柱,垂足分別為N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于點(diǎn)31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)【解析】∴∴CF=tan又∵CB=4，n=解得=2．5，PH.(1)若點(diǎn)P在線CD上，如圖1，(2)若點(diǎn)P在線CD的延長線上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路.(可以不寫出計算結(jié)果)【答案】(1)①如圖；②AH＝PH，AH⊥PH．證明見解析(2)或【解析】試題分析：(1)①如圖(1)；②(1)法一：軸對稱作法，判斷：AH＝PH，移的性質(zhì)得DP＝CQ，證得△HDP≌△△HQC，全等三角形的對應(yīng)邊相等得PH＝CH，等邊對等角得∠HPC＝∠HCP，再結(jié)合BD是正方形的對稱軸得出∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，DHAPHRt(2)軸對稱作法同(1)作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°∴∴．∠HPC＝∠HCPHAHPHAPHADH5°，∴△APH等腰Rt△．(2)法一：軸對稱作法∴∠DAH＝17°∴∴∠DCH＝17°．設(shè)DP＝x，則.∴∴．考點(diǎn)：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性質(zhì)；死電腦共圓(1)求tan∠DBC的值；(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)tan∠DBC=；【解析】試題分析：(1)連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．利用拋物線解析式可以求得點(diǎn)A、tantan∠DBC=(2)過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用(1)中(1)令y=0，則﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0，∴D(3，4)．∵C(0，4)，CDAB∴∠BCD=∠ABC=45°．∴BC=4∴∴CE=ED=∴∴tan∠DBC=(2)過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，tanPBF=．設(shè)設(shè)P(x，﹣x2+3x+4)，則=，(1)求證：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，AP=BP，求PD的長．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】．2(1)根據(jù)AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，得到AD=AC，∠ACD＝∠B，由∠FPC＝∠B，得(2)連接OP，由AP=BP，得到OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，根據(jù)AB是⊙O的直徑，得ACCEBE1OGOPAECE2GEED【詳解】(1)證明：連接AD，∴AD=AC，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；1522∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，CACCEBE1AECE2∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，OPGPDCOGP＝∠DGE，OP∴==GEED22536562GD＝DE2+GE2=3∴PD＝∴PD＝PG+GD＝【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，證得(1)求證：四邊形ACED是矩形；(2)若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)?ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不難證明；(2)依據(jù)已知條件，在△ABD或△AOC作垂線AF或OF，求出相應(yīng)邊的長度，即可求出【詳解】(1)證明：∵將△ABC沿AC翻折得到△AEC，∵AC⊥CE，(2)解：方法一、如圖1所示，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，BEBCDEAC4，1143613∴AF＝=，21313∴Rt△ABF中，AF613613==AB51211236550F6613OB3653∴sin∠ABD＝．5【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形求線段的長度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計算公式求出sin∠ABD．5寫出x的取值范圍；所得的公共弦的長.【答案】(1)；(2)y=【答案】(1)；(2)y=【解析】【分析】 (1)設(shè)⊙P與邊BC相切的切點(diǎn)為H，圓的半徑為R，連接HP，則HP⊥BC，cosC=，則4HPR4=sinC=，sinC==，即可求解；=2 (2)PD∥BE，則EB＝BF，即：45xx28x+80y，即可求解；PDPF=xy(3)證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可【詳解】(1)設(shè)⊙P與邊BC相切的切點(diǎn)為H，圓的半徑為R，HPR4sinC===，解得：R=；3 (2)在△ABC中，AC=BC=10，cosC=，52525DA=x，則BD=45-x，552sin=tanβ=2，則cosβsin=52512EB=BDcosβ=(45-x)×=4-x，555EBBFPDPF2xx28x+80y，=xy整理得：y=5xx28x+80(0<x<10)；(3)以EP為直徑作圓Q如下圖所示，∴DG⊥EP，∴∠GDA=90°，∴AG=EP=BD，ABDB+AD=AG+AD=45，2r2rAD=2rcosβ=52r+2r=45，解得：2r=2r5+14r則：DG==10-25，5【點(diǎn)睛】本題考查的是圓知識的綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識，其中(3)，要關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大．【答案】(1)證明見解析；(2)1；(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)連接OD，由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°，進(jìn)而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得(2)根據(jù)BE是⊙O的切線，則∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD為⊙O的切線，得(3)根據(jù)題意可證得∠ADF=