邏輯聯結詞相關知識小結(一)邏輯聯結詞1．邏輯聯結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯結詞。2．簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題。3．復合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題。常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題故復合命題有三種形式：p或q；p且q；非p4．邏輯聯結詞“或”“且”“非”與集合的“交”“并”“補”的關系：復合命題的構成與集合理論之間的關系

(1)復合命題

p或q

設命題p所述范疇記為集合A

命題q所述范疇記為集合B

則復合命題：p或q所述范疇對應于集合A∪B，韋恩圖如圖1

(2)復合命題p且q

設：命題p所述范疇記為集合A

命題q所述范疇記為集合B

則復合命題：p且q

所述范疇對應于集合A∩B，韋恩圖如圖2(3)復合命題：非P設命題P所述范疇記為集合A，全集為U，則復合命題非P所述范疇對應于集合CuA。韋恩圖如圖3應用：命題：非(P或q)對應于集合Cu(A∪B)。而(非P)且(非q)對應于集合(CuA)∩(CuB)，由集合理論德摩根律：Cu(A∪B)=(CuA)∩(CuB)，可以清楚看到，使學生更加深刻地認識到：非(P或q)(非P)且(非q)的正確性。例1、將命題：若x+y≤0則x≤0或y≤0改變成否命題。解：其否命題為：若x+y＞0則x＞0且y＞0例2、將命題：“菱形的對角互相垂直平分”改變成逆否命題。解：其逆否命題為：對角線不垂直或不平分的四邊形不是菱形。（二）判斷復合命題的真假1．“非p”形式復合命題的真假可以用下表表示：p非p真假假真2．“p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假3．“p或q”形式復合命題的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真；4．判斷復合命題真假的步驟：（1）把復合命題寫成兩個簡單命題，并確定復合命題的構成形式；（2）判斷簡單命題的真假；（3）根據真值表判斷復合命題的真假。難點分析關于非命題問題1：怎樣構造簡單命題的非命題?非命題也叫命題的否定。非命題與原命題的真值相反。原命題為真，非命題為假；原命題為假，非命題為真。對量詞和判斷詞的否定：判斷詞“是”的否定是“不是”；“有”的否定是“沒有”；“存在”的否定是“不存在”。量詞“所有”的否定是“不所有”即“有的”；“每一個”的否定是“至少有一個不”；“都是”的否定是“不都是”即“至少有一個不是”；“都不是”的否定是“不都不是”即“至少有一個是”。對單稱命題的否定只要直接否定判斷詞。如“3是正數”的非命題就是“3不是正數”。對全稱命題的否定在否定判斷詞時還要否定全稱量詞變成特稱命題。對省略全稱量詞的全稱命題要補回全稱量詞再否定。如“整數是有理數”就是全稱命題“所有整數都是有理數”；它的非命題是“有的整數不是有理數”對特稱命題的否定要否定特稱量詞變成全稱命題。如特稱命題“有的實數的平方不是正數”的非命題是“所有實數的平方都是正數”；命題“所有的分數都是無理數”的非命題是“有的分數不是無理數”。問題2：怎樣構造復合命題的非命題?對復合命題的否定：“兩個命題的或命題”的否定是這“兩個命題的非命題的且命題”；“兩個命題的且命題”的否定是這“兩個命題的非命題的或命題”例如“3>1或2<3”的非命題是”3≤1且2≥3”;“3>5或2<3”的非命題是”3≤5且2≥3”;“3>5或2<1”的非命題是”3≤5且2≥1”。該結論的邏輯表達式是：非（p或q）（非p）且（非q）非（p且q）（非p）或（非q），這其實就是邏輯運算的摩根律；可用真值表證明如下：非（p或q）（非p）且（非q）命題p命題qp或q非（p或q）非p非q（非p）且（非q）TTTFFFFTFTFFTFFTTFTFFFFFTTTT(2)非（p且q）（非p）或（非q）命題p命題qp且q非（p且q）非p非q（非p）或（非q）TTTFFFFTFFTFTTFTFTTFTFFFTTTT3復合命題“若P則q”形式的否定。

“若P則q”型命題的否定實質上較復雜，但在中學數學里所研究的命題都是具有實質性蘊涵關系的命題，是具有真假性的命題，不能區分真假性的命題不作研究。“若P則q”的否定命題真值性與命題“P且非q”相同，故是等價命題。我們就此認為：命題”若P則q”的否定為“P則非q”，且習慣表達為“雖然P，卻非q”的形式，或是“盡管P，然而非q”.

4含量詞命題的否定。

數學命題中出現“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“”與“”來表示）；由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。那么它的否定又怎么樣？

在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.由此看來，要準確表達含量詞命題的否定，就要求我們掌握好一些詞語的否定如下表：詞語：是一定是都是大于小于且詞語的否定：不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或詞語：必有一個至少有n個至多有一個所有x成立所有x不成立詞語的否定：一個也沒有至多有n-1個至少有兩個存在一個x不成立存在有一個成立5命題的否定與否命題的區別。

命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：一，任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。二，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。原命題“若P則q”的形式，它的否定命題在前面已講過，命題”若P則q”的否定為“P則非q”，且習慣表達為“雖然P，卻非q”的形式，或是“盡管P，然而非q”.；而它的否命題為“若非P，則非q”，（記為“若┓p，則┓q”）即是說既否定條件又否定結論。范例分析：例1寫出下列命題的否定命題與否命題。并判斷其真假性。（1）若x＞y,則5x＞5y。（2）正方形的四條邊相等。（3）已知a,b為實數，若+ax+b≤0有非空實解集，則-4b≥0。解：（1）的否定：若x＞y，則5x≤5y。假命題否命題：若x≤y則5x≤5y。真命題（原命題為：若x＞y則5x＞5y。真命題）（2）的否定：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等。假命題否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題（原命題是真命題）。（3）的否定：存在兩個實數a,b，雖然滿足+ax+b≤0有非空實解集，但使-4b﹤0。假命題否命題：已知a,b為實數，若+ax+b≤0沒有非空實解集，則-4b﹤0。真命題（原命題為：對任意的實數a,b,若+ax+b≤0有非空實解集，則-4b≥0真命題）例2已知.設 函數在R上單調遞減. 不等式的解集為R.如果和有且僅有一個正確，求的取值范圍.[分析]此題雖是一道在老教材之下的高考試題，但揭示了“解不等式”一類高考試題的命題方向.在新教材中，絕對值不等式的解法和二次不等式的解法與集合運算、命題判斷都有一定聯系，屬于對于學生提出的基本要求內容的范疇，本題將這幾部分知識內容有機地結合在一起，在考查學生基礎知識、基本方法掌握的同時，考查了學生命題轉換，分類討論等能力，在不同的方法下有不同的運算量，較好地體現出了“多考一點想，少考一點算”的命題原則.解答:函數在R上單調遞減，不等式的解集為R函數在R上恒大于1，∵∴函數在R上的最小值為，∴不等式的解集為R，即，若正確，且不正確，則；若正確，且不正確，則；所以的取值范圍為.例3已知條件和條件，請選取適當的實數的值，分別利用所給的兩個條件作為A、B構造命題：“若A則B”，并使得構造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題.則這樣的一個原命題可以是什么？并說明為什么這一命題是符合要求的命題.[分析]本題為一開放性命題，由于能得到的答案不唯一，使得本題的求解沒有固定的模式，考生既能在一般性的推導中找到一個滿足條件的，也能先猜后證，所找到的實數只需滿足，且1即可.這種新穎的命題形式有較強的綜合性，同時也是對于四個命題考查的一種新嘗試，如此命題可以考查學生探究問題、解決問題的能力，符合當今倡導研究性學習的教學方向.[解答]已知條件即，或，∴，或，已知條件即，∴，或；令，則即，或，此時必有成立，反之不然.故可以選取的一個實數是，A為，B為，對應的命題是若則，由以上過程可知這一命題的原命題為真命題，但它的逆命題為假命題.例4已知；?是?的必要不充分條件，求實數的取值范圍.[分析]本題實為上一命題的姊妹題，將命題的表述重心移至充要條件，使用了學生較為熟悉的語言形式.充要條件是一個十分重要的數學概念，新教材將這一內容的學習放在第一章，從而也可能利用第一章的知識內容來命題考查這一概念.本例是一道揉絕對值不等式、二次不等式的求解與充要條件的運用于一起的較好試題，要求學生能正確運用數學符號，規范數學學習行為，否則連讀題審題都感困難.[解答]由得，由，得，∴?即，或，而?即，或