第六講能30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)特征大家知道一個(gè)整數(shù)能被2整除么它的個(gè)位數(shù)能被整除過(guò)來(lái)也對(duì)，也就是一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2整除，那么這個(gè)數(shù)本身能被整除因此，我們說(shuō)“一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)能被2整除”是“這個(gè)數(shù)能被整除”的特征在這一講中，我們通過(guò)尋求對(duì)于某些質(zhì)數(shù)成立的等式來(lái)導(dǎo)出能被這些質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征。為了敘述方便起見，我們把所討論的數(shù)記為：有時(shí)也表示為我們已學(xué)過(guò)同余，用mod2示除以2余數(shù)有公式：①N≡a0（mod2）②N≡a1a0（mod4③N≡a2a1a0（mod8）④N≡a3a2a1a0（）這幾個(gè)公式表明一個(gè)數(shù)被2（4，8，）整除的特性，而且表明了不能整除時(shí)，如何求余數(shù)。此外，被39）整除的數(shù)的特征為：它的各位數(shù)字之和可以被3（9）整.我們借用同余記號(hào)及一些運(yùn)算性質(zhì)來(lái)重新推證一下如（），如果，N=aaa=a1000+a×100+a×3210321

0＝a×（9991）＋×（99+1）＋×（9+1）+a3210＝（a+a+a+a）+（×999+a×），3210321那么，等式右邊第二個(gè)括號(hào)中的數(shù)是9的倍數(shù)，從而有N≡＋a+a（）3210對(duì)于mod3，理由相仿，從而有公式：⑤N≡（?＋a＋）（mod9），3210

N≡（?a＋＋）（mod3）。3210對(duì)于被11除的數(shù)，它的特征為：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除。先看一例.N=31428576，改寫N為如下形式：N=6＋（）＋（991）（1001-1）（99991）4100001-1）+1（999999+1）+310000001-1）=6-7+5-8+2-4+1-3+7×11+5×998×1001+2××100001+1×＋3×。由于下面這兩行里，、、1001、9999、100001999999、10000001都是11倍數(shù)，所以＋5-8＋2-41-3（mod11）。小學(xué)生在運(yùn)算時(shí)，碰上“小減大”無(wú)法減時(shí)，可以從上面的表達(dá)式最后一行中“借用”的適當(dāng)倍數(shù)（這樣，最后一行仍都是11倍數(shù)），把它加到“小減大”的算式中，這樣就得到：N≡11＋＋＋2-41-3≡3（mod11。現(xiàn)在總結(jié)成一般性公式（推理理由與例題相仿）則N≡（a0-a1+a2-a3＋＋a6-a7+?mod11）或者：⑥N≡（（a0+a2+a4+?a1+a3+a5+?（）（當(dāng)不夠減時(shí)，可添加的適當(dāng)倍數(shù)）。因此，一個(gè)自然數(shù)能被整除的特征是：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減小）能被整除。我們這里的公式不僅包含整除情況，還包含有余數(shù)的情況。下面研究被7、、整除的數(shù)的特征。有一關(guān)鍵性式子：7××13=1001

所以N能被、、整除，相當(dāng)于能被7、11、除.總結(jié)公式：（mod11；（當(dāng)倍數(shù)）。表述為判定某數(shù)能否被7或11或除只要把這個(gè)數(shù)的末三位與前面隔開，分成兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)，取它們的差（大減小），看它是否被或或整除。此法則可以連續(xù)使用。例：判定N否被11除。因?yàn)?22能被整除，所以N不能被整除。例：N＝定N是否被、11、13除。

由于117＝13×9，所117被13除，但不能711除，因此N能被13除，不能被7、11除。此方法的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)判定一個(gè)較大的數(shù)能否被或或13除時(shí)用減法把這個(gè)大數(shù)化為一個(gè)至多是三位的數(shù)，然后再進(jìn)行判定。如N＝判定N能否被13除？而654=50×，所以原數(shù)不能被13整除.如直接計(jì)算，很費(fèi)力：987654321=75973409×13＋4。下面研究可否被、整除的簡(jiǎn)易判別法回顧對(duì)比前面，由等式＝×1113啟發(fā)，才有簡(jiǎn)捷的“隔位相減判整除性”的方.于質(zhì)數(shù)17，我們有下面一些等式：176＝102，59=1003，×588=9996，17我們不妨從1759=1003出發(fā)。

因此，判定一個(gè)數(shù)可否被整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數(shù)與前面隔出數(shù)的3倍的差（大減小）是否被17整除。例：N=31428576，判定N能否被整除。而429=25×，所以N不能被整除。例：N＝2661027否被17除？又935=55×17。所以N可被除。下面來(lái)推導(dǎo)被整除的簡(jiǎn)易判別法。尋找關(guān)鍵性式子：×，19×53=1007.因此，判定一個(gè)數(shù)可否被整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與前面隔出數(shù)的7的差（大減小）是否被19除。

例：N＝123456789可否被整除？又603＝31×19+14，所以不能被除。例：可否被整除？又57=3×，所以可被整除：×下面來(lái)推導(dǎo)被、整除的簡(jiǎn)易判別法。尋找關(guān)鍵性式子，隨著質(zhì)數(shù)增大，簡(jiǎn)易法應(yīng)該N的位數(shù)多時(shí)起主要作用，現(xiàn)有234351000529由此啟發(fā)得到一個(gè)末四位隔開的方法：因此判定一個(gè)數(shù)可否被或整除只要將其末四位與前面隔開看末四位與前面隔出數(shù)的5倍差（大減小）是否被或29除。例：N＝6938801否被2329除？

又533623×23223×29×8，所以很快判出N可被23及29除。最后，如讀者還想尋找以上數(shù)的更簡(jiǎn)明判別法，或被31上質(zhì)數(shù)整除的判別法，都是可以去探索的.把這一節(jié)得到的公式簡(jiǎn)列于下：（可在上述這些同余式的右端加上相應(yīng)質(zhì)數(shù)的適當(dāng)倍數(shù)）.后兩式?jīng)]有證明，讀者不難從×，＝×32發(fā)出“隔位加”的判別法。習(xí)題六1.公式1003=17×59曾用于推導(dǎo)判定被17整除的公式，請(qǐng)說(shuō)明公式②也是判定被59整除的簡(jiǎn)便公式。2.說(shuō)明公式③也是判定被整除的簡(jiǎn)便公式。3.61是質(zhì)數(shù)，并且×164，你能利用這一等式導(dǎo)出判定被整除的簡(jiǎn)便公式嗎？4.67是質(zhì)數(shù)，×15，請(qǐng)證明：

（可在右端加上的適當(dāng)倍數(shù)）。5.994＝71×14，71是