線性代數(shù)習(xí)題答案第1頁/共263頁3.方程組有解:[].C

二、填空題.

1．4階行列式等于[].1

第2頁/共263頁2.行列式中元素a11的代數(shù)余子式等于[].6

3.中,x3的系數(shù)是[]..

4.設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則當(dāng)a=[],b=[]時(shí),0

0

-2

5．的第四行各元素余子式之和的等于[].第3頁/共263頁M41+M42+M43+M44

.

所以，第四行各元素余子式之和等于[-28].=-A41+A42-A43+A44

第4頁/共263頁三、解答題1．設(shè)，試求A41+4A42+2A43的值.

解A41+4A42+2A432.設(shè),已知代數(shù)余子式A31=-2,求A12.

解由于A31=2-4x=-2,所以,x=1.于是A12=-9.第5頁/共263頁3、計(jì)算下列行列式(1)D=

解D=第6頁/共263頁

解第7頁/共263頁

解按第一列展開,有第8頁/共263頁第9頁/共263頁

解按第一列展開,有第10頁/共263頁第11頁/共263頁

解n=1時(shí)

原式=|1|=1n=2時(shí)n3時(shí),讓各列都減去第三列,則有第12頁/共263頁=6(n3)!第13頁/共263頁

解

第14頁/共263頁

解

第15頁/共263頁

解

第16頁/共263頁第17頁/共263頁第18頁/共263頁

解

第19頁/共263頁

解

第20頁/共263頁

解第21頁/共263頁

解構(gòu)造n+1階Vandermonde行列式第22頁/共263頁

可見,Dn就是D的余子式Mn,n+1.

利用Vandermonde行列式結(jié)果有

將D按第n+1列展開則有比較上兩式中xn-1項(xiàng)系數(shù)可得第23頁/共263頁4.解下列方程式

解(1)由于

所以,x=4或x=－2.(2)由于(x－2)(x2－2x＋1)＝0，即，(x－2)(x－1)2＝0，所以，x＝2或x＝1.第24頁/共263頁

解將行列式按第一行展開可見,此方程式是關(guān)于x的n-1次多項(xiàng)式方程.所以方程應(yīng)該有n-1個解.

而由行列式性質(zhì)可見,當(dāng)x=ai時(shí),行列式等于零.所以x=ai(i=1,2,…,n-1)是方程的n-1個解.

所以方程共有n-1個解,分別為a1,a2,…,an-1.第25頁/共263頁

解將行列式2~n列都減去第1列可得即:-x(1-x)(2-x)…(n-2-x)=0

所以方程共有n-1個解,分別為0,1,2,…,n-2.(4)第26頁/共263頁5.利用Laplace展開定理計(jì)算下列行列式

解按一、三行展開可得：第27頁/共263頁

解按一、二行展開，再按一、二行展開可得：第28頁/共263頁6.用Cramer法則解下列方程組

解因?yàn)槎?所以,方程組的解為:第29頁/共263頁

解因?yàn)榈?0頁/共263頁第31頁/共263頁所以,方程組的解為:x1=1,x2=-1,x3=0,x4=2.第32頁/共263頁

解由已知有x＝D1/D=1，所以于是7．已知線性方程組有唯一解，且x＝1，求第33頁/共263頁

解取=AB=(0,3),=AC=(2,2),則有9．證明點(diǎn)A(1,2,3)、B(1,5,6)、C(3,4,3)、D(2,-1,-1)在同一平面上，并求出該平面的方程.8.求頂點(diǎn)分別為A(1,2),B(1,5),C(3,4)的三角形的面積.

解由于所以,點(diǎn)A、B、C、D在同一平面上.第34頁/共263頁即：x-y+z=2.

10.求一二次多項(xiàng)式p2(x),使p2(-1)=6,p2(1)=2,p2(2)=3.過點(diǎn)A、B、C、D的平面方程為

解令p2(x)=ax2+bx+c，帶人條件可得解得，a=1,b=-2,c=3所以，p2(x)=x2-2x+3.第35頁/共263頁1.設(shè)A,B均為2階矩陣,A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣,若|A|＝2,|B|=3,則分塊矩陣的伴隨矩陣為[].一.選擇題習(xí)題二（54頁）B(A)

;(B)

;(C);(D).

解由于AA*=|A|E=2E,BB*=|B|E=3E,所以有：所以,應(yīng)選“

B”。第36頁/共263頁2.設(shè)A為3階矩陣,將A的第二列加到第一列得矩陣B,再交換B的第二行和第三行得單位矩陣,記

,則A=[].

解由已知有:AP1＝B,(A)P1P2;(B)P1－1P2;(C)P2P1;(D)P2P1－1.所以,A＝BP1－1所以,應(yīng)選“

D”。DP2B=E＝P2－1P1－1＝P2P1－1第37頁/共263頁5.設(shè)F,G都是4階方陣,且|F|=2,|G|=-5,則|-3FG|等于[].3.設(shè)A是4階方陣,且|A|=8,B=-1/2A,則|B|=[].D4.設(shè)G是5階的可逆方陣,且|G|≠1,G*是G的伴隨矩陣,則有[].CD第38頁/共263頁6.n階矩陣A滿足A2＝O,E為n階單位矩陣,則[].

解由于(A－E)(A+E)=A2－E=E,所以(A)|A－E|≠0,但|A+E|=0;(B)|A－E|=0,但|A+E|≠0;|A＋E||A－E|=|E|=1，所以,應(yīng)選“

D”。D(C)|A－E|=0,且|A+E|=0;(D)|A－E|≠0,且|A+E|≠0;第39頁/共263頁二.填空題

2.設(shè)A=(aij)是3階非零矩陣,|A|是A的行列式,Aij是A的代數(shù)余子式,若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),則|A|=().

解由aij+Aij=0可得,A*=－AT,于是－AAT=|A|E.所以,

－|A||AT|=|A|3,因此,|A|=0或|A|=－1.又由于,

A≠O,所以,AAT≠O,

因此,

|A|≠0.所以,

|A|=－1.－1兩邊同取行列式，A的行列式相當(dāng)于一個數(shù)kp36且和轉(zhuǎn)置行列式相等第40頁/共263頁

解因?yàn)?.設(shè),B=P－1AP,其中P為三階可逆矩陣,則B2004－2A2=().

所以,B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=P-1E501P-2A2=E-2A2第41頁/共263頁4.設(shè)1,2,3,,均為4×1矩陣,A=(1,2,3,),B=(1,2,3,),且|A|=2,|B|=3,則|A-3B|=().56

解|A-3B|=|-21,-22,-23,-3|=-8|1,2,3,-3|=-8(|1,2,3,|+|1,2,3,-3|)=-8(|A|-3|B|)=565.若對任意n1矩陣X,均有AX=O,則A=().

解A=AE=A(e1,e2,…,en)=(Ae1,Ae2,…,Aen)=O.O第42頁/共263頁三.解答題1.設(shè)階矩陣A,B滿足AB=BA,試證明下列等式：

證明(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2(1)(A+B)2=A2+2AB+B2(2)A2－B2=(A+B)(A－B)=(A－B)(A+B)

證明(A+B)(A－B)=A2－AB+BA－B2=A2－B2(A－B)(A+B)=A2+AB－BA－B2=A2－B2第43頁/共263頁

解令則有

所以，z=0，x=w.2.求與乘法可交換的所有矩陣.即與乘法可交換的所有矩陣為：第44頁/共263頁所以A6=(-E)(-E)=E,A12=E3.設(shè),求A6及A11.

解由于A11=A-1=第45頁/共263頁4.設(shè),求(P-1AP)n,An(n為正整數(shù)).

解(P-1AP)n=P-1AnP.所以第46頁/共263頁

解利用分塊對角矩陣求逆公式可得5.求下列矩陣的逆矩陣第47頁/共263頁

解因?yàn)榈?8頁/共263頁

所以，

解法2由于所以，A(1/4A)=E.于是，A-1=1/4A.第49頁/共263頁6.已知X=AX+B,其中求矩陣X.

解由X=AX+B可得,(E-A)X=B,X=(E-A)-1B,所以第50頁/共263頁

解由于A*=|A|A－1=aA－1,所以|A*|=|aA－1|=an|A－1|=an－17.設(shè)A是n階方陣,且|A|=a0,求|A*|.

8.設(shè)實(shí)方陣AO,且A*=AT,證明|A|0.

證明由于AAT=AA*=|A|E,

記A=(aij)n,則ai12+ai22+…+ain2=0,i=1,2,…,n

所以|A|0.

由于A是實(shí)矩陣,所以有aij=0,i,j=1,2,…,n,若|A|=0,則有AAT=O即A=O,矛盾.第51頁/共263頁9.設(shè)A是n階方陣,滿足Am=E,其中m是正整數(shù),E為n階單位矩陣,A*是A的伴隨矩陣,證明(A*)m=E.

證明由于|Am|=|A|m=|E|=1,所以，|A|=1.(A*)m=(A*)mE=(A*)mAm=(A*A)m=Em=E又由于A*A=|A|E=E,所以有

解由已知可得:B(A－E)=2E,所以|B||A－E|=|2E|=4又由于|A－E|=2,所以|B|=2.10.設(shè)矩陣,且滿足BA=B+2E,求|B|.

第52頁/共263頁11.設(shè)A,B為3階方陣,且|A|=3,|B|=2,|A－1+B|=2,求|A+B－1|.

解由于A(A－1+B)＝(A+B－1)B所以,|A||A－1+B|＝|A+B－1||B|于是,|A+B－1|＝3.

證明

(E－A)(E+A+A2+…+Ak－1)=E－Ak=E12.設(shè)A為n階方陣,若Ak=0,其中k為正整數(shù),證明(E－A)－1=E+A+A2+…+Ak－1=(E+A+A2+…+Ak－1)－(A+A2+…+Ak－1+Ak)所以(E－A)－1=E+A+A2+…+Ak－1第53頁/共263頁13.若A,B為n階方陣,且E+AB可逆,試證

證明(E+BA)[E－B(E+AB)－1A](E+BA)－1=E－B(E+AB)－1A所以=E－B(E+AB)－1A+BA－BAB(E+AB)－1A=E－B[(E+AB)－1－E+AB(E+AB)－1]A=E－B[(E+AB)(E+AB)－1－E]A=E－B[E－E]A=E(E+BA)－1=E－B(E+AB)－1A第54頁/共263頁14.若A,B為n階方陣,且2A－1B＝B－4E,E是n階單位矩陣,試證:A－2E是可逆矩陣.

證明由已知有：2B=AB－4A,(A－2E)B=4A所以,|A－2E||B|=|4A|=4n|A|≠0因此,A－2E是可逆矩陣.15.設(shè)A,B,C均是n階方陣,如果C=A+CA,B=E+AB,求證:B-C=E.

證明由C=A+CA可得C=A(E-A)-1，

由B=E+AB可得B=(E-A)-1,所以B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E第55頁/共263頁16.設(shè)方陣A滿足A2＋A－3E=O,證明A－E和A+2E都可逆,并求(A－E)－1.

證明由A2+A-3E=O可得:(A－E)(A+2E)=E所以,A－E和A+2E都可逆,而且,(A－E)－1=A+2E17.對下列每一對矩陣A,B,求一個可逆矩陣P,使得,PA=B.

解由于交換A的2,3行得B,所以,P=E[2,3].第56頁/共263頁

解由于A的三行減二行2倍得B,所以P=E[3+2(-2)].,

或P=P[3+2(2)]P[1,2]

解由于將A的第一行2倍加到第三行,再交換1,2行得B,所以，P=E[1,2]E[3+1(2)].第57頁/共263頁18.設(shè)A是3階方陣,將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C，求滿足AQ=C的可逆矩陣Q.

解由已知有:AE[1,2]=B,BE[2+3(1)]=C所以有,AE[1,2]E[2+3(1)]=C于是,Q=E[1,2]E[2+3(1)],第58頁/共263頁用分塊矩陣求:(1)AB;(2)BA;(3)AB-BA;(4)A-1.

19.設(shè)

解

第59頁/共263頁20.設(shè)對角矩陣A=diag(a1,a2,…,an),其中aiaj(ij),證明:與A可交換的矩陣一定是對角矩陣.

證明設(shè)矩陣B=(bij)與矩陣A可交換,即AB=BA,則

(AB)ij=(BA)ij,即aibij=bijaj

由于aiaj,所以bij=0,(ij),所以,B是對角矩陣.第60頁/共263頁21.某農(nóng)場飼養(yǎng)的某種動物所能達(dá)到的最大年齡為3歲,將其分成三個年齡組:第一組,0～1歲;第二組,1～2歲;第三組,2～3歲.動物從第二年齡組起開始繁殖后代,經(jīng)過長期統(tǒng)計(jì),第二組和第三組的繁殖率分別為4和3只.第一年齡和第二年齡組的動物能順利進(jìn)入下一個年齡組的存活率分別為1/2和1/4.假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段的動物各1000只,問2年后和3年后農(nóng)場三個年齡組的動物各有多少只?

解用xi,yi,zi分別表示第i年后三個年齡組動物只數(shù),則，故,2年后為(2750,3500,125),3年后為(14375,1375,875).第61頁/共263頁(A)該向量組的任何部分組必線性相關(guān);(B)該向量組的任何部分組必線性無關(guān)；(C)該向量組的秩小于m;(D)該向量組的極大線性無關(guān)組是唯一的.習(xí)題三（63頁）2.已知向量組1,2,…,m線性相關(guān)，則[].C一.選擇題A1.n維向量組1,2,…,s線性無關(guān)的充分必要條件是[].

(A)該組中任意一向量都不能用其余向量線性表出；

(B)該組中任意兩個向量都線性無關(guān)；

(C)該組中存在一個向量,它不能用其余向量線性表出;(D)存在一組不全為0的常數(shù)k1,…,ks使k11+…+kss≠0.第62頁/共263頁3.向量組Ⅰ:1,2,…,s(s3)線性相關(guān)的充要條件是[].

(A)Ⅰ中每個向量都可以用其余的向量線性表出；

(B)Ⅰ中至少有一個向量可用其余的向量線性表出；

(C)Ⅰ中只有一個向量能用其余的向量線性表出；(D)Ⅰ的任何部分組都線性相關(guān).CB(A)必有一個零向量；4.已知向量組U線性相關(guān)，則在這個向量組中[].(B)必有兩個向量成比例；(C)必有一個向量是其余向量的線性組合；(D)任一個向量是其余向量的線性組合.第63頁/共263頁6.設(shè)A,B,C均為n階矩陣,若AB=C,且B可逆,則[].(A)矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)；(B)矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)；(C)矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)；(D)矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià).5.已知向量組1,2,…,m的秩為r(rm),則該向量組中[].(A)必有r個向量線性無關(guān)；(B)任意r個向量線性無關(guān)；(C)任意r個向量都是該向量組的極大無關(guān)組；(D)任一向量都可由其余向量線性表出.BA第64頁/共263頁C(A);(B);(C);(D).7.設(shè),其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是[].

解因?yàn)樗?向量組1,3,4線性相關(guān).第65頁/共263頁1.設(shè),則k=______時(shí),1,2,3,4線性相關(guān)所以，k=-5/13時(shí),1,2,3,4線性相關(guān).-19/2二.填空題-5/13

解由于2.當(dāng)k=_____時(shí),向量=(1,k,5)能由向量線性表示.

解由于91-82=(2,-19,10)，所以,2k=-19線性相關(guān).第66頁/共263頁4.設(shè)向量組線性無關(guān),則a,b,c必滿足關(guān)系式

.所以，R(1,2,3,4)=4abc≠04

解由于

解由于，所以，abc≠0.3.設(shè),則秩(1,2,3,4)=______.第67頁/共263頁

解

(1)31+52－3=(1,4,－25,7)2.設(shè)向量組1,2,3線性相關(guān),2,3,4線性無關(guān),問

(1)1能否由2,3線性表出?證明你的結(jié)論;(2)4能否由1,2,3線性表出?證明你的結(jié)論.三.解答題1.設(shè)1T=(4,1,－3,－2),2T=(1,2,－3,2),3T=(16,9,1,－3)(1)求線性組合31+52－3.(2)求內(nèi)積[1,2]和向量1的長度|1|.(2)[1,2]=11,|1|=

解(1)由2,3,4線性無關(guān)知2,3線性無關(guān),再由1,2,3線性相關(guān)知1可由2,3線性表示.(2)由2,3,4線性無關(guān)知4不能由2,3線性表示,再由(1)知4不能由1,2,3線性表示.第68頁/共263頁3.判斷下列向量組的線性相關(guān)性：

解令k1(1,1,0)+k2(0,1,1)+k3(3,0,0)=0即(2)(2,0,0),(0,－1,2),(0,2,1);

解因?yàn)橄蛄拷M是正交向量組,故線性無關(guān).(1)(1,1,0),(0,1,1),(3,0,0);所以,k1=k2=k3=0,故(1,1,0),(0,1,1),(3,0,0)線性無關(guān).第69頁/共263頁解因?yàn)?4)(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,－3,4,11,12);(3)(4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);所以,向量組的秩等于3，故向量組線性相關(guān).解因?yàn)樗?向量組的秩等于4，故向量組線性無關(guān).第70頁/共263頁4.求下列向量組的一個極大線性無關(guān)組,并把其余向量用極大線性無關(guān)組線性表示.

解由于而且有所以，1,2,3

是一個極大線性無關(guān)組.4=-3/21+1/22-3/23,第71頁/共263頁

解由于所以，1,2,4

是一個極大線性無關(guān)組,而且有3=31+2，5=21+2第72頁/共263頁

解只當(dāng)1,2,3

線性無關(guān)時(shí),可由它們唯一表示.又由于所以,當(dāng)k≠0且k≠1時(shí),可由1,2,3唯一線性表示.5.設(shè)有三維向量,,,,問k取何值時(shí)，可由1,2,3線性表示,且表達(dá)式唯一.第73頁/共263頁

證明(1)如果有某個ki=0，則有6.已知m個向量1,2,…m線性相關(guān),但其中任意m－1個都線性無關(guān),證明:(1)如果存在等式k11+k22+…+kmm=0,則這些系數(shù)k1,k2,…,km或者全為零,或者全不為零;(2)如果存在兩個等式k11+k22+…+kmm=0,l11+l22+…+lmm=0,其中l(wèi)1

0,則k11+k22+…+ki-1i-1+ki+1i+1+…+kmm=0

由于這m－1個向量線性無關(guān),故這些系數(shù)全為零.

所以,系數(shù)k1,k2,…,km或者全為零,或者全不為零.第74頁/共263頁(2)由于l1≠0,由(1)知l1,l2,…,lm都不為零.(2)如果存在兩個等式k11+k22+…+kmm=0,l11+l22+…+lmm=0,其中l(wèi)1

0,則

如果k1,k2,…,km全為零,結(jié)論顯然成立.

如果k1,k2,…,km全不為零,則存在c≠0,使得k1=cl1，由已知可得：(k1-cl1)1+(k2–cl2)2+…+(km-clm)m=0由于k1-cl1=0,由(1)知k2–cl2=0,…,km-clm=0即，k1=cl1,k2=cl2,…,km=clm,所以有第75頁/共263頁

證明因?yàn)?1+…+1i+…+(-1)j+…+0m=0而數(shù)0,…1,…,(-1),…,0不全為零.7.證明:若存在,使，則向量組線性相關(guān).

所以1,2,…,m線性相關(guān).8.設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān),問常數(shù)a,b,c滿足什么條件時(shí),a1－2,b2－3,c3－1線性相關(guān).

解所以,abc=1時(shí),a1－2,b2－3,c3－1線性相關(guān).第76頁/共263頁

證明只證必要性：設(shè)1,2,…,s線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使得k11＋k22＋…＋kss＝0因此有k11＋k22＋…＋kii＝0，即9.證明:1,2,…,s(其中10)線性相關(guān)的充要條件是至少有一個i(1<is)可被1,2,…,i-1線性表示.由于10，故k2,…,ks不全為零，于是存在i(1<is)使ki0,但ki＋1＝ki+2=…=ks=0所以i(1<is)可被1,2,…,i-1線性表示.第77頁/共263頁10.設(shè)1,2,…,n線性無關(guān),問向量組:1+2,2+3,…,n-1+n,n+1是線性相關(guān),還是線性無關(guān)?并給出證明.故，n為奇數(shù)時(shí)線性無關(guān),n為偶數(shù)時(shí)線性相關(guān).

證明令k1(1+2)+k2(2+3)+…+kn(n+1)＝0則有(k1+kn)1+(k1+k2)2+…+(kn-1+kn)n＝0

所以(k1+kn)＝(k1+k2)＝(k2+k3)＝…=(kn-1+kn)=011.設(shè)i=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,n),證明:向量組1,2,…,n線性相關(guān)的充分必要條件是det(aij)=0.

證明

1,2,…,n線性相關(guān)R((aij))<ndet(aij)0.第78頁/共263頁12.設(shè)1,2,…,n是一組n維向量,已知n維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組能由它們線性表示,證明1,2,…,n線性無關(guān).

證明1,2,…,n與n維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組等價(jià)，所以R(1,2,…,n)=n,故，1,2,…,n線性無關(guān).

證明充分性由10題可得；13.設(shè)1,2,…,n是一組n維向量,證明:它們線性無關(guān)的充分必要條件是任一n維向量都可由它們線性表示．

必要性:設(shè)1,2,…,n線性無關(guān),則對任一n維向量由于，1,2,…,n，線性相關(guān),所以向量可由向量組1,2,…,n線性表示.第79頁/共263頁14.將向量組1＝(1,1,0)T,2=(0,2,1)T,3=(0,0,3)T正交規(guī)范化.

解

先正交化，取1＝1＝(1,1,0)T,

再規(guī)范化，得

1,2,3就是所求的正交規(guī)范向量組.第80頁/共263頁15.設(shè)1＝(1,0,2,3)T,2=(1,1,3,5)T,3=(1,-1,a+2,1)T,4=(1,2,4,a+8)T,=(1,1,b+3,5)T,

解

由于(1)a,b為何值時(shí),不能由1,2,3,4線性表示？(2)a,b為何值時(shí),能由1,2,3,4唯一線性表示？并求出表示式.第81頁/共263頁

(1)當(dāng)a＝－1,b≠0時(shí),不能由1,2,3,4線性表示.

(2)當(dāng)a≠－1時(shí),能由1,2,3,4唯一線性表示,由于所以,第82頁/共263頁16.設(shè)1＝(1,－1,1,－1)T,2=(3,1,1,3)T,1=(2,0,1,1)T,2=(3,－1,2,0)T,3=(1,1,0,2)T,證明向量組1,2與向量組1,2,3等價(jià).

證明

由于所以,R{1,2,1,2,3}=R{1,2}=R{1,2,3}=2.因此,1,2和1,2都是向量組1,2,1,2,3的極大無關(guān)組.故,向量組1,2與向量組1,2,3等價(jià).第83頁/共263頁

證明

設(shè)向量組1,2,…,s的秩為r,任取它的一個線性無關(guān)組線性無關(guān).17.證明:一個向量組的任一線性無關(guān)組都可以擴(kuò)充為一個極大線性無關(guān)組.如果t<r,則向量組中一定存在向量j使所以任一線性無關(guān)組都可以擴(kuò)充為含有r個向量的線性無關(guān)組，也就是向量組的一個極大線性無關(guān)組.第84頁/共263頁18.用初等變換化下列矩陣為階梯形，并求其秩.

解

可見，R(A)=3.第85頁/共263頁

解

可見，R(A)=2.(2)第86頁/共263頁

解

可見，R(A)=2.第87頁/共263頁

解

可見，R(A)=3.第88頁/共263頁

解由于所以,R(A)=19.已知三階矩陣,討論R(A)的情形.第89頁/共263頁20.求一個秩是4的方陣,它的兩個行向量是(1,0,3,0,0),(－1,－1,0,0,0).

解

可取為

可見，R(A)=4.第90頁/共263頁21.證明兩個矩陣和的秩不超過兩個矩陣秩的和，即

證明記A的列向量為1,2,…,n，其極大線性無關(guān)組為1,2,…,r,B的列向量為1,2,…,n,其極大線性無關(guān)組為1,2,…,s,則1,2,…,n可由1,2,…,r線性表示，1,2,…,n可由1,2,…,s線性表示，于是有

R(A+B)r+s=R(A)+R(B)

R(A+B)R(A)+R(B)1+1,2+2,…,n+n可由1,2,…,r,1,2,…,s線性表示，所以第91頁/共263頁22.設(shè)A與B可乘且AB=0,證明

證法一由于

R(A)+R(B)A的列數(shù)所以即：R(A)+R(B)A的列數(shù)

證法二由于AB=0,故B的列向量都是Aｘ=0的解,記A的列數(shù)為ｎ，R(A)=ｒ，則R(B)ｎ－ｒ，于是

R(A)+R(B)ｎ第92頁/共263頁23.設(shè)A為n階方陣,且A2=A,證明:若A的秩為r,則A－E的秩為n－r,其中E是n階單位矩陣.證明由A2=A可得A(E-A)=0，A+(E-A)=E由A(E-A)=0，可得R(A)+R(E-A)n由A+(E-A)=E，可得R(A)+R(E-A)R(E)=n，于是,R(A)+R(E-A)=n,即R(A-E)=n-r.24.設(shè)A為n階方陣,且A2=E,證明:R(A+E)+R(A－E)=n.證明由A2=E可得(A+E)(A-E)=0，A+E+(E-A)=2E由(A+E)(E-A)=0，可得R(A+E)+R(E-A)n由A+E+(E-A)=2E，可得R(A+E)+R(E-A)R(2E)=n，于是,R(A+E)+R(E-A)=n.第93頁/共263頁

證明

因?yàn)镽(A)=r,所以存在n階初等方陣P1,P2,…Ps和m階初等方陣Q1,Q2,…Qt，使得25.設(shè)nm階矩陣A的秩為r,證明:存在秩為r的nr階矩陣P及秩為r的rm階矩陣Q，使A=PQ.于是第94頁/共263頁則，A=PQ,且P是nr階矩陣，Q是rm階矩陣．記于是，R(P)=R(Q)=r.又由于P1-1,P2-1,…Ps-1和Q1-1,Q2-1,…Qt-1都是初等方陣，所以第95頁/共263頁

解

利用行列式性質(zhì)，有或，由于26.設(shè),其中i(i＝1,2,3)是三維列向量,若|A|=1,求|B|.第96頁/共263頁

解(Ⅰ)由已知有R{1,2,3}<3，又由于

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)將1,2,3由1,2,3線性表出.27.設(shè)3維向量組，，不能由，，線性表出，所以，a=1.(Ⅱ)a=1時(shí)，又由于第97頁/共263頁所以,有

第98頁/共263頁

解由于s1=-2s2，所以L1，L2平行.

又由于M1-M2=(3,6,-9/2)=-3S2所以，L1,L2重合.28.試判斷空間兩直線：

與

的位置關(guān)系.第99頁/共263頁習(xí)題四（97頁）

1．設(shè)A=(1,2,3,4)是4階矩陣,A*為A的伴隨矩陣,若(1,0,1,0)T是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系,則A*x=0的基礎(chǔ)解系可為[].一.選擇題

解由已知可得R(A)=3，且1+3=0所以,R(A*)=1,且2,3,4線性無關(guān)所以,2,3,4就是A*x=0的一個基礎(chǔ)解系.D第100頁/共263頁

解因?yàn)镽(A)=m時(shí)，總有R(A|b)=m,方程有解.3．若齊次線性方程組Ax=0有無窮多解,則非齊次線性方程組Ax=b[].(A)必有無窮多解；(B)可能有唯一解；

(C)必?zé)o解；(D)有解時(shí)必有無窮多組解.

解由已知有R(A)<n,故D保證成立.B

2．若方程組Amnx=b(mn)對于任意m維列向量b都有解，則[].D第101頁/共263頁4．若方程組Ax=b中,方程個數(shù)少于未知量個數(shù),則有[].(A)Ax=b一定有無窮多組解；(B)Ax=b一定無解；

(C)Ax=0必有非零解；(D)Ax=0只有零解.

解因?yàn)镽(A)m<n,所以,Ax=0必有非零解.5．n元線性方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件[].(A)R(A)=n；(B)A為方陣且|A|≠0；(C)R(A|b)=n;(D)R(A)=n,且b可由A的列向量組線性表示.

解只有D保證有R(A)=R(A|b)=n,方程有唯一解.CD第102頁/共263頁6．設(shè)A=(aij)是n階方陣且|A|=0,若A中某元素aij的代數(shù)余子式Aij≠0，則Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量個數(shù)是[].(A)1；(B)i；(C)j；(D)n.

解因?yàn)閨A|=0,Aij≠0，所以R(A)=n-1.7．設(shè)A為n階方陣,且R(A)=n-1,1,2是非齊次方程組Ax=0的兩個不同的解向量,則Ax=0的通解為[].(A)k1；(B)k2；(C)k(1-2);(D)k11+k22.

解由于R(A)=n-1,Ax=0的基礎(chǔ)解系只有一個解.AC

又由于1-2是

Ax=0的非零解.第103頁/共263頁8．方程組Ax=0有非零解的充要條件是[].(A)A的任意兩列向量線性相關(guān)；

(B)A的任意兩列向量線性無關(guān)；

(C)A中必有一列向量是其余列向量的線性組合；

(D)A中任一列向量都是其余列向量的線性組合.

解因?yàn)锳的列向量組線性相關(guān)?C9．方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是[].(A)A的行向量組線性無關(guān);(B)A的列向量組線性無關(guān);(C)A的行向量組線性相關(guān);(D)A的列向量組線性相關(guān).

解Ax=0只有零解?R(A)=n?BCB第104頁/共263頁10．設(shè)A是mn矩陣,Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b對應(yīng)的齊次線性方程組，那么[].(A)若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解；

(B)若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多解；

(C)若Ax=b有無窮多解,則Ax=0僅有零解；

(D)若Ax=b有無窮多解,則Ax=0有非零解.11.設(shè)n階行列式|A|=0,對非齊次線性方程組Ax=b,若D1,D2,…,Dn中(Dj是將|A|中第j列換為b后得到的行列式)至少有一個不等于零,則該方程組[].(A)無解；(B)尚不能確定是否有解；

(C)有唯一解；(D)有無窮多解.

解由已知可得R(A)<n,R(A|b)=n,故無解.DA第105頁/共263頁12.

設(shè)A為43矩陣,1,2,3是方程組Ax=的3個線性無關(guān)的解,k1,k2為任意常數(shù),則Ax=的通解為[].(A);(B);(C);(D).C

解由已知可得2-1和3-1是Ax=0的兩個線性無關(guān)的解.于是R(A)1，所以R(A)=1.

于是2-1和3-1是Ax=0的基礎(chǔ)解系.又由于(2+3)/2是Ax=的解.故應(yīng)選C.第106頁/共263頁1.設(shè)A是mn矩陣,在齊次線性方程組Ax=0中,若R(A)=r,則當(dāng)1,2,…,k是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系時(shí)k______,當(dāng)r=______時(shí),此方程組只有零解.二.填空題2.若n元線性方程組有解,且其系數(shù)矩陣的秩為r,則當(dāng)____時(shí),方程組有唯一解;當(dāng)____時(shí),方程組有無窮多解.3.設(shè)A=(aij)33是實(shí)正交矩陣,且a11=1,b=(1,0,0)T,則線性方程組Ax=b的解是_____________.

解由已知可得：，且A-1=AT.n-rnr=nr<n(1,0,0)T第107頁/共263頁4.設(shè)A為m階方陣,存在非零的mn矩陣B,使AB=O的充分必要條件是_______________________________.5.設(shè)A為mn階矩陣,存在兩個不相等的nr階矩陣B,C使AB=AC的充分必要條件是_________.

解由于R(A)<m或|A|=0或A不可逆R(A)<n-26.設(shè)方程組有無窮多個解,則a=___.第108頁/共263頁三、解答題

解1.求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系:第109頁/共263頁所以,方程組等價(jià)于分別取得一個基礎(chǔ)解系為:第110頁/共263頁

解第111頁/共263頁所以,方程組等價(jià)于分別取x3=1,x4=0和x3=0,x4=1得一個基礎(chǔ)解系為:第112頁/共263頁

解第113頁/共263頁所以,方程組等價(jià)于取x4=1得一個基礎(chǔ)解系為:第114頁/共263頁

解可見,R(A)=4,方程組只有零解,沒有基礎(chǔ)解系.第115頁/共263頁

解2.求下列非齊次線性方程組的通解:第116頁/共263頁同解方程組為:通解為:第117頁/共263頁

解由于第118頁/共263頁可見,R(A┇)=R(A)=4,方程組有唯一解.方程組的解為:x=(－8,3,6,0)T第119頁/共263頁

解可見,R(A┇)=R(A)=3,所以方程組無窮多解,通解為第120頁/共263頁

解可見,R(A┇)=3,R(A)=2,所以方程組無解.第121頁/共263頁

解因?yàn)樗?=1時(shí),R(A┇)=R(A)=2,方程組有解,通解為3.問為何值時(shí),線性方程組有解,并求出通解.第122頁/共263頁

解由于,試討論當(dāng)a,b為何值時(shí),4.設(shè)(1)不能由1,2,3線性表示;(2)可由1,2,3線性表示,且表示式不唯一;(3)可由1,2,3唯一線性表示,并求出表示式.所以,(1)a=0,5b+12≠0時(shí),不能由1,2,3線性表示.(2)a+5b+12=0時(shí),能由1,2,3線性表示,且表示式不唯一.第123頁/共263頁(3)a0且a+5b+12≠0時(shí),能由1,2,3唯一地線性表示,且由于可知,表示式為:=(1-1/a)1+(1/a)2.第124頁/共263頁

解法1因?yàn)?.已知線性方程組同解，試確定a,b,c.與可知,(6,-4,-1,0)T和(0,1,1,-1)T都是第二個方程的解,也是第一個方程的解，帶人第一個方程得：a=2，b=4，c=4，而且此時(shí)有第125頁/共263頁所以，兩個方程組同解.

解法2因?yàn)榉匠探M同解系數(shù)矩陣行向量組等價(jià).

記則有向量組1,2,3和1,2,3等價(jià).又由于1=(1,a,-1,2,-1),2=(2,1,b,1,4),3=(2,2,3,c,1),1=(1,1,1,1,1),2=(0,-1,2,-1,2),3=(0,0,1,2,-1)第126頁/共263頁所以,a=2,b=4,c=4時(shí),向量組1,2,3和1,2,3等價(jià).因此,a=2,b=4,c=4時(shí),兩個方程組同解.第127頁/共263頁

證明

因?yàn)锽可逆,所以BA的行向量組與A的行向量組等價(jià).7.A是n階矩陣,證明:存在n階非零矩陣B,使AB=O的充分必要條件是|A|=0.6.設(shè)A是m×n矩陣,P是m×n矩陣，,B是m×m矩陣,求證:若B可逆且BA的行向量都是方程組Px=0的解,則A的每