課程標(biāo)準(zhǔn)總目標(biāo)：知識(shí)與技能：經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過(guò)程，掌握?qǐng)D形與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。、數(shù)學(xué)思考：參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法。問(wèn)題解決：與他人合作，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。情感態(tài)度：體會(huì)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值。本節(jié)課目標(biāo)：1、經(jīng)歷兩種割圓法推導(dǎo)圓面積的過(guò)程，更好的理解圓的面積公式2，在推倒過(guò)程中，體驗(yàn)各種逼近的過(guò)程，初步感受無(wú)限，感受極限3．利用極限的幫助，構(gòu)建小學(xué)所有圖形之間的整體聯(lián)系。3、整合極限在小學(xué)中的應(yīng)用：小數(shù)、分?jǐn)?shù)等方面。4、鍛煉學(xué)生的邏輯思維，激發(fā)學(xué)生的科學(xué)探究熱情，為將來(lái)極限和微積分的具體學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。教材分析 本單元的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形等平面圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是小學(xué)階段的最后一個(gè)認(rèn)識(shí)平面圖形的單元。圓與以往學(xué)習(xí)的平面圖形有顯著的不同，三角形、平行四邊形、梯形等都是直線圖形，而圓是曲線圖形。通過(guò)對(duì)圓的研究教學(xué)，不僅要讓學(xué)生掌握?qǐng)A的一些基礎(chǔ)知識(shí)，建立圓與其它平面圖形的聯(lián)系。學(xué)生感受與體悟“化曲為直”“極限”等數(shù)學(xué)思想方法，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法本節(jié)課的內(nèi)容是利用割圓術(shù)重新推導(dǎo)圓的面積公式，是圓的面積再學(xué)習(xí)，是課本上圓的面積推導(dǎo)過(guò)程的一次補(bǔ)充。課本上的推導(dǎo)過(guò)程便更多突出了轉(zhuǎn)化思想，弱化了極限思想的應(yīng)用，而這節(jié)課的兩種割圓術(shù)推導(dǎo)面積的辦法與之相反，極限為主，轉(zhuǎn)化為輔。割圓術(shù)的方法是極限思想在大學(xué)之前給我們留下的“種子”，所以設(shè)計(jì)了這么一堂課，幫助學(xué)生去感受無(wú)限和極限的思想，為以后的極限、微積分學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本節(jié)課具體教學(xué)內(nèi)容：利用割圓術(shù)重新推導(dǎo)圓的面積公式，在推導(dǎo)過(guò)程中初步感受極限在極限的幫助下，構(gòu)建小學(xué)平面圖形的整體聯(lián)系極限在小數(shù)和分?jǐn)?shù)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。學(xué)情分析已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)：1、學(xué)生學(xué)習(xí)了課本上圓的面積推導(dǎo)過(guò)程，簡(jiǎn)單了解了極限，分割成的小三角形越多，拼成的長(zhǎng)方形越接近圓。2、學(xué)生學(xué)習(xí)了循環(huán)小數(shù)等相關(guān)無(wú)限的知識(shí)。3.學(xué)生學(xué)習(xí)了一部分圖形的知識(shí)聯(lián)系，如三角形，四邊形，梯形的聯(lián)系。本課遷移知識(shí)：1、兩種割圓術(shù)的學(xué)習(xí)：圓的面積轉(zhuǎn)化成無(wú)限多個(gè)小三角形的面積圓的面積轉(zhuǎn)化成無(wú)限多個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和。只是這些小長(zhǎng)方形的底相同，高度卻是均勻變化。2、極限的寬泛解釋，廣義理解。3、小學(xué)所有圖形之間的整體聯(lián)系。《兩種割圓術(shù)求圓的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)---小學(xué)極限思想整合前言：極限思想是微積分的基礎(chǔ)，同時(shí)能使人正確認(rèn)識(shí)無(wú)限和極限的關(guān)系，理解量變到質(zhì)變的過(guò)程。大部分高等數(shù)學(xué)教材中談到極限時(shí)都要先談割圓術(shù)，這是極限思想在大學(xué)之前給我們留下的“種子”。而割圓術(shù)這顆種子其實(shí)也并不只是一種形式，而今天便借助割圓術(shù)求圓的面積這顆珍貴的種子，設(shè)計(jì)了這么一堂課，幫助學(xué)生去感受無(wú)限和極限的思想。為了方便學(xué)生理解，一些專業(yè)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行了替換，比如用越來(lái)越接近，逼近、趨近這些詞語(yǔ)代替收斂，無(wú)限大代替無(wú)窮大，用n代替∞，用長(zhǎng)方形代替矩形等。教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷兩種割圓法推導(dǎo)圓面積的過(guò)程，更好的理解圓的面積公式2，在推倒過(guò)程中，體驗(yàn)各種逼近的過(guò)程，初步感受無(wú)限，感受極限3、整合極限在小學(xué)中的應(yīng)用：圖形、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等方面。4、鍛煉學(xué)生的邏輯思維，激發(fā)學(xué)生的科學(xué)探究熱情。教學(xué)重點(diǎn)：兩種割圓法推導(dǎo)圓面積的過(guò)程，感受其中極限的作用。教學(xué)難點(diǎn)：極限的理解和在小學(xué)中的綜合應(yīng)用。教學(xué)過(guò)程：（整節(jié)課需要50分鐘）一、經(jīng)典故事導(dǎo)入（3分鐘）2000多年前，古希臘天才芝諾，被這樣一個(gè)問(wèn)題困擾：A處有一個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，它如何才能到達(dá)1km遠(yuǎn)的B處呢，它不能瞬移，若從A到達(dá)B，必須先經(jīng)過(guò)A和B的中點(diǎn)C，若想到達(dá)點(diǎn)C，又得先經(jīng)過(guò)A和C的中點(diǎn)D，若想到達(dá)點(diǎn)D，又必須先經(jīng)過(guò)A和D的中點(diǎn)E......以此類推，可以找到無(wú)數(shù)個(gè)中點(diǎn)，面前的小段雖然很小，但這條路上可以找出無(wú)限多個(gè)小段，一個(gè)物體怎么可能走完這無(wú)限多的中點(diǎn)和小段呢？所以它應(yīng)該不可能到達(dá)B點(diǎn)，更糟糕的一個(gè)推論是一個(gè)物體其實(shí)一動(dòng)也不能動(dòng)，因?yàn)榧词股晕⑴矂?dòng)一丁點(diǎn)距離，這一丁點(diǎn)距離同樣可以分為無(wú)限多個(gè)小段和中點(diǎn)。所以最后他認(rèn)為世界所看到的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象是錯(cuò)的，都是幻覺(jué)。那么矛盾就來(lái)了，是芝諾錯(cuò)了？還是整個(gè)世界對(duì)運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)錯(cuò)了？設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)故事和著名的”追龜辯”一樣幾乎是人類歷史上第一次去真正思考無(wú)限和有限的矛盾-----無(wú)限是否可以收斂成有限值？反過(guò)來(lái)有限的空間（比如這1千米的路）是否可以無(wú)限分割下去？芝諾偶然間觸及到的兩個(gè)問(wèn)題，人們卻在兩千多年后才給出了答案：數(shù)學(xué)家根據(jù)極限解答了第一個(gè)----是，物理學(xué)家根據(jù)量子論解答了第二個(gè)----否。這個(gè)導(dǎo)入用的故事也許比本節(jié)課還要重要，留下這個(gè)故事會(huì)對(duì)學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要影響。教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)知道芝諾是錯(cuò)的，它與生活經(jīng)驗(yàn)完全相悖，但是卻無(wú)法找到芝諾錯(cuò)在何處，因?yàn)閷W(xué)生同樣被無(wú)限多所困擾。過(guò)度：由故事到本節(jié)課內(nèi)容---芝諾給出的矛盾要想給出一個(gè)完美解釋需要多個(gè)方面的知識(shí)，今天我們借助圓面積公式的重新推導(dǎo)，學(xué)習(xí)其中一個(gè)方面----在無(wú)限的變化中找尋其最終的狀態(tài)和規(guī)律。二、復(fù)習(xí)課本圓面積公式的推導(dǎo)過(guò)程（3分鐘）學(xué)生回憶課本上圓面積的推導(dǎo)過(guò)程并講述教師明確：轉(zhuǎn)化思想和極限思想在圖形問(wèn)題中相輔相成，經(jīng)常一起使用，課本上的推導(dǎo)過(guò)程便更多突出了轉(zhuǎn)化思想，弱化了極限思想的應(yīng)用，而這節(jié)課的兩種割圓術(shù)推導(dǎo)面積的辦法與之相反，極限為主，轉(zhuǎn)化為輔。初步感受無(wú)限（5分鐘）ppt出示3個(gè)問(wèn)題：在中，n取5、10、20、100、1000、10000時(shí)，它的值分別是多少？2.隨著n越來(lái)越大，這個(gè)式子的值和（ ）越來(lái)越接近？3.當(dāng)n無(wú)限大時(shí)，這個(gè)式子的值是多少？學(xué)生計(jì)算：0.8、0.9、0.95、0.99、0.999、0.9999引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)式子的值逼近1的過(guò)程；引導(dǎo)學(xué)生談?wù)剬?duì)無(wú)限大的理解教師點(diǎn)撥：無(wú)限大總會(huì)比你列舉出的任意大的數(shù)都大一點(diǎn)。PPT梳理這節(jié)課分析問(wèn)題的兩個(gè)步驟：第一步分析越來(lái)越大時(shí)有什么變化規(guī)律（逼近哪個(gè)值或圖形），第二步分析無(wú)限大時(shí)會(huì)有什么結(jié)論。第一種割圓術(shù)推導(dǎo)圓的面積：（12分鐘）-----圓的面積轉(zhuǎn)化成無(wú)限多個(gè)小三角形的面積第一種割圓術(shù)第一種割圓術(shù)宏觀角度設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題：隨著正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越多，比較圓的面積和正多邊形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生使用剛才兩個(gè)步驟討論ppt梳理：1、正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越多，正多邊形的面積越來(lái)越接近圓的面積2：正多邊形的邊數(shù)無(wú)限多時(shí)，正多邊形的面積可以理解成等于圓的面積宏觀到微觀過(guò)度：宏觀上看，圓轉(zhuǎn)化成了正無(wú)數(shù)邊形，這種方法其實(shí)最早是用來(lái)求圓的周長(zhǎng)和計(jì)算圓周率的，要想推導(dǎo)圓的面積，我們要再進(jìn)一步，從宏觀轉(zhuǎn)入微觀。圓形有許多小扇形組成，正多邊形有許多小三角形組成，那么，我們看一看小扇形和小三角形之間又有什么規(guī)律微觀角度設(shè)計(jì)三個(gè)問(wèn)題1、小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多時(shí)，小三角形的面積和小扇形面積之間有什么規(guī)律？2、小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多時(shí)，小三角形的底越來(lái)越接近小扇形中（）的長(zhǎng)度？3、小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多時(shí)，小三角形的高越來(lái)越接近小扇形中（）的長(zhǎng)度？學(xué)生對(duì)問(wèn)題1討論并匯報(bào)ppt梳理：隨著小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多，小三角形的面積越來(lái)越接近小扇形的面積；當(dāng)小三角形無(wú)限多時(shí)，小三角形的面積等于小扇形的面積。教師點(diǎn)撥：當(dāng)小三角形個(gè)數(shù)無(wú)限多時(shí)，面積會(huì)變得無(wú)限小，這時(shí)小三角形面積等于小扇形的面積，經(jīng)過(guò)以上的分析，我們發(fā)現(xiàn)無(wú)限多無(wú)限多邊路線1：圓正多邊形小三角形無(wú)限多無(wú)限多邊無(wú)限小路線2：圓無(wú)限多小扇形小三角形無(wú)限小無(wú)限多推導(dǎo)1板書(shū)這兩條路線都可以把圓轉(zhuǎn)化成無(wú)限多個(gè)小三角形，推導(dǎo)1板書(shū)引導(dǎo)學(xué)生明確第一種推導(dǎo)思路-------求出一個(gè)小三角形面積再乘無(wú)限多個(gè)學(xué)生對(duì)問(wèn)題2討論并匯報(bào)：ppt梳理：小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多，小三角形的底越來(lái)越接近小扇形中弧的長(zhǎng)度；當(dāng)小三角形個(gè)數(shù)無(wú)限多時(shí)，小三角形的底等于小扇形中弧的長(zhǎng)度。教師點(diǎn)撥：這里我們又用了一次化曲為直的方法，在長(zhǎng)度無(wú)限小時(shí)使用。學(xué)生對(duì)問(wèn)題3討論并匯報(bào)：ppt梳理：小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多，小三角形的高越來(lái)越接近小扇形中半徑的長(zhǎng)度；當(dāng)小三角形個(gè)數(shù)無(wú)限多時(shí)，小三角形的高理解成等于小扇形中半徑的長(zhǎng)度。教師引導(dǎo)學(xué)生完成如下證明過(guò)程：預(yù)設(shè)對(duì)話我們找到了三角形的底和高，前提條件是圓被分割成無(wú)限多個(gè)小三角形，如圖所示，為了方便，現(xiàn)在用n表示無(wú)限多圓的周長(zhǎng)是2πr，被分割成無(wú)限多的n份，一份多長(zhǎng)？無(wú)限多個(gè)......生：無(wú)限多個(gè)......師：根據(jù)問(wèn)題2結(jié)論，同時(shí)也是小三角形的底根據(jù)問(wèn)題3結(jié)論，r是半徑同時(shí)也是小三角形的高，接下來(lái)如何推導(dǎo)圓的面積呢生：先求一個(gè)小三角形面積，底乘高除以2----×r×生：再用一個(gè)小三角形面積乘以無(wú)限多個(gè)n---×r××n=πr2總結(jié)升華：圓的面積證明過(guò)程我們分成了兩步，第一步------把一個(gè)整體分割成無(wú)限多的小部分，這個(gè)方法我們稱之為微分；第二步-----把這無(wú)限多的小部分重新累積成原來(lái)的整體，這個(gè)方法我們稱之為積分，大家好好感受一下。第二種割圓術(shù)推導(dǎo)圓的面積：（8分鐘）-----圓的面積轉(zhuǎn)化成無(wú)限多個(gè)小長(zhǎng)方形的面積50個(gè)小長(zhǎng)方形第二種割圓術(shù)50個(gè)小長(zhǎng)方形第二種割圓術(shù)5個(gè)小長(zhǎng)方形11個(gè)小長(zhǎng)方形割圓術(shù)1到割圓術(shù)2的過(guò)度：推導(dǎo)1的圖是正多邊形增加邊數(shù)到無(wú)限多時(shí)，就可以等同于圓的面積，這種割圓術(shù)首先用于求圓的周長(zhǎng)和算圓周率，最后也成功推導(dǎo)出了圓的面積。換一種思路，我們不增加圖形邊數(shù)，增加個(gè)數(shù)，5個(gè)、11個(gè)、50個(gè)以至于無(wú)限多個(gè)小長(zhǎng)方形時(shí)，觀察和思考，圓還可以怎么轉(zhuǎn)化？學(xué)生觀察思考Ppt梳理:圓的面積轉(zhuǎn)化成無(wú)限多個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和,這是第二種推導(dǎo)思路。只是這些小長(zhǎng)方形的底相同，高度卻是均勻變化。關(guān)于小長(zhǎng)方形的底：ppt問(wèn)題：借鑒推導(dǎo)1中化曲為直的方法（無(wú)限小時(shí)），在小長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)無(wú)限多時(shí)，它的底也會(huì)變得無(wú)限小，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的底和對(duì)應(yīng)的一小段弧長(zhǎng)度之間是什么關(guān)系----生：相等師：一個(gè)半圓弧的長(zhǎng)度是πr，被無(wú)限多的小長(zhǎng)方形分割成無(wú)限多的n份后，那么一小段弧多長(zhǎng)？生：教師點(diǎn)撥：這同樣是小長(zhǎng)方形底的長(zhǎng)度關(guān)于小長(zhǎng)方形的高：ppt問(wèn)題：小長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)無(wú)限多時(shí)，最大的長(zhǎng)方形的高度趨近于（）最小的長(zhǎng)方形高度趨近于（），所有的小長(zhǎng)方形的平均高度是（）學(xué)生討論：最大長(zhǎng)方形的高度趨近于2r最小長(zhǎng)方形高度趨近于0教師點(diǎn)撥：那么所有小長(zhǎng)方形的平均高度怎么計(jì)算呢-----所有的小長(zhǎng)方形的高度是均勻變化的，這樣可以使用求平均數(shù)時(shí)一種特殊辦法，最小的高度0加上最大高度2r，直接除以2就可以了，（0+2r）÷2=r教師引導(dǎo)學(xué)生完成推導(dǎo)2的證明過(guò)程：預(yù)設(shè)對(duì)話所有小長(zhǎng)方形的平均高度是r，小長(zhǎng)方形的底是，接下來(lái)如何推導(dǎo)圓的面積呢生：先求平均一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，底乘平均高度-----×r生：再用平均一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以無(wú)限多個(gè)n-----×r×n=πr2六、感受極限和極限條件下圖形的聯(lián)系（9分鐘）課件展示回顧本課：圖2圖1圖2圖1點(diǎn)撥學(xué)生對(duì)極限的理解：通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)無(wú)限并不是不能計(jì)算，如果在無(wú)限的變化中能夠最終趨近成有限值或特定圖形，那么就說(shuō)這個(gè)無(wú)限的變化中存在極限，比如在n無(wú)限大時(shí)它的極限就是1。極限可以幫助我們更好的認(rèn)識(shí)圖形之間的本質(zhì)聯(lián)系，ppt展示圖2圖4最后出示半徑無(wú)限小和無(wú)限大的情況ppt展示圖3復(fù)習(xí)三四年級(jí)的內(nèi)容：圖4最后出示半徑無(wú)限小和無(wú)限大的情況梯形的上底在無(wú)限小時(shí)轉(zhuǎn)化成三角形圖3梯形上底的長(zhǎng)度無(wú)限接近下底時(shí),圖3轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形或正方形圖2和圖3結(jié)合在一起形成圖4圖3圖3在圖4中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注：圓為什么被稱作“完美的圖形”-----所有的圖形都想要變化成圓，圓幾乎是所有基本圖形變化的極限，點(diǎn)撥升華：那么圓如果繼續(xù)向前變化，圓半徑無(wú)限小時(shí)會(huì)轉(zhuǎn)化成什么？-----點(diǎn)圓半徑無(wú)限大時(shí)又轉(zhuǎn)化成什么？需要提示，預(yù)設(shè)對(duì)話教師展示地球儀師：地球儀的截面是圓，如果兩點(diǎn)之間連接起來(lái)應(yīng)該是一條圓弧或者曲線，可是我們真實(shí)的地球上，生活之中兩點(diǎn)之間連接起來(lái)是你感覺(jué)是曲線還是直線？生：感覺(jué)是直線師：那原因是什么，真實(shí)的地球和地球儀主要區(qū)別在哪？生：真實(shí)地球比地球儀大的多師：雖然地球半徑不是無(wú)限大，但也超過(guò)了6000000米，這時(shí)生活中兩地之間的曲線可以近似成直線，那么半徑無(wú)限大時(shí)圓會(huì)趨近于什么？生：直線.....師：物極必反，圓最后變化下去卻轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)和直線，而點(diǎn)和直線又理所當(dāng)然的可以重新形成上面的所有圖形。事實(shí)上，點(diǎn)在無(wú)限多時(shí)便成為直線，直線在無(wú)限小時(shí)又變化成一個(gè)點(diǎn)。這樣所有圖形之間在極限思想的幫助下形成了一種循環(huán)式的轉(zhuǎn)化。圓半徑無(wú)限大的極限是直線-------這是我們每天生活中都在使用的極限，它幾乎無(wú)處不在。因?yàn)榈厍虻慕孛媸呛艽蠛艽蟮膱A。教師點(diǎn)評(píng)：雖然很多人還是不理解半徑無(wú)限大時(shí)，圓會(huì)轉(zhuǎn)化成直線----但這其實(shí)是我們生活中和課本上應(yīng)用最廣泛的一個(gè)極限，比如在排桌子時(shí)地面兩點(diǎn)需要拉出一條直線（其實(shí)是一條曲率很小的曲線）；路面上畫(huà)兩條平行線（其實(shí)畫(huà)不出這樣的平行線，最多到兩極，肯定有交點(diǎn)）。如果這個(gè)極限不存在，我們很多生活中的圖形知識(shí)都要修正（黎曼幾何），而生活中的很多簡(jiǎn)單問(wèn)題都難以處理。七、小數(shù)和分?jǐn)?shù)中的極限（7分鐘）小數(shù)中的極限----循環(huán)小數(shù)：題目1：比較大小0.99___10.9999___10.9999......____1第一個(gè)小于，第二個(gè)小于，第三個(gè)等于預(yù)設(shè)：如果學(xué)生繼續(xù)質(zhì)0.9999......是否等于1展示更加熟悉的一個(gè)極限，1/3=0.333....，那么等式兩邊分別擴(kuò)大三倍后，仍可得1=0.999......分?jǐn)?shù)中的極限----無(wú)限分割題目2：=________結(jié)合輔助圖，這無(wú)限多個(gè)分?jǐn)?shù)相加后逼近于1課下作業(yè)：經(jīng)典題目重新處理有一老農(nóng)分遺產(chǎn)，遺產(chǎn)是17頭牛，老大得1/2，老二得1/3，老三得1/9，他們各得多少頭牛？這個(gè)問(wèn)題我們上學(xué)期講過(guò)的第一種方法是鄰居借一頭牛，還有一種比的方法，今天課下大家試著用極限的方法去考慮，看能否得到同樣的答案。（提示：遺產(chǎn)分一次不夠，需要分上無(wú)限多次，看能否逼近一個(gè)整數(shù)）再看芝諾的故事，總結(jié)本課（3分鐘）芝諾的矛盾是否解決？-----預(yù)設(shè)對(duì)話：...師：大家再看芝諾的矛盾，他指出一條路中有無(wú)限多個(gè)小段，如果這些小段對(duì)應(yīng)上分?jǐn)?shù)的話跟題目2是一樣的，1/2、1/4、1/8、1/16..........那么這無(wú)限多個(gè)小段加起來(lái)是多大呢?生：還是1師：這無(wú)限多的小段相加后還是路的長(zhǎng)度1km，并不是無(wú)限大，也并不是不能計(jì)算，所以大家不要被無(wú)限多嚇住。那么到現(xiàn)在為止芝諾的矛盾解決了嗎？預(yù)設(shè)：大部分學(xué)生認(rèn)為解決了，也有小部分質(zhì)疑師：其實(shí)芝諾的矛盾在這節(jié)課中沒(méi)有得到解決，一點(diǎn)都沒(méi)解決，經(jīng)過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)反而加深了這個(gè)矛盾，因?yàn)槲覀兎炊C明了芝諾的分析在某些方面是對(duì)的，這一條1千米的路也好，1cm的路也好，真的可以分解成無(wú)限多的小段1/2、1/4、1/8、1/16等，可是我們?nèi)绾卧趯?shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中走完這無(wú)限多的小段呢，并沒(méi)有找到真正的答案，我們雖然可以用路程除以速度算出時(shí)間結(jié)果，用極限的知識(shí)認(rèn)識(shí)到這無(wú)限多的小段相加也只是一個(gè)有限的數(shù)值，可是我們卻仍然無(wú)法解釋完成這個(gè)運(yùn)動(dòng)的具體過(guò)程?？偨Y(jié)并展望：那么芝諾的分析到底錯(cuò)在哪，如何真正解決其中的矛盾，還需要以后的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)真正的極限（這節(jié)課只是簡(jiǎn)單感受，并沒(méi)有給出嚴(yán)格定義）以及相關(guān)的量子知識(shí)。這節(jié)課只是給了大家一顆種子，一顆關(guān)于極限，微積分的種子，這顆種子需要大家長(zhǎng)時(shí)間的悉心培育，我希望看到它長(zhǎng)成參天大樹(shù)的樣子。越來(lái)越大時(shí)，變化規(guī)律附：板書(shū)設(shè)計(jì)：越來(lái)越大時(shí)，變化規(guī)律無(wú)限大（多）無(wú)限大（多）極限下的圖形本質(zhì)聯(lián)系小數(shù)和分?jǐn)?shù)中的極限割圓法推導(dǎo)2：圓----無(wú)限多個(gè)小長(zhǎng)方形割圓法推導(dǎo)1：圓----無(wú)限多個(gè)小三角形無(wú)限大時(shí)，最終結(jié)論極限下的圖形本質(zhì)聯(lián)系小數(shù)和分?jǐn)?shù)中的極限割圓法推導(dǎo)2：圓----無(wú)限多個(gè)小長(zhǎng)方形割圓法推導(dǎo)1：圓----無(wú)限多個(gè)小三角形無(wú)限大時(shí)，最終結(jié)論《割圓與極限》課前預(yù)習(xí)單----圓的面積再學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)課本上圓的推導(dǎo)過(guò)程問(wèn)題1、寫(xiě)出圓的面積公式：（）問(wèn)題2、圓的面積公式是如何得出的？回憶課本上的推導(dǎo)過(guò)程：圓的面積切成若干等份，可以近似拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，拼成的這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=（），用字母表示是（）：拼成的這個(gè)長(zhǎng)方形的寬=（），用字母表示是（），所以圓的面積可以寫(xiě)成（）二、感受無(wú)限：一個(gè)式子，當(dāng)n=5時(shí)，這個(gè)式子的值等于_____（小數(shù)形式）當(dāng)n=10時(shí)，這個(gè)式子的值等于_____，（小數(shù)形式）當(dāng)n=20時(shí)，這個(gè)式子的值等于_____，（小數(shù)形式）當(dāng)n=100時(shí)，這個(gè)式子的值等于_____，當(dāng)n=1000時(shí)，這個(gè)式子的值等于_____，（1）觀察，當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，的值和（）越來(lái)越接近（2）發(fā)揮想象，當(dāng)n無(wú)限大時(shí)，的值是多少？____________________三、圓的面積公式新的推導(dǎo)方法1：圓的面積轉(zhuǎn)化成求無(wú)限多個(gè)小三角形的面積正八邊形正十六邊形回顧：隨著正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越多，比較圓的面積和正多邊形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？____________________________________________________________________探究三個(gè)問(wèn)題：1、隨著小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多，比較小扇形和小三角形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？________________________________________________________________________2、隨著小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多，小三角形的底和小扇形的（）越來(lái)越接近半徑為r的大圓周長(zhǎng)是（），被分成相等的n段小弧后，每段小弧的長(zhǎng)度是（）3、隨著小三角形個(gè)數(shù)越來(lái)越多，小三角形的高和小扇形的（）越來(lái)越接近四、圓的面積公式推導(dǎo)方法2：圓的面積轉(zhuǎn)化成求無(wú)限多個(gè)小長(zhǎng)方形的面積當(dāng)小長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)無(wú)限多時(shí)，所有小長(zhǎng)方形的面積相加等于圓的面積嗎?__________1、隨著小長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)越來(lái)越多，小長(zhǎng)方形的底與（）越來(lái)越接近半徑為r的半圓弧長(zhǎng)度是（），被分成相等的n段小弧后，每段小弧的長(zhǎng)度是（）2、隨著小長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)越來(lái)越多，最大的長(zhǎng)方形的高度趨近于（）的長(zhǎng)度,最小的長(zhǎng)方形高度趨近于（）, 所有的小長(zhǎng)方形的平均高度是（）《圓的面積再學(xué)習(xí)》課上訓(xùn)練單一、理解體會(huì)：三種形成圓的方法：正方形正五邊形正六邊形......正無(wú)數(shù)邊形（圓）無(wú)數(shù)個(gè)相同的小三角形可以拼成一個(gè)圓;無(wú)數(shù)個(gè)大小不同的小長(zhǎng)方形可以拼成一個(gè)圓二、感受極限：1、在無(wú)限小或無(wú)限大的條件下，數(shù)或圖形會(huì)產(chǎn)生一些本質(zhì)的變化和聯(lián)系2、無(wú)限多個(gè)數(shù)或圖形相加并不是無(wú)限大三、極限下，小學(xué)各種圖形之間的聯(lián)系四年級(jí)知識(shí)復(fù)習(xí)：畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形梯形上底無(wú)限小時(shí)梯形上底無(wú)限接近下底時(shí)梯形上底無(wú)限接近下底時(shí)四、小數(shù)中的極限---循環(huán)小數(shù)比較大?。?.99__10.99999