習(xí)題9.1解答

1.設(shè)0是圓環(huán)域：1<x2+y2<4,證明3兀e4W3兀

D

證在。上，/(元。)=/+『的最小值加=6,最大值M=e，

而Z)的面積S(D)=4兀一兀=3兀.

山性質(zhì)5得3兀e<jje'+vdcr<3兀/.

D

2.利用二重積分定義證明：

(1)|jd(7=(7(其中O?為。的面積)；；

D

(2)j]7(x,y)db=Jj/(x,y)db+J]7(x,y)db,其中。=。0。2，2、。?為兩個無公共

DD|D2

內(nèi)點的閉區(qū)域.

證(1)由于被積函數(shù)〃x,y)三1,故由二重積分定義得

心6=如這/?力,)阻=處這阻=處y=5

D1=1/=!

(2)因為函數(shù)/(x,y)在閉區(qū)域。上可積，故不論把。怎樣分割，積分和的極限總是不

變的，因此在分割。時，可以使R和2的公共邊界永遠(yuǎn)是一條分割線。這樣〃x,y)在

RUD2上的積分和就等于R上的積分和加D2上的積分和，記為

X.fG/Ms=￡fG,如血+工f《,如叱.

D,UD2D)D2

令所有Ab,的直徑的最大值2fO,上式兩端同時取極限，即得

JJf(x,y)da=JJ/(x,y)dcr+JJ/(x,y)dcr.

力山力24力2

3?根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小：

(1)JJ.+ydb與jj(x+y)2db,其中積分區(qū)域。是由/軸、y軸與直線x+y=l所圍

DD

成；

(2)。(*+)，)％<7與]](尤+田％(7,其中積分區(qū)域。是由圓周(x-2)2+(y-l)2=2所圍

DD

成；

(3)jjlg(x+y)d(7與jj[lg(x+y)]2dcr,其中￡>={(x,y)|O<x<5,1<y<5}是矩形閉區(qū)

DD

域.

(4)JJln(x+y)db與JJ[ln(x+y)『db,其中。三角形閉區(qū)域，三頂點分別為

DD

(3,0),(5,0),(3,3).

解(1)在積分區(qū)域。上，0<x+y<\,故有而7z(x+y)2.,根據(jù)二重積分的性

質(zhì)4,可得JRx+ydb之JJ(x+y)2dcr.

DD

(2)山于積分區(qū)域。位于半平面｛(x,y)|x+y21｝內(nèi),

故在。上有

x+y>l,

(x+y)4<(x+y)5.

從而jj(x+y)4dcr<jj(x+y)5dcr.

DD

(3)由于積分區(qū)域。位于條形區(qū)域{(x,y)|14x+y410}內(nèi)，故知。上的點滿足

041g(x+y)41,從而有口g(x+y)f<lg(x+y).因此jj[lg(x+y)]2dcr<JJlg(x+y)d<r.

D

(4)由于積分區(qū)域。位于半平面｛(%田比+丫26｝內(nèi)，故在。上有l(wèi)n(x+)，)21,從而有

[ln(x+y)]2>ln(x+y).因此jj[ln(x+y)]2dcr>jjln(x+y)d(T.

D

4.利用二重積分的性質(zhì)估計下列積分的值：

(1)/=JJx2(x+y)dcr其中￡>={(x,j)|0<x<2,0<y<1}；

D

(2)I=J1CY>S2xsin2ydcrD={(x,y)|0<x<^,0<y<7r}\

D

(3)/=JJ(x+)，一l)d(r其中。={(x,y)|0<x<l,l<y<3}；

D

(4)/=JJ(x2+4y2+9)dcr其中。={(x,y),+y244}.

D

解(D在積分區(qū)域。上，04x42,04y41,從而04，&+y)42,又。的面積

等于21,因此04“xy(x+y)db424.

D

(2)在積分區(qū)域。匕0<cosx<l,0<siny<1,從而0?(:0$2八由，41,又。的面

積等于7,因此OKJJcosN^sin2ydbK/

D

(3)在積分區(qū)域。上，0<x+y-l<3,。的面積等于2,因此04JJ(x+y+l)d(r46.

D

(4)在積分區(qū)域。上，0<x2+y2<4,從而94;?+4y2+944,+y2)+9425,,又D

的面積等于4兀,因此36兀4|j(x2+4V+9)dcrW100兀

D

5.設(shè)/產(chǎn)Jj(x2+y2)3da其中D,={(x,y)|-l<x<l,-2<y<2}；又八=JJ，+/)3d<j

o,2

其中&={(x,y)|04x41,04y42}.試?yán)枚胤e分的幾何意義說明乙與之間的關(guān)系.

解由二重積分的兒何意義知，4表示底為A、頂為曲面z=(/+V)3的曲頂柱體Q1的

體積；乙表示底為。2、頂為曲面Z=(1+y2)3的曲頂柱體鼻的體積.由于位于A上方的曲

面Z=，+y2y關(guān)于yOz面和zOx面均對稱，故yOz面和zOx面將5分成四個等積的部分,

其中位于第一卦限的部分即為復(fù)?.由此可知乙=4/2.

習(xí)題9.2解答

1.計算下列二重積分：

(1)jj-4d.rdy,其中。是正方形區(qū)域：14x42,04y41.

(2)JJ(3x+2y)db,其中。是由兩坐標(biāo)軸及直線2x+y=2所圍成的閉區(qū)域；

D

(3)J](x+3f)，)db，其中￡)={(R,y)|0KxKl,0?yKl}；

D

(4)J卜sin(x+y)(hdy其中￡)是頂點分別為(0,0),(兀,0)和(兀，兀)的三角形閉區(qū)域.

0

(5)sin—drdy,其中D是有y=0,x=l,y=x所圍成的閉區(qū)域.

DX

解⑴J傳出dy=fdd*dy=；Gdx=；.

八人-AL人I

(2)。可用不等式表示為04y42(1-x),0<x<l,

于是

jj(3x+2y)da=f山，j：(3x+2y)dy

D

=，[3町+力”&

(3)因￡>={(x,)，)|04x41,04>41}是正方形區(qū)域，所以

jj(jc+3x2y)dcr=fdy，(x+3Yy)dx

=￡(g+加)"；(y+y2)=>

(4)解C可用不等式表示為04y4x,0<x<7t,

于是

jjxsin(x+y)dxdy=￡xdx[sin(x+y)dy

D

=￡x[-cos(x+y)]()dx=J"x(-cos2x+cosx)dx

--[cos2%]；+[cosx]；=-2.

22

⑸解j|xsin—dr辦，xsinA/y=j^xt/xsin--d(—)=j^x?-cos—dx

X」0

=(1-cos1)fx2dx=；(1-

cosl).

(6)j1(x24-y2)d<r,其中￡>={(x,y)||x|Wl,|y|Wl}；

(1)。是山直線y=2,y=A1及y=3x所圍成的閉區(qū)域.

圖9.2-1(3)

(2)由x軸及半圓周/+丁2=/。之0)所圍成的閉區(qū)域；

(3)山雙曲線y=’(x>0)和直線y=3,y=x,所圍成的閉區(qū)域;

X

解(1)畫出積分區(qū)域D如圖9.2-2(4),。可用

不等式表示為］04y42,于是

，=fdy￡/(x,y)dr,或

3

/=［也f(x，y)dy+f&ff(x,y)dy.

(2)將。用不等式表示為04y4必下，-a<x<a,于是可將/化為

7

/=Tdr「f(x,y)dy■,

J-a

如將。用不等式表示為7a2-J/4x4&2一丫2,04y4。，于是可將/化為

(3)作出由雙曲線y=」(尤>0)和直線y=3,

X

所圍成的閉區(qū)域D的圖形(如圖9.2-3(3))；

1=fdr￡/(x,y)dy或

圖9.2-3(3)

/=J'dy￡f(x,y)dx+￡dyff(x,y)dx.

3y'

(4)環(huán)形閉區(qū)域{(x,y)|14x2+V44}.

解將。劃分為4塊，得

I=t力幅/a，y)&+二力匿y)出

+￡dy卻/(x,y)dr+f?尊f(x,y)dr.

3.畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分：

(1)[pydb,其中。是由兩條拋物線尸五，y=d所圍成的閉區(qū)域；

D

(2)JJxJ7db,其中。是由圓周/+y2=4及y軸所圍成的右半閉區(qū)域；

D

(3)"e">db,其中。={(x,y)||x|+|y|41}；

D

4)jj(.r2+y2)dcr,其中。是山直線y=2,y=%及y=3%所圍成的閉區(qū)域.

D

-

(5)jjxe'dxdy,其中。是由直線y=xfx=3和y=1所圍成的閉區(qū)域.

D

⑹Jb，Jl+x2-/da,其中。是由直線y=x,x=-l和)，=1所圍成的閉區(qū)域.

D

(7)jpye-vdrdy,其中D是由直線>=工，工=-1和y=l所圍成的閉區(qū)域.

D

(8)計算JJxydo,其中。是由拋物線丁=%及直線y=x—2所圍成的閉區(qū)域.

D

解(1)畫出積分區(qū)域D如圖9.2-2(1),。可用不等式表示為

x2<y<4x,04x41,于是

圖9.2-2(1)

7VJo=56

(2)畫出積分區(qū)域D如圖9.2-2(2),。可用不等式表示為

0<x<74-/,-2<y<2,于是

xdx

；]；V7(4-y2)dy

2

=竺:

37一221

(3)￡>=￡>]U2i其中A={(兀丫)1一工一14二Wx+L-14x40},

。1={(x,y)|x-i4y?r+L0<x<l},于是

jjet+,dcr=JJe"vdcr+JJe"'db

DDjD2

=￡(e2"+,-e-1)dr+_[(e-e2x-')dr

-1

=e-e.

(4)畫出積分區(qū)域D如圖9.2-2(4),。可用

不等式表示為y,0<y<2,于是

2222

jj(x+y)dcr=(dyJv(x+y)dx

D3

-a2-iy

=ff+^-y,3=豆)冏=20.

(5)Jjxe-1dxdy,其中。是由直線、=彳，苫=3和丫=1所圍成的閉區(qū)域.

o

解首先畫出積分區(qū)域D(如圖9.2-2(5)),

若把。看成X-型區(qū)域，D上的點的橫坐標(biāo)

的變動范圍是區(qū)間［1,3］.在區(qū)間［1,3］上任意取定

個x值，則D上以這個X值為橫坐標(biāo)的點在

一線段上，且該線段平行于Y軸，該線段上的點

的縱坐標(biāo)從y=l變到），=x,利用公式（1）得

jjxe-'drdy=jdxjxe"ydy=jxdx^e-vdy

D

=jx[-(e：'，)]'dx=|xe~')dx

(6)JJWl+xfdb,其中。是由直線y=x,x=-l和y=l所圍成的閉區(qū)域.

D

解畫出積分區(qū)域。(圖9.2-2(6)),若把。看成X-型，則利用公式(1)得

^y^l+x2-y2dcr=J：dx,y^i+x2-y2dy

D

3JT

=-1f',(|x|3-l)dr

3JT

=_|^(x3_1)dx=l

若把。看成丫-型(如圖9.2-2(7)),則利用公式(2)得

^yy/l+x2-y2da=J：ydy￡yj\+x2-y2dx,

其中關(guān)于欠的積分計算比較麻煩，所以這里用公式?計算較為方便.

（7）jjxye^'d.rdy,其中。是由直線y=x,x=-1和y=1所圍成的閉區(qū)域.

D

解苜先畫出積分區(qū)域D（如圖9.2-2（6））。看成X-型區(qū)域，D上的點的橫坐標(biāo)的變

動范圍是區(qū)間［-1J.在區(qū)間［-U］上任意取定一個x值，則D上以這個x值為橫坐標(biāo)的點在

一線段上，且該線段平行于Y軸，該線段上的點的縱坐標(biāo)從y=x變到y(tǒng)=l,利用公式（1）

得

112x

=f(/xe-x-)\d,x=1

2、e22e

=--(e-'+-)-(e-'+-)=0

41ee.

圖9.2-2(6)圖9.2-2(7)

(8)計算JJxyd。，其中。是由拋物線V=x及直線y=x-2所圍成的閉區(qū)域.

D

解畫出積分區(qū)域￡>(如圖9-13),若把。看成

"型區(qū)域，則利用公式(2)得

y+2

x2

樂即=卜『犯也=￡5ydy

D

Jy(y+2)2-y」dy

241

2

46

_1y417y45

4+3J+2j-6

一2

4.改換下列二次積分的積分次序:

⑴1<kf/(x,y)dy.；⑵fdy[：/(x,y班；

(4)[dy[j(%,y)dx；

⑶&/(匕加；

en?inx

⑸fdrf.J(x,y)dy.

JOJ-sni-

2

%ydx+孫dx

(6)7-2

⑺dr.

解(1)所給二次積分等于二重積分JJ/(x,y)db,其中

D

O={(x,y)|xWyMl,0<x<l},。可改寫為。={(x,y)|y,0<y<1},于是

原式=fdyf1/(x,y2.

(2)所給二次積分等于二重積分JJ〃x,y)db,其中

D

D={(x,y)\y2<x<2y,0<y<2},。可改寫為{(x,y)弓4y4&,04x44},于是

原式=

(3)所給二次積分等于二重積分JJ/(x,y)db,其中

D

D={(x,y)|2-xWy?-Y,\<x<2},。可改寫為

原式=fdy1N/(x,y)dx.

(4)所給二次積分等于二重積分jj/(x,y)db,其中。={(x,y)|e，WxWe,0<y<1},

D

。可改寫為￡>={(x,y)|04y4lnx,l<^<e},于是

原式=fdx￡'f(x,yXv-

(5)所給二次積分等于二重積分J，(x,y)db,將。表示為"U2,其中

D

A={(x,y)|arcsiny<x<n-arcsiny,0<y<1},

={(-r,y)I-2arcsiny<x<n,-1<y<0},于是

原式=fdy[az'/(x,y)dx+]})，0,f(x,y)dx.

JUJarcsmy42arcsiny

(6)解。是由拋物線)，=/及直線y=x+2所圍成

的閉區(qū)域(如圖9.2-3(6)).

^xydxdy=匚dx『孫dy

D

=；￡x.[y2覃2dx

_45

一

(7)解由不定積分可知，因為佟吧dx的被積函數(shù)七的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表

JXX

示，因此依題中所給積分次序不能計算出二重積分.對此類問題考慮采用交換積分次序的方

法來解決，計算如下：

fdyf學(xué)dx=_[>['Wdy=f學(xué)心[&=[：學(xué)/*=1一。。$1.

5.計算由四個平面x=-l,y=-l,x=l,丫=1所圍成柱體被平面2=0及

2x+4y+z=5截得的立體的體枳.

解此立體為一曲頂柱體，它的底是xOy面上的(正方形)閉區(qū)域

O={(x,y)|T4y41,-14x41},頂是曲面z=5-2x-4y,因此所求立體的體積為

V=J|(5-2x-4y)dxdy=fdx[(5-2x-4y)dy

D

=2￡(5-2x)dr=20.

6.求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積.

解設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為V+/=R2及/+[2=f可利用立體關(guān)于坐標(biāo)平

面的對稱性，算出它在第一卦限部分(圖9.2題6(a))的體積匕，再乘以8即可.

所求立體在第?卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的底為

D=^x,y)\O<y<yjR2-X2,0<X<R

如圖9.2題6(b)所示，它的頂是柱面z=VF=？.于是

V1=-x2da=JJV/?2-x2da=\IR2-x2dy

DD

=f[yy/R2-x2dx=^(R2-x2)dr=17?\

從而所求立體的體積為K=8匕=—R3.

3

9.2題6圖

習(xí)題9.2-2解答

7.畫出積分區(qū)域，把積分JJ/(x,y)db表示為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中積分區(qū)域3

D

是：

(1){(x,y)\x2+y2<2ax}；

(2)[(x,y)\a2<x2+y2<b2},其中0<a<b；

(3)由三條直線x=0,y=0,x+y=1.圍成.

解(1)在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域D的圖形

(如圖9.2-7),D={(p,0)\O<p<2cos0,-y<6?<|},

友

JJ7(x,y)db=\\f(pcos<9,psin6)pApAd

DD

Lfl.(lCG30

Rd，[/(pcos6,2sin0)pAp.

2

(2)在極坐標(biāo)中，。={(夕,夕)|。4夕4"04"2兀},故

j|/(x,y)dcr=jj/(pcos0,psin0)pdpd0=(夕cos/psin。)/?”?.

DD

(3)在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域D的圖形(如圖9.2-7(4)),

直線x+y=1的方程為p=----------,故

sin6+cos。

]

D={(p,^)|0<p<0<6><|},

sin。+cos。

圖9.2-7(4)

于是

J，(x,y)dcr=Jj/(pcos6>,psin6')/?d/?d6>

DD

K廣I

=fdgjsine+cosey,(pcos0.psin0)pdp.

8.化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分：

⑴fd_rf/(x,y)dy;(2)jdx「/(x,y)dy；

⑶；⑷{<ix￡f(x,y)dy.

解(1)用直線y=x將積分區(qū)域。分成鼻、。2兩部分：

7T

={(p,^)|0<p<sec<9,0<6^<-},

7T7T

D2={(p,0)\O<p<csc09-<6^<-}.,

于是

F乃■C夕FSC0

原式=「d8『/(pcos，,/?sin6)/xi/7+gd，/f(pcos0,psin0)pdp.

4

(2)在極坐標(biāo)中，直線x=2,丁=1和丁=退工的方程分別是夕=2$?(:。，夕=?和

4

0=-o因此。={(p4)[0?p42sec&-<0<-],又/(々+y2)=/(夕),于是

343

,、Jp2sec。

原式=gdj[f(p)pdp.

4

(3)在極坐標(biāo)中，直線y=l-x的方程為夕=——!——，圓)，=71二巨的方程為

sin夕+cos。

1ir

p=l,因此。={(p,6)|---------------<p<l,0<^<-},故

sin夕+cos。2

原式=，dej?f(pcos0,psinO)pAp.

sinO+cos。

(4)在極坐標(biāo)中，直線x=l的方程為夕=sec。，拋物線y=/的方程為

psin0=p2cos20,即/^tanesece；兩者的交點與原點的連線的方程是0=(?因此

JT

D={(p,0)\tan0sec0<p<sec0,0<0<—},故

4

n；ec8

原式=，d0「/(pcospsin0)pdp.

JoJtanGscc，

9.把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計算積分值：

(1)(x2+y2)dy；(2)^dx^yjx2+y2dy；

(3)]*]：(/+丁)2&,；(4)/dy/'(x2+y2)dr.

解(1)在極坐標(biāo)中，D={(p,0)\O<p<2acos0,0<0<-},故

原式=fdere""pdp=^na4.

(2)在極坐標(biāo)中，D={(p,0)\O<p<asec0,O<0<-},故

4

原式=jde「"p-pdp=y[V2+ln(V2+1)].

(3)在極坐標(biāo)中，拋物線y=/的方程為0sin6="cos?6,即0=tan6sece；直線

y=x的方程是。=二，故。={(/7,9)|OW0WtanOsece,Q<0<—},故

44

原式=3「藍麗=&-1.

(4)在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域

7T

。={(0,8)|04夕4%0<<-},

于是

原式=?姐￡方?pdp=^aA.

10.利用極坐標(biāo)計算下列各題：

(1)張“八聲db,其中。是由半圓周V+y2=9()，20)與X軸所圍成的閉區(qū)域；

D

(2)jjarctan)dcr,其中。是由圓周/+)3=1,x?+丁=16及直線y=0,y=xJ?f

圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.

解(1)在極坐標(biāo)中，D={(p,6?)|0<yO<3,0<6><K},故

原式=]：d9￡e3/r-pdp=弓(e"-1).

（2）在極坐標(biāo)中，。={（2,。）|14夕44,0<^<-},故

6

原式=jedefpdj因平隰：

11.求山曲面Z=x2+2y2及z=3-2f-y2所圍成的立體的體積.

解所求立體是兩個橢圓拋物面圍成，它在X。），血上的投影區(qū)域為

￡>={(x,y)|x2+y2<1}

所求立體的體積等于兩個曲頂柱體體積的差:

V=jj(3-2x2-y2)d<7-jj(x2+2y2)dcr

DD

=3jj(l-p2)d/7djj(3-3x2-3y2)do-

DD

=3jj(i-/)sde

D

=3j：def(l_p2)pdx?=T兀

12.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列各題:

⑴0，dcr,其中。是由直線y=2,y=x及曲線xy=1所圍成的閉區(qū)域;

(2)JRl+f+y-db,其中。是由圓周/+：/=/及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的

D

閉區(qū)域；

(3)JJ(x2+y2)dcr,其中力是由直線>=》，y=x+l,y=l,y=3所圍成的閉區(qū)域;

(4)[[廬萬db,其中O是由射線'=-

D

和和圓/+)產(chǎn)=。2/2+,2=/，(白<力)圍成

解(D選用直角坐標(biāo)，畫出積分區(qū)域

D如圖9.2-11(1),經(jīng)觀察，把D看成Y-型

區(qū)域，即

D={(x,>)|—1<y<2},故

y

好d"*

(2)選用極坐標(biāo)，取。={(夕,。)[0<0(〃，故

jjjl+f+y2db=+-pdpAO

DD

n_____

=^d0+p2-pip

._____「13T3

JT177Pdp=g.1(1+夕2戶二3(1+/六_1]

2㈤23A6

(3)選用直角坐標(biāo),

JJ，+y2)db=j'dyf"2+/擊=f伽產(chǎn)一小+耳?

Dy~J

r2~|3

=—=14.

323J,

(4)選用極坐標(biāo)，由函數(shù)和枳分區(qū)域的對稱性，取枳分區(qū)域

D.={(p^)\a<p<b,0<^<J,則所求積分

JJJ.2+),2m_2川.2+y2db

DDj

=2jjp-pdpdd

4

乃*

=2^d0[p2dp=-1Tt(b3-a3).

13.求球體V+V+z2M々J被圓柱面/+丫2=2依3>0)所截得的(含在圓柱面內(nèi)的

部分)立體的體積(圖9-30).

zk耳

kp=2ucos0

a2ax

(a)(b)

圖9.2-13

解由對稱性，___________

V=4^4a2-x2-y2cIrdy,

D

其中。為半圓周y=J2ax-V及x軸所圍成的閉區(qū)域,在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域。可表示為

。=1(0,6)0<p<2acosd,0

于是

COS?1--

V=4j|74?2-P1pdpd6?=4fd6>j：Q4a-p-pAp

D

=y?3f(1-sin30)d0=ya3(|-令

14.證明￡|/(x)^￡|g(x)|^x<^y^￡[/2(x)+g2(x)]jx.

證顯然，不等式左、右兩端可化成二次積分，上式可變成

f右加(啡(〉)曲[fdyf[/(x)+g2(x)，r.,

從而，構(gòu)造矩形區(qū)域上D的二重積分.令D={(x,y)|a4x4瓦a4y4。},則由

[|/(x)|-|g(x)|]2>0,根據(jù)二重積分性質(zhì)，有

JJf|/(x)|Tg(y)/dxdy20,即

D

2"/。)版(>)/山4jj/2(x)dxdy+Jjg2(x)dxdy,

DDD

22

\\fMdxdy=fdyff(x)dx=(b-a)j?(x)jx,

D

222

JJg(y)dxdy=f%fg2(y)dy=(h-a)^g(y)dy=(b-a)^g(x)dx.

D

所以，

2J]|/(x)||g(y)Wxdy<(6-a)￡[/2(x)+g2(x)~^x.

D

即，JJ|/(x)||g(y)"dyW與0[/2(x)+g2(x),x..

D2

習(xí)題9.3解答

1.化三重積分/=川/(“")(1?岫為三次積分，其中積分區(qū)域Q分別是:

n

⑴由曲面Z=f及平面z=0,y=0,x=0和x+y=1所圍成的閉區(qū)域;

⑵由曲面z=f+,2及平面z=4所圍成的閉區(qū)域；

由曲面z=xy,[+1=1，z=。所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域.

⑶

解(1)。可以表示為：

Q={(x,y,z)|OKz<x2+>,2,0<y<l-x,0<x<l|,

其中2V={(x,y)|O<y<l-x,o<x<l).

因此，

/=JJJ/(x，y，z)&?b，dz

Q

=眄"'f(x,y,z)dz

=/「&「f(x,y,z)也

(2)。可用不等式表示為：

O={(x,y,z),+;/Vz44,(x,y)e￡>},

其中

D={(x,y)卜，4-J?<y<\l4—x2,—2<x<2^

因此

I=jjdxdyf,J(x,y,z)dz.

JJJx~+y~

D

=f段「dyjvja,y,z)dz.

(3)Q可用不等式表示為：

Q=<(x,y,0<^<xy,0<y<h.1-^-,0<x<a

其中。=，(x,y)O?y?。卜一.，0<x<a>

因此

/=JJff(x,y,z)dz=1

D

=/(x,y,z)dz.習(xí)題9.3-1(3)

2.計算三重積分jjjAd.rdydz,其中Q為三個坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)

Q

域.

解作閉區(qū)域。如圖9.3-3所示.

將。投影到xOy面上，得投影區(qū)域Oq,為三角形閉區(qū)

方程依次為y=0,1=0及丸+2)=1,所以

)—X

D.={(x,>.)|0<y<--,0<x<l}.

o2

在內(nèi)任取一點(x,y),過此點作平行于z軸的直線

然后通過平面z=l-x-2y穿出。外.

于是，由公式⑵得

習(xí)題9.3-2

IJjjfdrdydz=fdr/dyj^'"xdz

n

J一.t

=1xdx『(1-x-2y)dy

=；f(x—2x2+x3)dr=2.

3.計算JJjxz2dA-dydz,其中。是由曲面z=xy，與平面/+y[=/和z=0所圍成的閉

區(qū)域.

解。可用不等式表示為:

Q=|(x,y,z)|0<z<xy,0<y<Vl-x2,0<x<^z

其中D={(x,y)|oWy。Jl-Ji?,0<x<tz1.

因此

JJJxz&dydz=^xdx「dy「z2dz

Q

T皿廣。也

=-fx4(l-2x2+x4)dx=-(---+-)=—^—.

12-?>125783360

4.計算小一.dydz其中c為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=l所圍成的

J”(l+x+y+z)3

四面體.

解。可用不等式表示為：OWzWl-4一乂0<y<1-x,0<%<1,因此

rrrdvdydzdz

JJ(i+x+y+z)3

(1+冗+y+IF

-1,r1,p-*11

--------------d}=IdxI-+--------d-y--

2-2

2(l+x+y+z)Jo小[82(1+x+y)

l-x

yi

dr=-(In2--).

82(l+x+y>o28

222

5.計算三重積分jjP&tdydZ,其中。是由橢球面與+4+0=1所圍成的空間閉區(qū)

ab~c~

域.

z=2-x?所圍成的閉區(qū)域.

解C可用不等式表示為:

。={(X,y,Z)卜2+2y24z42-x2,(x,y)€。卜

其中卜Jl-fJl-產(chǎn),-l<x<l)J.

因此

/=J拉d"："+)')dz=￡*《(/+/)則二4

D

但上式計算麻煩，故考慮柱面坐標(biāo)，D化為：

D={(p,6?)|0<p<l,04x42%}

故，/=jjj(x2+y2)dxdydz=JJJp'd/jdOdz

cc

=陽％oddO產(chǎn)=2jjp3(l-p2)dpdff

DD習(xí)題9.3-6

7.計算冊Sdydz，其中。是由錐面z=勺Y+y?與平面z=〃(R>0,/?>0)所圍成的

nR

閉區(qū)域.

解Q在xOy面上的投影區(qū)域

%={(x,y)|x?+V4R),^l={(x,y,z)\^x2+y2<z<h,(x,y)e2J.于是

A

恤kdydz=JJdxdy^也

C%R

=g+")口⑦=g"JJdxdj---^Jj,(x2+y2)dxdy

=g-7t/?2-j：d。j：03d0=(成沙.

8.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計算下列三重積分：

(1)ffjzdp,其中。是由曲面Z=7TK7及Z=W+y2所圍成的閉區(qū)域；

Q

(2)jjj(x2+y2)dv,其中C是由曲面x?+y2=4z及平面z=l所圍成的閉區(qū)域.

Q

解(1)Q是上半球血和旋轉(zhuǎn)拋物面圍成的閉區(qū)域，它在X。)，面上的投影區(qū)域

22

Dxy={(x,y)\x+y<\},利用柱面坐標(biāo)，。可用不等式表示為:

p2<z<^2-p2,0<p<1,0<6><2K,因此

jjjzdv=JJJzpdpd^dz=fdefpd夕「zdz

CQ

=g/d“0(2"一/)S=g.2兀/一勺盤］哈.

⑵由f+y2=4z及z=l消去z得d+y2=4,從而知。在xOy面上的投影區(qū)域為

={(^y)IX2+