高中數學打印版2．2.2函數的奇偶性學習目標理解函數奇偶性的定義(難點)；2.掌握函數奇偶性的判斷和證明方法(重點)；3.會應用奇、偶函數圖象的對稱性解決簡單問題(重、難點)．預習教材P41－43，完成下面問題：知識點一函數奇偶性的概念(1)一般地，設函數y＝f(x)是偶函數．如果對于任意的y＝f(x)是奇函數．(2)如果函數f(x)是奇函數或偶函數，我們就說函數y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么稱函數x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么稱函數f(x)具有奇偶性．【預習評價】1．函數y＝f(x)在區間[2a－3，a]上具有奇偶性，則a＝________.解析由題意知，區間[2a－3，a]關于原點對稱，∴2a－3＝－a，∴a＝1.答案12．函數f(x)＝x4＋＋11的奇偶性為________．2x解析∵x∈R，又f(－x)＝－x4＋1x4＋1＝f(x)，＝－x＋1x＋122∴f(x)是偶函數．答案偶函數3．已知函數y＝f(x)是R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝1，則f(－2)的值為________．解析∵當x＞0時，f(x)＝1，∴f(2)＝1，又f(x)是奇函數，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.答案－1校對完成版本高中數學打印版知識點二奇函數、偶函數的圖象特征(1)若一個函數是奇函數，則它的圖象是以坐標原點為對稱中心的對稱圖形；反之，若一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數．(2)若一個函數是偶函數，則它的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數．【預習評價】下列函數圖象中，關于y軸對稱的有哪些？關于原點對稱的呢？提示①②關于y軸對稱，③④關于原點對稱．知識點三奇偶性應用中常用結論(1)若函數f(x)是奇函數，且0在定義域內，則必有f(0)＝0.(2)奇函數在關于原點對稱的兩個區間上單調性相同，偶函數在關于原點對稱的兩個區間上單調性相反．(3)一次函數f(x)＝kx＋b(k≠0)為奇函數?b＝0；二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)f(x)＝c(c為常數)為偶函數．為偶函數?b＝0；常數函數【預習評價】若f(x)為R上的奇函數，給出下列四個說法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)＜0；④ff－xx＝－1.校對完成版本高中數學打印版其中一定正確的有________．解析由奇函數的定義可知①②一定正確，對③、④，當x＝0時，有f(0)＝0，所以③、④均不成立．答案①②題型一如何證明函數的奇偶性x3－xf(x)＝是非奇非偶函數；x－12【例1】(1)證明(2)證明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函數；(3)證明－1，＜是奇函數；，x＞f(x)＝1＋x2＋x2－1既是奇函數又是偶函數；x0，(4)證明f(x)＝10(5)已知f(x)的定義域為R，證明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函數．證明(1)因為它的定義域為{x|x∈R且x≠1}，－x是非奇非偶函∴對于定義域內的－1，其相反數1不在定義域內，故f(x)＝x32x－1數．(2)函數的定義域為R，因函數f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函數為偶函數．(3)定義域為{－1,1}，因為對定義域內的每一個x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函數f(x)＝1－x2＋x2－1為偶函數．又f(－x)＝－f(x)，故函數f(x)＝1－x2＋x2－1為奇函數．即該函數既是奇函數又是偶函數．(4)定義域為{x|x≠0}．若x＜0，則－x＞0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1，∴f(－x)＝－f(x)；校對完成版本高中數學打印版若x＞0，則－x＜0，∴f(－x)＝－1，f(x)＝1，∴f(－x)＝－f(x)；即對任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數．(5)∵f(x)的定義域為R，∴g(x)＝f(－x)＋f(x)的定義域也為R.對于任意x∈R，都有g(－x)＝f(－(－x))＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴g(x)是偶函數．規律方法判斷函數奇偶性的方法：(1)定義法：若函數定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數；若函數定義域關于原點對稱，則應進一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性．(2)圖象法：若函數圖象關于原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖象關于y軸對稱，則函數為偶函數．(3)分段函數的奇偶性應分段說明f(－x)與f(x)的關系，只有當對稱區間上的對應關系滿足同樣的關系時，才能判定函數的奇偶性．【訓練1】(1)證明f(x)＝(x－2)(2)證明f(x)＝x|x|是奇函數；22－＋xx是非奇非偶函數；(3)證明f(x)＝a－x2＋x2－a(a≥0)既是奇函數又是偶函數；－x2，x＜0，(4)證明f(x)＝是奇函數．x2，x＞02＋x證明(1)由≥0，得定義域為[－2,2)，關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶2－x函數．(2)函數的定義域為R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函數為奇函數．校對完成版本高中數學打印版(3)定義域為{－a，a}，因為對定義域內的每一個x，f(x)＝0，f(－x)＝0，－f(x)＝0，∴有f(x)＝f(－x)，f(－x)＝－f(x)成立，∴函數既是奇函數又是偶函數．(4)函數定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝x2，有f(x)＝－x2＝－f(－x)成立；當x＞0時，－x＜0，f(－x)＝－x，有f(x)＝x＝－f(－x)成立，22∴有f(－x)＝－f(x)成立，∴f(x)是奇函數．題型二利用函數的奇偶性求值【例2】已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d)．解方法一f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8，①f(－d)＝a·(－d)＋b(－d)＋c·(－d)－83＝－ad5－bd3－cd－8，②5①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16，∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.方法二設g(x)＝ax5＋bx3＋cx，則g(x)為奇函數，由題意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)為奇函數，∴g(－d)＝－g(d)，∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.規律方法解決這類由奇偶性求值問題，應先分析給定函數特點，把原函數化為校對完成版本高中數學打印版一個奇函數(或偶函數)g(x)和一個常數的和，然后借助奇函數(或偶函數)的性質求出g(－d)．也可以通過兩式相加(或相減)達到正負抵消，從而使問題得解．【訓練2】函數f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，則f(3)＝________.解析令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)為奇函數，從而g(3)＝－g(－3)．又因為f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1，所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.答案3題型三奇(偶)函數圖象的對稱性的應用【例3】定義在R上的奇函數f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示．(1)畫出f(x)的圖象；(2)解不等式xf(x)＞0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)關于原點的對稱點(－1，－1)，(－2,0)，連線可得f(x)的圖象如下圖，(2)xf(x)＞0即圖象上橫坐標、縱坐標同號．結合圖象可知，xf(x)＞0的解集是(－2,0)∪(0,2)．規律方法鑒于奇(偶)函數圖象關于原點(y軸)對稱，可以用這一特性去畫圖、求值，求解析式，研究單調性．xx2＋1【訓練3】已知f(x)＝在[0,1]上單調遞增，在[1，＋∞)上遞減．試畫出f(x)校對完成版本高中數學打印版在定義域R上的大致圖象，并指出其單調區間．解顯然當x＞0時，f(x)＞0.又y＝x2＋1為偶函數，y＝x為奇函數，x∴f(x)＝x2＋1為奇函數，其圖象關于原點對稱．x由此得f(x)＝x2＋1的圖象如下．x由圖可知f(x)＝x2＋1的增區間是[－1,1]，減區間是(－∞，－1)，(1，＋∞)．考查方向奇偶性與單調性的綜合應用方向1：判斷單調性【例4－1】已知y＝f(x)是奇函數，且在(0，＋∞)上是增函數，且f(x)＜0，試1fx判斷F(x)＝在(－∞，0)上的單調性．解任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則有－x1＞－x2，∴y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數，且f(x)＜0，∴f(－x2)＜f(－x1)＜0，又∵y＝f(x)是奇函數，∴f(x2)＝－f(－x2)，f(x1)＝－f(－x1)，fx－fxfx1－fx2fx1fx21＞0，11＝故f(x2)＞f(x1)＞0，于是F(x1)－F(x2)＝2即F(x1)＞F(x2)，所以函數F(x)＝f1x在(－∞，0)上是減函數．方向2：求解析式校對完成版本高中數學打印版【例4－2】①函數f(x)是定義域為R的奇函數，當x＞0時，f(x)＝－x＋1，求當x＜0時，f(x)的解析式；1②設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝x－1，求函數f(x)，g(x)的解析式．解①設x＜0，則－x＞0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數f(x)是定義域為R的奇函數，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴當x＜0時，f(x)＝－x－1.②∵f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，1由f(x)＋g(x)＝x－1①用－x代替x得1f(－x)＋g(－x)＝－x－1，1∴f(x)－g(x)＝－x－1，②1(①＋②)÷2，得f(x)＝－1；x2x(①－②)÷2，得g(x)＝.x2－1方向3：求參數范圍－x2＋2x，x＞0，【例4－3】已知函數f(x)＝0，x＝0，是奇函數．x2＋mx，x＜0①求實數m的值；校對完成版本高中數學打印版②若函數f(x)在區間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．解①因為f(x)為奇函數，所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，解得m＝2.經檢驗m＝2時函數f(x)是奇函數．所以m＝2.②要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，a－2＞－1，結合f(x)的圖象知a－2≤1，所以1＜a≤3，故實數a的取值范圍是(1,3]．規律方法(1)兩個定義：對于f(x)定義域內的任意一個x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)為奇函數；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)為偶函數．(2)兩個性質：函數為奇函數?它的圖象關于原點對稱；函數為偶函數?它的圖象關于y軸對稱．(3)證明一個函數是奇函數，必須對f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)．而證明一個函數不是奇函數，只要能舉出一個反例就可以了．(4)如果知道函數的奇偶性和一個區間[a，b]上的解析式，那么就可以設出關于原點對稱區間[－b，－a]上任一點(x，y)，通過關于原點(或y軸)的對稱點(－x，－y)(或(－x，y))滿足的關系式間接找到(x，y)所滿足的解析式．(5)奇偶性對單調性的影響①若奇函數f(x)在[a，b]上是單調增函數，且有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上是單調增函數，且有最小值－M.校對完成版本高中數學打印版②若偶函數f(x)在(－∞，0)上是單調減函數，則f(x)在(0，＋∞)上是單調增函數．課堂達標1．函數f(x)＝x－2＋－x＋2的奇偶性為________．解析由題意知函數的定義域為{x|x＝2}，不關于原點對稱，故該函數既不是奇函數也不是偶函數．答案非奇非偶2．已知函數f(x)是奇函數，函數g(x)＝f(x)＋x，若g(－3)＝10，則g(3)的值為2________．解析由題意可得g(－x)＝f(－x)＋(－x)2＝－f(x)＋x2，所以g(－x)＋g(x)＝2x2，再由g(－3)＝10得g(3)＝8.答案83．若函數f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函數，則m＝________.解析∵f(x)為偶函數