排列組合一、選擇題1.（2023廣東卷理）2023年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有A.36種B.12種C.18種D.48種【解析】分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A.2.（2023北京卷文）用數字1，2，3，4，5組成的無反復數字的四位偶數的個數為（）A．8 B．24 C．48 D．120【答案】C【解析】本題重要考察排列組合知識以及分步計數原理知識.屬于基礎知識、基本運算的考察.2和4排在末位時，共有種排法，其余三位數從余下的四個數中任取三個有種排法，于是由分步計數原理，符合題意的偶數共有（個）.故選C.3．（2023北京卷理）用0到9這10個數字，可以組成沒有反復數字的三位偶數的個數為（）A．324B．328C．360D．648【答案】B【解析】本題重要考察排列組合知識以及分類計數原理和分步計數原理知識.屬于基礎知識、基本運算的考察.一方面應考慮“0”是特殊元素，當0排在末位時，有（個），當0不排在末位時，有（個），于是由分類計數原理，得符合題意的偶數共有（個）.故選B.4.（2023全國卷Ⅱ文）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有（A）6種（B）12種（C）24種（D）30種答案：C解析：本題考察分類與分步原理及組合公式的運用，可先求出所有兩人各選修2門的種數=36，再求出兩人所選兩門都相同和都不同的種數均為=6，故只恰好有1門相同的選法有24種。5.（2023全國卷Ⅰ理）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有(D)（A）150種（B）180種（C）300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有種選法;(2)乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D6.(2023湖北卷理)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數為【答案】C【解析】用間接法解答：四名學生中有兩名學生分在一個班的種數是，順序有種，而甲乙被分在同一個班的有種，所以種數是7.（2023四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的規定）此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。8.（2023全國卷Ⅱ理）甲、乙兩人從4門課程中各選修2門。則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 A.6種B.12種C.30種D.36種解：用間接法即可.種.故選C9.（2023遼寧卷理）從5名男醫生、4名女醫生中選3名醫生組成一個醫療小分隊，規定其中男、女醫生都有，則不同的組隊方案共有（A）70種（B）80種（C）100種（D）140種【解析】直接法：一男兩女,有C51C42＝5×6＝30種,兩男一女,有C52C41＝10×4＝40種,共計70種間接法：任意選取C93＝84種,其中都是男醫生有C53＝10種,都是女醫生有C41＝4種,于是符合條件的有84－10－4＝70種.【答案】A10.（2023湖北卷文）從5名志愿者中選派4人在星期五、星期六、星期日參與公益活動，每人一天，規定星期五有一人參與，星期六有兩人參與，星期日有一人參與，則不同的選派方法共有A.120種B.96種C.60種D.48種【答案】C【解析】5人中選4人則有種，周五一人有種，周六兩人則有，周日則有種，故共有××=60種,故選C11.（2023湖南卷文）某地政府召集5家公司的負責人開會，其中甲公司有2人到會，其余4家公司各有1人到會，會上有3人發言，則這3人來自3家不同公司的也許情況的種數為【B】A．14B．16C．20D．48解:由間接法得，故選B.12.（2023全國卷Ⅰ文）甲組有5名男同學、3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學，若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（A）150種（B）180種（C）300種（D）345種【解析】本小題考察分類計算原理、分步計數原理、組合等問題，基礎題。解：由題共有，故選擇D。13.（2023四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】解法一、從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的規定）此時共有6×2＝12種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共有12×4＝48種不同排法。解法二；同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時共有＝12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法。此時共有＝12種排法三類之和為24＋12＋12＝48種。14.（2023陜西卷文）從1，2，3，4，5，6，7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有反復數字的四位數，其中奇數的個數為(A)432(B)288(C)216(D)108答案:C.解析:一方面個位數字必須為奇數，從1，3，5，7四個中選擇一個有種，再叢剩余3個奇數中選擇一個，從2，4，6三個偶數中選擇兩個，進行十位，百位，千位三個位置的全排。則共有故選C.15.(2023湖南卷理)從10名大學生畢業生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數位[C]A85B56C49D28【答案】：C【解析】解析由條件可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一個的選法有：，另一類是甲乙都去的選法有=7，所以共有42+7=49，即選C項。16.（2023四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是A.360B.188C.216D.96【考點定位】本小題考察排列綜合問題，基礎題。解析：6位同學站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有種，其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有188解析2：由題意有,選B。17.（2023重慶卷文）12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意提成3個組（每組4個隊），則3個強隊恰好被分在同一組的概率為（）A． B． C． D．【答案】B解析由于將12個組提成4個組的分法有種，而3個強隊恰好被分在同一組分法有，故個強隊恰好被分在同一組的概率為。二、填空題18.（2023寧夏海南卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參與社區公益活動。若天天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數字作答）。解析：，答案：14019.（2023天津卷理）用數字0，1，2，3，4，5，6組成沒有反復數字的四位數，其中個位、十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有個（用數字作答）【考點定位】本小題考察排列實際問題，基礎題。解析：個位、十位和百位上的數字為3個偶數的有：種；個位、十位和百位上的數字為1個偶數2個奇數的有：種，所以共有個。20.（2023浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是（用數字作答）．答案：336【解析】對于7個臺階上每一個只站一人，則有種；若有一個臺階有2人，另一個是1人，則共有種，因此共有不同的站法種數是336種．21.（2023浙江卷文）有張卡片，每張卡片上分別標有兩個連續的自然數，其中．從這張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個數的各位數字之和（例如：若取到標有的卡片，則卡片上兩個數的各位數字之和為）不小于”為，則．【命題意圖】此題是一個排列組合問題，既考察了分析問題，解決問題的能力，更側重于考察學生便舉問題解決實際困難的能力和水平【解析】對于大于14的點數的情況通過列舉可得有5種情況，即，而基本領件有20種，因此22.（2023年上海卷理）某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表達選出的志愿者中女生的人數，則數學盼望____________（結果用最簡分數表達）.【答案】【解析】可取0，1，2，因此P（＝0）＝，P（＝1）＝，P（＝2）＝，＝0×＝23.（2023重慶卷理）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特性完全相同。從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于總的滔法而所求事件的取法分為三類，即芝麻餡湯圓、花生餡湯圓。豆沙餡湯圓取得個數分別按1.1.2；1，2，1；2，1，1三類，故所求概率為24.（2023重慶卷理）將4名大學生分派到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分派方案有種（用數字作答）．【答案】36【解析】分兩步完畢：第一步將4名大學生按，2，1，1提成三組，其分法有;第二步將分好的三組分派到3個鄉鎮，其分法有所以滿足條件得分派的方案有2023-2023年高考題選擇題1.（2023上海）組合數Ceq\a(r,n)（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．eq\f(r+1,n+1)Ceq\a(r-1,n-1)B．(n+1)(r+1)Ceq\a(r-1,n-1)C．nrCeq\a(r-1,n-1)D．eq\f(n,r)Ceq\a(r-1,n-1)答案DDBCA2.（2023全國一）DBCAA．96 B．84 C．60 D．48答案B3.（2023全國）從20名男同學，10名女同學中任選3名參與體能測試，則選到的3名同學中既有男同學又有女同學的概率為（）A． B． C． D．答案D4.（2023安徽）12名同學合影，站成前排4人后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，若其別人的相對順序不變，則不同調整方法的總數是()A． B． C． D．答案C5.（2023湖北）將5名志愿者分派到3個不同的奧運場館參與接待工作，每個場館至少分派一名志愿者的方案種數為A.540B.300C.180D.150答案D6.（2023福建）某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參與某次社區服務，假如規定至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為A.14 B.24 C.28 D.48答案A7.（2023遼寧）一生產過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種答案B8.（2023海南）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參與某項志愿者活動，規定每人參與一天且天天至多安排一人，并規定甲安排在此外兩位前面。不同的安排方法共有（）A.20種 B.30種 C.40種 D.60種答案A9．（2023全國Ⅰ文）甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有（）A．36種B．48種C．96種D．192種答案C10．（2023全國Ⅱ理）從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參與公益活動，每人一天，規定星期五有2人參與，星期六、星期日各有1人參與，則不同的選派方法共有（）A．40種 B．60種 C．100種 D．120種答案B11．（2023全國Ⅱ文）5位同學報名參與兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種答案D12．（2023北京理）記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，規定排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）Ａ．1440種 Ｂ．960種 Ｃ．720種 Ｄ．480種答案B13．（2023北京文）某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數字組成，其中4個數字互不相同的牌照號碼共有（）Ａ．個 Ｂ．個 Ｃ．個 Ｄ．個答案A14．（2023四川理）用數字0，1，2，3，4，5可以組成沒有反復數字，并且比20230大的五位偶數共有（）（A）288個 （B）240個 （C）144個 （D）126個答案B15．（2023四川文）用數字1，2，3，4，5可以組成沒有反復數字，并且比20230大的五位偶數共有（）A.48個B.36個C.24個D.18個答案B16．（2023福建）某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數字固定，從“”到“”共個號碼．公司規定：凡卡號的后四位帶有數字“”或“”的一律作為“優惠卡”，則這組號碼中“優惠卡”的個數為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案C17．（2023廣東）圖3是某汽車維修公司的維修點環形分布圖．公司在年初分派給A、B、C、D四個維修點某種配件各50件．在使用前發現需將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40、45、54、61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行．那么要完畢上述調整，最少的調動件次(件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為)為（）A．18B．17C．16D．15答案C18．（2023遼寧文）將數字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第個數為，若，，，，則不同的排列方法種數為（）A．18 B．30 C．36 D．48答案B19．（2023北京）在這五個數字組成的沒有反復數字的三位數中，各位數字之和為奇數的共有（A）36個 （B）24個（C）18個 （D）6個答案B解析依題意，所選的三位數字有兩種情況：（1）3個數字都是奇數，有種方法（2）3個數字中有一個是奇數，有，故共有＋＝24種方法，故選B20．（2023福建）從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（A）108種（B）186種（C）216種（D）270種解析從所有方案中減去只選派男生的方案數，合理的選派方案共有=186種，選B.21．（2023湖南）某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有()A.16種B.36種C.42種D.60種答案D解析：有兩種情況，一是在兩個城市分別投資1個項目、2個項目，此時有種方案，二是在三個城市各投資1個項目，有種方案，共計有60種方案，選D.22．（2023湖南）在數字1,2，3與符號＋，－五個元素的所有全排列中，任意兩個數字都不相鄰的全排列個數是A．6B.12C.18D.24答案B解析：先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個符號插入，有種方法，共有12種方法，選B.23．（2023全國I）設集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有A．B．C．D．答案B解析：若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有三個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有一個元素，集合B中有四個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有兩個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有兩個元素，集合B中有兩個個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有兩個元素，集合B中有三個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有三個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有三個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有四個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有=1種；總計有，選B.24．（2023全國II）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種答案A解析：人數分派上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有＝60種，若是1,1,3，則有＝90種，所以共有150種，選A25．（2023山東）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則擬定的不同點的個數為(A)33(B)34(C)35(D)36答案A解析：不考慮限定條件擬定的不同點的個數為＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個數擬定的不同點的個數只有三個，故所求的個數為36－3＝33個，選A26．（2023天津）將4個顏色互不相同的球所有放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）A．10種B．20種C．36種D．52種答案A解析：將4個顏色互不相同的球所有放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，分情況討論：①1號盒子中放1個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；②1號盒子中放2個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；則不同的放球方法有10種，選A．27．(2023重慶)將5名實習教師分派到高一年級的３個班實習，每班至少１名，最多２名，則不同的分派方案有（A）３０種（B）９０種（C）１８０種（D）２７０種答案B解析：將5名實習教師分派到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則將5名教師提成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個班，共有種不同的分派方案，選B.28．(2023重慶)高三（一）班學要安排畢業晚會的4各音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的表演順序，規定兩個舞蹈節目不連排，則不同排法的種數是（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040答案B解：不同排法的種數為＝3600，故選B二、填空題29.（2023陜西）某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完畢．假如第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方案共有種．（用數字作答）．答案9630.（2023重慶)某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，規定同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有種（用數字作答）.答案21631.（2023天津）有4張分別標有數字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．假如取出的4張卡片所標數字之和等于10，則不同的排法共有________________種（用數字作答）．答案43232.（2023浙江）用1，2，3，4，5，6組成六位數（沒有反復數字），規定任何相鄰兩個數字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數的個數是__________（用數字作答)。答案4033．（2023全國Ⅰ理）從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有_____種。（用數字作答）答案34．（2023重慶理）某校規定每位學生從7門課程中選修4門，其中甲乙兩門課程不能都選，則不同的選課方案有__________種。（以數字作答）答案35．（2023重慶文）要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6門課各一節的課程表，規定數學課排在前3節，英語課不排在第6節，則不同的排法種數為 。（以數字作答）答案28836．（2023陜西理）安排3名支教老師去6所學校任教，每校至多2人，則不同的分派方案共有種.（用數字作答）答案37．（2023陜西文）安排3名支教教師去4所學校任教，每校至多2人，則不同的分派方案共有種.（用數字作答）答案38．(2023浙江文)某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種．小張用10元錢買雜志(每種至多買一本，10元錢剛好用完)，則不同買法的種數是_________(用數字作答)．答案_39．（2023江蘇）某校開設9門課程供學生選修，其中三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規定每位同學選修4門，共有種不同選修方案。（用數值作答）答案7540．（2023遼寧理）將數字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第個數為，若，，，，則不同的排列方法有種（用數字作答）．答案41．（2023寧夏理）某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有 種．（用數字作答）答案42．（2023湖北）某工程隊有6項工程需要單獨完畢，其中工程乙必須在工程甲完畢后才干進行，工程丙必須在工程乙完畢后才干進行，有工程丁必須在工程丙完畢后立即進行。那么安排這6項工程的不同排法種數是。（用數字作答）答案20解析：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中，可得有＝20種不同排法。43．（2023湖北）安排5名歌手的表演順序時，規定某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的總數是.(用數字作答)答案78解：分兩種情況：（1）不最后一個出場的歌手第一個出場，有種排法（2）不最后一個出場的歌手不第一個出