高數函數的極限第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二在十八世紀，著名人口學家馬爾薩斯提出，如果人口的數量按照等比級數增長，最終地球將無法承受人類的生存。用數學的語言敘述這個論斷：(1+α)x

=

+∞，其中α是大于0的常數。這個問題屬于函數極限的范疇。例如：整標函數第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二一、函數極限的定義在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的常數，那么這個確定的數叫做自變量在這一變化過程中函數的極限。下面，我們將主要研究以下兩種情形：第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二1.自變量趨向無窮大時函數的極限第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二②幾何解釋:直線y=A為曲線的水平漸近線(horizontalasymptote)第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例1.

證明證:取因此注:就有故欲使即第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二②另兩種情形:稱為單側極限第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二直線y=A仍是曲線y=f(x)

的漸近線.幾何意義:都有水平漸近線都有水平漸近線第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二=例(1)例(2)定理第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例2證：(1)第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二2.自變量趨于有限值時函數的極限第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二②幾何解釋:注意：第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例3證例4證第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二聯系，以便對于任給的ε，總能找到對應的δ，對于滿足在用函數極限的定義證明時，必須找出δ與ε之間的注意：0<|x-|<δ的一切x，使不等式|f(x)-A|<ε都成立例5證第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例6.證明證:欲使取則當時,必有因此只要第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例7證:故取當時,必有因此第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二3.左極限和右極限(one-sidedlimit):例如,第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二左極限右極限(right-handlimit)(left-handlimit)第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二左右極限存在但不相等,例8證定理第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例如9,第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二二、函數極限的性質定理2（函數極限的局部有界性）定理1（函數極限的惟一性）(注:對于六種極限形式都成立只要做相應的修改即可,可類似證明)

若存在，那么該極限是唯一的，若那么存在常數M>0,和使得當有22頁定理422頁定理5第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二推論3.不等式性質定理(保序性)注意:若將小于等于改成小于,極限式子也不可以改成小于.例如:第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二定理(局部保號性)推論第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二4夾逼準則第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二上兩式同時成立,證第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二5.子列收斂性(函數極限與數列極限的關系)定義定理第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例如,函數極限與數列極限的關系函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期二例10證二者不相等,第31頁，共33頁，2023年，