高考重唯皮專題突破之----不等式

綜述（內家、地住、作用八

在蘇教版高中數學教科書必修系列中，直接涉及“不等式”內容的部分為必修5

第三章《不等式》。另外，在實際教學過程中，在學到必修5《不等式》之前的某些章

節（如集合、函數的值域等），無論文理科班，基于教學內容的關聯性和完整性，老

師們基本上都要對選修4-5中的部分基礎性內容進行選講。所以“不等式”的內容主

要來自必修5第三章《不等式》以及選修系列4-5《不等式選講》。綜合來看，不等式

的內容主要可分為不等式的求解、證明和應用三部分，它們又分別以一元二次不等式

的求解、均值不等式相關的證明、不等式在應用題以及線性規劃中的應用為主。

不等式是中學數學的主干內容之一，它不僅是中學數學的基礎知識，而且在中

學數學中起著廣泛的工具性作用，對學生們步入大學之后的數學學習也具有基礎性的

鋪墊作用。在歷年的高考中，不等式雖很少單獨命題（理科附加卷除外），但無論從

它所涉及到的知識點或是題量來看，有關不等式的試題分布范圍極廣（甚至有些題目

很難界定其中對不等式的考查所占到的比重，所以我們也很難準確給出高考中不等式

所占分值），試題不僅考查了不等式的基礎知識、基本技能、基本思想方法，還考查

了運算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的應用能力等數學素養。

在高考命題趨勢上，不等式的考查極其突出工具性，淡化獨立性、突出解，是不

等式命題的總體取向。高考中不等式試題的落腳點主要有：一，不等式的性質，常與

指數函數、對數函數、三角函數等結合起來，考查不等式的性質、函數的單調性、最

值等；二，不等式的證明，多以函數、數列、解析幾何等知識為背景，在知識網絡的

交匯處命題，綜合性強，能力要求高；三，解不等式，往往與公式、根式和參數的討

論聯系在?起，考查學生的等價轉化能力和分類討論能力；四，不等式的應用，以當

前經濟、社會生產、生活為背景與不等式綜合的應用題是高考的熱點，主要考查學生

閱讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力。

考試要求與教學建議：

（一）必修5部分

新課標在對''必修5”《不等式》一章的說明中指出：“不等關系與相等關系都是

客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容……掌握求解一元二次不等式的基

本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區域，并嘗試解決

一些簡單的二元線性規劃問題；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及

函數之間的聯系。”由此，我們大致可以看出教材對于本部分的基本要求以及高考的

考查要點。

本部分的課標建議課時為大約16課時。相應的說明與建議主要有：

I、一元二次不等式教學中，應注重使學生了解一元二次不等式的實際背景。求解一

元二次不等式，首先可求出相應方程的根，然后根據相應函數的圖象求出不等

式的解；也可以運用代數的方法求解。鼓勵學生設計求解一元二次不等式的程

序框圖。

2、不等式有豐富的實際背景，是刻畫區域的重要工具?？坍媴^域是解決線性規劃問

題的一個基本步驟，教學中可以從實際背景引入二元一次不等式組。

3、線性規劃是優化的具體模型之一。在本模塊的教學中，教師應引導學生體會線性

規劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡單的線性規劃問題，不必引入很多

名詞。

（二）不等式選講部分

此部分文理科考生的對待方式見的異同我們已在“綜述”部分有所講解，次不贅

述。

本專題主要介紹兒個數學中重要的不等式以及數學歸納法。本專題特別強調不等

式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學

生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。從文理科學習之間的異同的角度，我們可

以將本專題內容分為兩部分：前半部分，文理科同等要求，且均在必修過程中已基本

講解到位；后半部分，只對理科生做簡單要求，即高考時所考題目難度不大，基本上

可直接套用公式，或只需經簡單并行即可套用公式，同時，也不是必做題。

下面，我們把新課標中的內容與要求重點性的摘錄于此，以供諸位師生探討，同

時也作為本部分內容的一個基本總結，后文將不再詳細展開。

1、理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明三角不等式等。

2、認識柯西不等式的幾種不同形式。

3、了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題。

4、會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些

特定函數的極值。

5、通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證

法、放縮法。

三、考點歸納與題型講解之“不等式的求斛”

（一）、不等式的性質

1、不等式的性質是解、證不等式的基礎，對于這些性質，關鍵是正確理解

和熟練運用，要弄清每一個條件和結論，學會對不等式進行條件的放寬和加強。

2、兩個實數的大小：

a-b>O<^>a>h.a-h-Oa>a-h；a-b<0<^>a<h

3、不等式的基本性質：

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式.不等號的方向

不變.

如果。>匕，那么。±c>b±c.

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

如果那么ac>bc（或@>2）.

CC

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

如果a>b,c<0,那么ac<be（或

cc

由上面三條可以衍生出如下的性質：

（I）a>bob〈a（對稱性）

⑵a>h,b>c^a>c（傳遞性）

（3）a>b=>a+c>b+c（加法單調性）

（4）a>b,c>d^a+c>b+d（同向不等式相加）

（5）a>b,c<d^a-c>b-d（異向不等式相減）

（6）a>h,c>0^>ac>hc

（7）”>6，。<°=>"<兒（乘法單調性）

（8）a>b>O,c>d>Onac>bd（同向不等式相乘）

(9)a>b>0,0<c<d^>—>—

cd(異向不等式相除)

(10)a>b,ab>Q=>—<—

?b(倒數關系)

a>b>0^>a">b"(neZ,JLn>1)(平方法則)

（12）a>b>0=江>孔（neZ,且n>l）（開方法則）

4.例題:

（1）已知一1<%+><1,則3x—y的取值范圍是

（答：143—7）；

C

（2）已知”>b>c,且a+b+c=°，則a的取值范圍是

（答：（I-4?））

（二）解一元一次不等式（組）

1.一元一次不等式

1.1定義：只含有一個未知數，且未知數的次數是1.系數不等于0的

不等式叫做一元一次不等式.

注：一元,?次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O（aWO,a,b為已

知數）.

1.2解一元一次不等式的一般步驟

（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）化系數為1.

說明：解一元一次不等式和解一元一次方程類似.不同的是：一元一次

不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負數時，不等號的方向必須改變，這是解

不等式時最容易出錯的地方.

2.一元一次不等式組

2.1定義：含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，

叫做一元一次不等式組.

說明：判斷一個不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個條件：①組成

不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式，且未知數相同；②不等式

組中不等式的個數至少是2個，也就是說，可以是2個、3個、4個或更多.

2.2一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中，幾個不等式解集

的公共部分.叫做這個一元一次不等式組的解集.一元一次不等式組的解集

通常利用數軸來確定.

2.3.不等式組解集的確定方法，可以歸納為以下四種類型（設a>b）

不等式組圖示解集

x>a

x>a___L----------A

ba

x>h（同大取大）

x<ax<b

Vt)

x<b（同小取?。?/p>

x<ab<x<a

*t

x>h□（大小交叉

取中間）

x>a1-1—?無解

Vta

x<b（大小分離

解為空）

2.4.解一元一次不等式組的步驟

（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集；

（2）利用數軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集.

3.例題講解

x-2（x—1）43

<2x+5

------->x

【例1】解不等式組13,并把它的解集在數軸上表示出來.

解:解不等式①得XN-1,解不等式②得X<5,不等式①和②的解集在數軸上

表示如下：，］...............?

-1012345

原不等式組的解集是—1<x<5.

（三）解一元二次不等式（組）

1：一元二次不等式的定義：

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二

次不等式。

比如：，-5xvO.任意的一元二次不等式，總可以化為一般形式:

at?>03>8或加1+hx+e<0S>°>

2：一般的一元二次不等式的解法：

一元二次不等式的解集可以聯系二次函數，=a+8區+。(“學0)的圖

象，圖象在工軸上方部分對應的橫坐標方值的集合為不等式++6+c>°

的解集，圖象在工軸下方部分對應的橫坐標h值的集合為不等式

“+Ax+c<0的解集.

設一元二次方程d-+bx+d=0(d*0)的兩根為馬、且小，馬，

A=Aa-4xr,則相應的不等式的解集的各種情況如下表：

4=肥-4.A>0A=0&<0

/=++Ax+c山ak

現0/&

(a>0)的圖象

0|^Z2

M1+bx+c=0有兩相異實根有兩相等實根

b無實根

勒.工式瑪〈丐)

，二弓="z"

2a

ax14-Ax4-c>0{+*4)

］二

{x\x<X或X>x2}

+加+。<0隔〈

X00

(”詢膜

注：表中不等式的二次系數均為正，如果不等式的二次項系數為負，可先利用

不等式的性質轉化為二次項系數為正的形式，然后討論解決；

3：規律方法指導

3.1.解一元二次不等式首先要看二次項系數a是否為正；若為負，則將其

變為正數；

3.2.若相應方程有實數根，求根時注意靈活運用因式分解和配方法；

3.3.寫不等式的解集時首先應判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應

分類討論；

3.4.根據不等式的解集的端點恰為相應的方程的根，我們可以利用韋達定

理，找到不等式的解集與其系數之間的關系；

3.5.若所給不等式最高項系數含有字母，還需要討論最高項的系數

(四).解分式不等式

1.形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)為整式且g(x)不為0)的

不等式稱為分式不等式。

通俗的說就是分母中含未知數的不等式稱之為分式不等式。

2.歸納分式不等式的解法：(不知道分母正負的時候)

化分式不等式為標準型：方法：移項，通分，右邊化為0,左邊化為工四

g(x)

的形式

將分式不等式進行形如以下四類的等價變形：

斂〉0O

(1)/(x)g(x)>0

(2)8口)/(x)g(x)<0

(3)g(x)-J/(x)g(x)20

g(X)/0

/(x)-f/(x)g(x)<0

(4)g(x)

3.例題講解：解不等式：x+7.

解法1：化為兩個不等式組來解：

丫_ax—3>0,yx—3<0

<o<八或〈

?.?x+7<=>[x+7<0[x+7>0<=>*e（|）或

-7<x<3<=>-7<x<3,

原不等式的解集是卜I-7<X<3}

解法2：化為二次不等式來解：

x-3<0

?.?x+7o（x—3）（x+7）<°o_7<x<3,.?.原不等式的解集

是{xl-7<x<3}

點評：提倡用解法2,避免分類討論，提高解題速率。

^■<0

變式1：解不等式x+7

解：：x+7-0o(x—3)(%+7)<0一且x手-7=-7<x<3

原不等式的解集是{xl-7<x?3}

x—3

變式3：解不等式

x+7

x—3x—3-10?

,??------<1o----------1<0<=>-------<0?.x>-7

解：x+7x+7x+7

.??原不等式的解集是{x|x>-7}

注：如果知道分母的正負，則可以去分母，化分式不等式為整式不等式。

（五）.解高次不等式（可分解的）

1.解高次不等式的步驟：

（1）因式分解

（2）未知數系數化正

（3）穿根（從右上角開始，奇穿偶回）

2.穿根法使用步驟：

①將不等式化為（x-X1）（x-x2）（x-x3）---（x-xn）>0（<0）形式，并

將各因式x的系數化“+”；

②求方程（x_xJ（x_/）（》一/）…（x_/）=0各根，并在數軸上表

示出來（從小根到大根按從左至右方向表示）。

③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點

④若不等式（x的系數化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區

間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區間.

Xlx2X3Xn.\

說明：注意不等式若帶“二”號，點畫為實心，解集邊界處應有等號:

3.例題講解：

丫2_orI7

例1.解不等式：,<0.

x-3x+2<0

\x2-3x+2)(x2-2x-3)<0_

解：,.?/―2X—30<

—2x—3Ho

(x-l)(x-2)(x-3)(x+l)<0

(x-3)(x+l)H0,用穿根法（零點分段法）畫圖如下:

-1\^/12\^/3

...原不等式的解集為{xl-l<x?l或24x<3}.

例2解不等式：（X—2）2（X—3）3（X+1）<0.

解：①檢查各因式中x的符號均正；

②求得相應方程的根為：-1,2,3（注意：2是二重根，3是三重根）；

③在數軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始），如下圖:

④...原不等式的解集為：{xl-l<x<2或2Vx<3}.

說明：；3是三重根，...在C處穿三次，2是二重根，...在B處穿兩次,

結果相當于沒穿.由此看出，當左側f（x）有相同因式（x-xl）n時，n為奇數時，

曲線在xl點處穿過數軸；n為偶數時，曲線在xl點處不穿過數軸，不妨歸

納為“奇穿偶不穿”.

（六）解無理不等式

1.基本概念：根號下含有未知數的不等式。

2、無理不等式的類型（高考對這方面的要求不太高）

⑴"(x)<Jg(x)

(2)J/(x)>g(x)

(3)〃(x)<g(x)

(4)”(x)?g(x)>0

3.根式不等式的解法

"(x)<Jg(x)O

3.1類型」

"/(x)>00J/(x)>0

-g(x)±0\f(x)<g(x)

fM<g(x)

yl3x-4-4x-3>0

例：解不等式

J次—4>"x—3

解：原不等式可化為-根據根式的意義及不等式的性質，得:

3x-4>0

-x-3>0

3x-4>x-3

x>3

解得

所以，原不等式的解集為{xU23}

J/(x)>g(x)=

3.2類型二：

/U)>0,

-g(x)20或(

r,、r/、,2g(X)<0

注：第一個花括號內的f(x)大于等于?？梢允÷?。

例2解不等式原法+③*

&HkAw-u-r/i“*x+27>2x—3

解：原不等式可化為

根據根式的意義及不等式的性質，得

X+27N0

x+27N0

2x-3>0...(1)或<...(2)

2x-3<0

x+27>(x-3)2

解這個不等式組(1),得

{xlx>-27}n|xlx>|1n{xl-2<x<9}=jxl|<x<9

解這個不等式組(2),得

{xIx2—27}f]{xIx<=|xI—27<x<^-

所以，原不等式的解集為

卜1<7。蜀

,J/(x)<g(x)=

3.3類型三：

/?>0

g(x)20

y(x)<[g(x)]2

例3解不等式‘國一2X+3<0

解：原不等式可化為4+27<2%-3

根據根式的意義及不等式的性質，得

x+27>0

■2x-3>0

x+27<(x-3)2

解這個不等式組，得｛xlx>*

(l)J/(x)?g(x)>0

3.4類型四:

fM>0

O<

g(x)>0

(2)y[f(^)?g(X)>0

伏4°啾加。

U(x)>0R

例4解不等式。+爾，+2?-360

解：由原不等式可得：

x+2>0…、

2眠+2x_3=0

7+2￥-3>0

{xlx>1或x=-3)

解得

解法小結：解無理不等式的主要思路是去根號。但去根號的時候要注意下根號里

的數和根號外的數的正負!

（七）解絕對值不等式的常用方法

解含有絕對值的不等式的關鍵是想法把它轉化為不含絕對值的不等式，常見的

解法有以下幾種：

1、利用絕對值的定義

例1：解不等式l<|2x—145.

2x-l>02x-l<0

解:原不等式于:(I)或（II）

l<2x-l<51<-(2X-1)<5

由（I）得：1<x<3或（II）得一2<x<0

原不等式的解集為：{川一24％<0或1<%43}.

例2解不等式黑>x-i

2+x

解：原不等式即：土士〉土二，由絕對值的意義可知二二<0,亦即

|2+x|1+xx+2

（x-l）（x+2）<0,所以一2Vx<1,即原不等式的解集為（—2,1）.

評注：利用絕對值的意義求解有些不等式時可另辟蹊徑，化繁為簡.

例3解不等式J1-6X+9X222

分析：不等式左邊可化掉無理式。

解：原不等式等價于|3芥-1必2

3xT-2或3工_2

1

5xlx<—或1?

原不等式的解集為I3J

2、利用絕對值的性質

例解不等式卜

i：2_3X_I|<3.

x2-3x-4<3Jx2-3x-l<0①

解:原不等式等價于4

x2—3x—1>—3[X2-3X+2>0②

由①得一l<x<4由②得x>2或x<l

.??原不等式的解集為：{41<%<1或2。<4}.

3、利用平方法

例1：解不等式|3x+2|>|2x+1.

解：將原不等式兩邊平方為：9/+12》+4>4/+12犬+9即/>1

原不等式的解集為：{x|x〉l時<—l}.

例2、解不等式1+1|_卜|>。

解：原不等式變為：k+U>因

等價于(x+“>即2x+l>0

<x\x>——,

原不等式的解集為I2J

4、利用分段討論法(即零點分段法)

例1：解不等式|x+2|+W>4.

解：當x<—2時，不等式化為：_(X+2)_X>4...X<—3

當_2WxW0時，不等式化為：x+2-x>4.?.xw0

當x>0時，x+2+x>4x>1

綜上所述，不等式的解集為：{H"<—3,曲>1}.

例2.解不等式k-5H2x+3|〈l

分析：如何去掉兩個絕對值的符號？首先找出零點，第一個絕對值的式子

_3

的零點為5,第二個式子的零點為2,兩個零點把數軸分成三段，故可

分為三段討論。

解：原不等式變為：

f-3(3<「X

x<--f--<x<5-x>5

2或〈2或《=c=

[~x+5+2x+3<1[-x+5-2x-3<l〔1

3

3----<x<5

xV—__ux>5

2或<2或，

1x>-9

x<-7x>-

即3

.,.X<-7或1<x<5或x之5|巾<-7或工>:

3；.原不等式的解集為I3

注：利用此法解題時要注意x的系數為正。

5、利用絕對值的幾何意義

例1：解不等式,一3|+卜+2]>5.

解：不等式卜一斗+卜+2]>5表示數軸距人（3）、B（-2）兩點的距離之

和大于5的點，方程卜一3|+卜+2|=5表示在數軸上距人、B兩點的距離

之和等于5的點。

.??原不等式的解集為：卜卜<—2,或x>3}.

6、利用不等式組法（即等價轉化法）

例1：已知關于x的不等式,+2|+,一1|<4有解，求a的取值范圍。

解：令y=k-2|+卜-1]

則y23,可將原不等式變為不等式組

y>3c

,因原不等式有解，如圖，易得。>3。

y<a■卜\\和

03ay

例2：已知關于x的不等式卜―4Tx-的解集為R,求a的取值范

圍。

解：令y=k—4f-3],山上知

故可將原不等式等價變為不等式組—―111一“

-101a

-1<y<1

y<a,如圖，易得a21

7、利用數形結合法

例1解不等式k+"<|2x-3|

解畫出必"和必=12"一3|的圖像，如圖所示，求出他們的交點

2

的橫坐標分別是§和》=4因為k+1<|2x-3],所以原不等式的解

2

X<一

是必<為的交點的橫坐標，由圖像知：原不等式的解是3或x>4.

例2若不等式5+MN履對切xwR恒成立，求實數％的取值范圍.

.y

解析:在同一坐標系中分別畫出函數）'Tx+11與y=丘的圖象（如

下圖），顯然，要使不等式U+對一切xeR恒成立，須_____________

-I/o

/1

04W1,即％的取值范圍是[°』.

例3若不等式I2x-加國3X+6HS成立，求實數機的取值范圍.

解析：在同一坐標系中分別畫出函數）'T2x一向及,憶v-i

\\/

y=l3x+6l（如下圖），由于不等式I2x—機兇3x+6l恒成"皿

立，所以函數）'T2x-ml的圖象應總在函數）'=I3X+6I圖

-2O

象的下方，因此，函數y的圖象也必須經過點

（一2，。）,所以機=-4.

評注：運用數形結合的方法求解絕對值不等式問題，既直觀形象，又簡單

易行.

8利用利用定比分點法

例1解不等式'2一“<2ax（。>。）.

解：在數軸上取P]=—2x,p=--1,〃2=2ox,其中使P為

P\，P2

的內分點即可，這就順利地去掉了絕對值符號，由"2>0

—1）—（―2分）2

1-----L-S----￡>oY+2Q1

7/jr—fr2—-7--------<0

即：I）即：解不等式：x—2tzx—1.

等價于整式不等式：

(/+2ax-1)(x)一2ax-1)<0.

/.^x+a+y!\+a2-a+Vl+?2+a-\J\+a2-a-Vl+?2j<0.

又「x〉。

.".—ci—yJ1+ci~<x<a+Jl+a二

(xI-a+JI+a~<x<a+Jl+or，.

故不等式的解集為：I)

9、利用絕對值不等式

注:主要指絕對值的三角不等式Ia\-\b\<\a±b\<ia\+\b\

例］解不等式：I2x_log2xl<2x+llog2xl

解析：首先應有%>°,所以原不等式等價于

12x-log2xl<l2x1+1log2xI，山于在不等式?"bKIaI+lbI中，"<"

成立的條件是必>°,所以原不等式等價于2x」°g2尤而*>0,

所以log2X>°,因此得x>l,故原不等式的解集為{xlx>l}.

評注：要特別注意不等式?a\-\b\<\a+b\^a\+\b\中各部分等號及不

等號成立的條件，利用這些條件可以解決一些絕對值不等式或方程問題.

例2若不等式13%-21+13、+11>加恒成立，求實數”的取值范圍.

解析：令/(x)=13x-21+13x+11,則只須求出函數小)的最小值即可.

山丁./(x)=13x-2l+l3x+ll>l(3x-2)-(3x+l)h3(當

“12

(3x—2)(3x+1)<0,即—<xv—r/\

33時等號取到)，即7W的最小值等于

3,所以不等式13工一21+13、+11>加恒成立時，加的取值范圍是“<3.

評注：此處用絕對值不等式1"1一降兇0±”兇"1+1以求最值，避免了

對函數f(x)=13x-21+13x+11的分段討論，顯得非常簡單.

(八).用數學思想方法解不等式

注：再解不等式時，有時充分借用常見數學思想，如整體思想、等價變形思

想、補集思想、方程與函數思想等等，進行求解，會起到事半功倍的效果。讀者

可自行對照相關題型研究、學習，此不詳細列舉。

四、考點歸納與題型講斛之“不等式的證明”

(-)比較法證明不等式

例1若0<x<l,證明|log“(l—x)|>|log(,(l+x)|(a>0且a71).

分析1用作差法來證明.需分為a>1和0<a<1兩種情況，去掉絕對

值符號，然后比較法證明.

解法1(1)當。>1時，，因為+

所以|log?(l-x)|-|logfl(l+x)|=-loga(l-x)-log?(l+x)

2

=-loga(l-x)>0.

(2)當0<〃<1時，因為0vl-x<1,1+x>1,

所以

2

|loga(1-x)|-|log?(1+x)\=log?(1-x)+loga(1+x)=logfl(l-x)>0

綜合（1）（2）知|log“（l—x）|>|loga（l+x）].

分析2直接作差，然后用對數的性質來去絕對值符號.

解法2作差比較法.

因為

lg(l-X)_lg(l+x)

|logu(l-x)|-|log?(l+x)|

Igalg?

=自旭（17）|-弛（1+》）|]

1

[-lg(l-x)-lg(l+x)]7：----rlg(l-X2)>0.

|lga||lga|

所以|log“（1一x）|〉|loga（1+x）|.

說明：解法一用分類相當于增設了已知條件，便于在變形中脫去絕時值符

號；解法二用對數性質（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治

之，其解法自然簡捷、明快.

例2設a>匕>0,求證：aabh>abha.

分析：發現作差后變形、判斷符號較為困難.考慮到兩邊都是正數，可以

作商，判斷比值與1的大小關系，從而證明不等式.

ahb

證明：n=.薩-。"Ja>Z?>0,?，?一>—Z?>0.**?

b

.aabh

鏟8>1.>1.又；&7">。，：.優眇>&%'.

"ahba

說明：本題考查不等式的證明方法——比較法（作商比較法）.作商比較法證

明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小.

（二）綜合法證明不等式

例1對于任意實數求證22（當且僅當。=b時取等號）

分析這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等

式中有（審六，展開后很復雜。若使用綜合法，從重要不等式：

a2+b2>2ab出發，再恰當地利用不等式的有關性質及“配方”的技巧可

得到證明。

證明：：a2+b2>2ab（當且僅當”=從時取等號）

兩邊同加（/+/）：2（/+//）2（/+/）2,

即：a+h>(a+h)2

(1)

22

又：a2+h2>2ah(當且僅當a=b時取等號)

222

兩邊同加(/+h):2(/+b)>[a+b)

22

...4+/廠24（2）

22

4141

由（1）和（2）可得巴士2（空2）4（當且僅當a=匕時取等號）.

22

說明：此題參考用綜合法證明不等式.綜合法證明不等式主要是應用均值

不等式來證明，要注意均值不等式的變形應用，一般式子中出現有平方和

乘積形式后可以考慮用綜合法來解.

例2若ab、c是不全相等的正數，求證：

,a+hic+b,a+cI,

lg^—+lg《一+lg^—>Iga+Igb+Ige

【分析】根據本題的條件和要證明的結論，既可用分析法由可用綜合法。

,_++2>4ab>0

【證法一】（綜合法）：°也c,2

*2而〉0/N4>0

2.2

a+bc+ba+c.

---------------------->abc

又?.”、b、c是不全相等的正數，，有222

,/〃+〃C+Z?Q+C、,,

lg(----------—)>1ga》c

222即

,a+b,c+b,a+c,,,,

1g《一+1g—5—+1g《一>1ga+1gb+1gc

【證法二】(分析法）要證

,a+b,c+b,a+c,,,,

++lg—^->lga+lgb+lgc

,+bc+ba+c^,,

lg(----------—)>\gabc

即證222成立只需證

a+bc+ba+c.

---------------------->abc

222成立。

”^而>0出上而>0"^而>0

?/222

又曾、b、c是不全相等的正數，...（*）式等號不成立。

.??原不等式成立。

（三）分析法證明不等式

111

-----1------F----

例［已知a>b>c,求證：a-bb-cc-a>0.

分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可

以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程.

證明一：（分析法書寫過程）

為了證明b-cc-a>0

111

1------

只需要證明a-------b-C>a-c

?.?〃〉/?>（?

?a-oa-h>0,b-c>0

111

------>---------,------

/.a-ba-cb-c>o

111

-------1----------------

:.a-b〃—c>a-c成立

:.a-bb-cc_q>o成立

證明二：（綜合法書寫過程）

?,a>b>c,a—C>Q—b>b,b-c>0

11

二"6>—!—b-c>0

a-c

111

-----1-----------

Aa-b6-c>a-c成立

7.a-bb-cc_q>o成立

說明：學會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經?；?/p>

在一起應用，混合應用時，應用語言敘述清楚.

例2、若a>°，b>0,且2c〉a